?2024年高三解答題導(dǎo)數(shù)7大?？碱}型總結(jié)
【題型目錄】
題型一：導(dǎo)數(shù)中證明不等式問(wèn)題
題型二：導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題
題型三：導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題
題型四：導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題
題型五：導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
題型六：導(dǎo)數(shù)中的雙變量問(wèn)題
題型七：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式問(wèn)題
【題型總結(jié)】
題型一：導(dǎo)數(shù)中證明不等式問(wèn)題
【例1】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，證明：；
(2)討論的單調(diào)性.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值即可證明不等式；
（2），對(duì)分類(lèi)討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，
，
可得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，，
∴，即．
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，??
當(dāng)時(shí)， 時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
【例2】已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出導(dǎo)數(shù)為正、為負(fù)的x取值區(qū)間作答.
（2）等價(jià)變形給定不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值推理作答.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，又，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）因?yàn)?，則不等式，
當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，
令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
于是得，即，
所以.
【例3】已知函數(shù).
(1)求該函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線(xiàn)的方程；
（2）令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋摵瘮?shù)的定義域?yàn)?，則，
所以，，，
因此，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.
（2）解：令，則，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上為減函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，，則.
【例4】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2.
(1)當(dāng)時(shí)，求證：；
(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得，進(jìn)而證得不等式成立.
（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)，先判斷，然后結(jié)合的最小值為負(fù)數(shù)以及零點(diǎn)存在性定理求得的取值范圍.
【詳解】（1）令，則.
當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減.
所以
所以.
（2），
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)f（x）為增函數(shù)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，得，(舍)
所以當(dāng)，，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)，，f（x）單調(diào)遞增.
如果f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，必有，
則，得，所以.
此時(shí)，又此時(shí)，
故在（）有一個(gè)零點(diǎn)：
由（1）知，時(shí)，，令，
解得，故當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，
故在）上有一個(gè)零點(diǎn)，
所以f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為
【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，首先要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)討論要做到不重不漏.然后利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究時(shí)，轉(zhuǎn)化為極值、最值問(wèn)進(jìn)行求解，求解過(guò)程中要注意結(jié)合單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理來(lái)進(jìn)行判斷.
【例5】已知函數(shù)（）.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】(1)當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可；
(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性和極值的關(guān)系得到，即可證明.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，得解得，得解得，
所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，得解得，得解得，
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；
（2）因?yàn)椋?br /> 由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，即，
設(shè)，，
由得解得，
由得解得，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，
從而恒成立，即恒成立.
【題型專(zhuān)練】
1．已知函數(shù)．
(1)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)；(2)證明過(guò)程見(jiàn)詳解
【分析】(1)分，和三種情況討論，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)利用函數(shù)的單調(diào)性和最值進(jìn)行求解即可；
(2)結(jié)合（1）的結(jié)論，將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化證明，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，令，解得：，令，解得：，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，令，
則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)?，所?
（2）由(1)知：時(shí)，在上恒成立，即，
所以當(dāng)時(shí)，，即，又當(dāng)時(shí)，，
所以，所以要證，只需證，即證，令，則有，又，所以，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，，
所以當(dāng)時(shí)，.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，有時(shí)可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，借助單調(diào)性進(jìn)行求解.
2．已知函數(shù)，．
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：．
【答案】(1)在上單調(diào)遞減，理由見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而即得；
（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式.
【詳解】（1）函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，理由如下：
因?yàn)楹瘮?shù)，，
所以，
設(shè)，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（2），，
先證時(shí)，，即，
設(shè)，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即；
再證時(shí)，，即，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以；
綜上，.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
3．已知函數(shù)．
(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）先求出切線(xiàn)的斜率，再求出切點(diǎn)即得解；
（2）令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即得證.
【詳解】（1）解：由題得，所以，
又，所以切線(xiàn)方程為，即.
（2）證明：令，
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，
故當(dāng)時(shí)，.
4．已知函數(shù).
(1)判斷0是否為的極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
(2)證明：.
【答案】(1)0是的極小值點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】（1）求的定義域，求導(dǎo)，得到，且時(shí)，，時(shí)，，故0是的極小值點(diǎn)；
（2）對(duì)不等式變形得到，令，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，從而得到g(x)正負(fù)，故恒成立，結(jié)論得證.
【詳解】（1）0是的極小值點(diǎn)，理由如下：
定義域?yàn)椋?br /> ，其中，
當(dāng)時(shí)，，故，
當(dāng)時(shí)，，故，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故0是的極小值點(diǎn)；
（2）等價(jià)于，
即，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則恒成立，
故.
5．設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；
（2）由（1）得，且，分類(lèi)討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解
【詳解】（1）由，，
又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；
（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)
由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋?br /> 要證，即證，即證．
（?。┊?dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．
綜合（?。áⅲ┯校?br /> [方法二] 【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無(wú)分母函數(shù)
由（1）得，，且，
當(dāng) 時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得；
同理，當(dāng)時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得；
令，再令，則，，
令，，
當(dāng)時(shí)，，單減，故；
當(dāng)時(shí)，，單增，故；
綜上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見(jiàn)結(jié)論證明
令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．
（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，即，所以．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．
綜合（?。áⅲ┑?，當(dāng)且時(shí)，，即．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類(lèi)轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類(lèi)討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時(shí)，成立和當(dāng)時(shí)，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得，通性通法，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見(jiàn)常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．然后換元得到，分類(lèi)討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.
6．設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明當(dāng)時(shí)，；
（Ⅲ）設(shè)，證明當(dāng)時(shí)，.
【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）見(jiàn)解析．
【詳解】試題分析：（Ⅰ）首先求出導(dǎo)函數(shù)，然后通過(guò)解不等式或可確定函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的結(jié)論證明，右端將左端的換為即可證明；（Ⅲ）變形所證不等式，構(gòu)造新函數(shù)，然后通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性來(lái)處理．
試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，的定義域?yàn)?，，令，解?
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為.
所以當(dāng)時(shí)，.
故當(dāng)時(shí)，，，即.
（Ⅲ）由題設(shè)，設(shè)，則，令，
解得.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
由（Ⅱ）知，，故，又，故當(dāng)時(shí)，.
所以當(dāng)時(shí)，.
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明與解法
【思路點(diǎn)撥】求解導(dǎo)數(shù)中的不等式證明問(wèn)題可考慮：（1）首先通過(guò)利用研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性進(jìn)行證明；（2）根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)研究新函數(shù)的單調(diào)性或最值來(lái)證明．
題型二：導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題
【例1】已知函數(shù)（）．
(1)若函數(shù)的極大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的極值，求得答案；
（2）利用（1）的結(jié)論，將不等式轉(zhuǎn)化為，即證當(dāng)時(shí)，
，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得該函數(shù)的最值，進(jìn)而證明不等式.
【詳解】（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 且．
∴當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，無(wú)極大值．
當(dāng)時(shí)，由解得；由解得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,
∴,
即，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以．
（2）證明：由（1）知，即．
要證當(dāng)時(shí)，，
即證，
當(dāng)時(shí)，,即證,
令函數(shù)，則，
令，
則，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，?br /> 所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，使得，即,
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故為函數(shù)在區(qū)間上的唯一極小值點(diǎn)，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：要證當(dāng)時(shí)，，利用（1）的結(jié)論，即證，關(guān)鍵就是再轉(zhuǎn)化為證明，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值，解決問(wèn)題.
【例2】已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：．
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞減，在上為單調(diào)遞增.(2)證明見(jiàn)見(jiàn)解析.
【解析】(1)由已知條件得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，
因?yàn)?
①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上為單調(diào)遞增.
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
故在上為單調(diào)遞減，在上為單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞減，在上為單調(diào)遞增
(2)當(dāng)時(shí)，
要證原式成立，需證成立，即需證成立，
令，則，
令，則，故在上單調(diào)遞增，
，，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在使，
則在上，在上，
即在上，在上，
則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在處取得最小值，
由可得，即，
兩邊同取對(duì)數(shù)，即，
的最小值為，即成立，
故當(dāng)時(shí)，成立.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式. 解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，分析其單調(diào)性，得出其最小值，從而得出函數(shù)在在處取得最小值，而滿(mǎn)足，兩邊同取對(duì)數(shù)得，從而得出最小值為0，從而得證. 屬于難題.
【例3】已知函數(shù).
(1)若，求在上的最大值與最小值之差；
(2)若，證明：
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析
【解析】(1)由題意得，則，
由于都是遞增函數(shù)，故是遞減函數(shù)，
則，
故為遞減函數(shù)，
則，
故；
(2)證明：由， ，
可得，
設(shè)，
令 ，故單調(diào)遞增，
又，
故存在 ，使得，
當(dāng) 時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng) 時(shí)，，單調(diào)遞增，
故，
由于，則，故，所以.
【例4】已知函數(shù)．
(1)若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若對(duì)任意，都有（e為自然對(duì)數(shù)的底），求證：．
【解析】(1)，所以，，???
所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，
因?yàn)榍芯€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以,解得．
(2)設(shè)，則，???
設(shè)，則，
因?yàn)樵谏线f增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，???
令，則,所以在遞減，
因?yàn)?，所以，所以?br /> 【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得，再利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合可證得結(jié)論，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.
【例5】設(shè)函數(shù).
(1)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為1，求實(shí)數(shù)的值；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值.
【答案】(1);(2)答案見(jiàn)解析;(3)最大值為2
【解析】(1)由已知條件得，
在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，即，
(2)的定義域?yàn)? ，
若，則，則在上單調(diào)遞增；
若，由得，由得，
則單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
(3)由得，整理得，
當(dāng)時(shí)，，即
令，則.
令，由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
其中，，
∵由零點(diǎn)存在性定理可知在上存在唯一的零點(diǎn)，即，
∴在上，在上，
∴在上，在上，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴在上的最小值為，
又∵，∴，即，
∴，且為整數(shù)，∴的最大值.
【題型專(zhuān)練】
1.已知函數(shù).
(1)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?，由題意在上有兩解，
即，即有兩解.
令，即的圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn).
，得，當(dāng)時(shí)，，遞增；
當(dāng)時(shí)，，遞減，，，
時(shí)，；時(shí)，，
，，a的取值范圍是.
（2）當(dāng)時(shí)，，即證，即證，
令，，令，則，
當(dāng)時(shí)，，在遞增.
，，
存在唯一的，使得，
當(dāng)時(shí)，，遞減；
當(dāng)時(shí)，，遞增，.
又∵x0∈(1,e)，，∴l(xiāng)nx0?2x02=0，
∴?(x0)=x0lnx0+2?x0+2x0=2x0+2?x0+2x0=2?x0+4x0>2?e+4e>0，
，∴f(x)>x?2x.
2.已知函數(shù)，．
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).
【解析】(1)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，
若時(shí)，則，此時(shí)在單調(diào)遞增；
若時(shí)，則當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)， ，f(x)在單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)時(shí)，，
由題意在上恒成立，
令，則，
令，則，所以在上遞增，
又，所以在上有唯一零點(diǎn)，
由得，
當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞減；
時(shí)，即，單調(diào)遞增，
所以為在定義域內(nèi)的最小值.
即
令，則方程等價(jià)于，
又易知單調(diào)遞增，所以，即
所以，的最小值
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是
【點(diǎn)睛】
利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.
3.已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)設(shè)，若對(duì)任意的，都有恒成立，求的取值范圍.
【解析】(1)，x＞0，
當(dāng)時(shí)，－a≥0，，∴在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，極小值為，無(wú)極大值.
綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間，無(wú)極值；
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值.
(2)∵對(duì)任意的，不等式恒成立，
即在上恒成立，
令，則，
令，則，∴在上為增函數(shù)，
又∵，，
∴，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，可得，∴在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，可得，∴在上單調(diào)遞增，
∴，
由，可得，
令，則，
又由，∴在上單調(diào)遞增，
∴，可得，∴，即，
∴，∴，
綜上所述，滿(mǎn)足條件的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】
本題關(guān)鍵是參變分離不等式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在時(shí)的最小值，轉(zhuǎn)化為通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究F(x)的單調(diào)性和最小值.在求解過(guò)程中，需要對(duì)導(dǎo)數(shù)二次求導(dǎo)，從而判斷導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，該零點(diǎn)為隱零點(diǎn)，故需采用隱零點(diǎn)的討論方法求解.在處理方程時(shí)，還需要采用同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，達(dá)到簡(jiǎn)化的目的.
4.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線(xiàn)斜率為 ．
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若 ，且存在使成立，求的最小值．
【答案】(1)1(2)4
【解析】(1)由題意知：，，解得；
(2)由（1）知：，存在 使 成立等價(jià)于，
令，
則，令，
則，所以在上單增，
又，故存在使，即，
故當(dāng)時(shí)，單減，故當(dāng)時(shí)，單增，
故，故，
又且，故 的最小值為4.
5.已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若對(duì)于任意的，都有，求整數(shù)的最大值.
【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)3.
【解析】（1）的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得：，
令，則，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2），，
令，，則，
由（1）知，在上單調(diào)遞增，且，
則在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，使，即，
則當(dāng)時(shí)，，，有在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，
于是得，因此，，
所以整數(shù)的最大值為3.
6.已知函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意的恒成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）求a的值；
（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且.
【解析】（1）由題意，，
設(shè)，則，且恒成立，
當(dāng)時(shí)，顯然對(duì)任意的，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
從而，
因?yàn)楹愠闪?，所以①?br /> 設(shè)，則，所以，，
從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，即②，
結(jié)合①②可得只能，且此時(shí)，綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為1.
（2）由（1）可得fx=ex?1?xex，所以f'x=ex?1ex+ex?1?xex=2ex?x?2ex，
設(shè)?x=2ex?x?2x∈R，則?'x=2ex?1，
所以，，從而?x在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
因?yàn)??2=2e?2>0，所以?x在上有一個(gè)零點(diǎn)，記作，
又?0=0，所以?x共有和0這2個(gè)零點(diǎn)，且?x>0?x

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