數(shù)列解答題9種常考題型總結(jié)-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類講義（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2024年新高考解答題數(shù)列9種常考題型專題訓(xùn)練總結(jié)
【題型目錄】
題型一：等差等比基本通向求和公式的應(yīng)用
題型二：數(shù)列存在性問(wèn)題
題型三：數(shù)列插入項(xiàng)、公共項(xiàng)分析
題型四：數(shù)列通向分析構(gòu)造新數(shù)列
題型五：數(shù)列中在某個(gè)區(qū)間的項(xiàng)的個(gè)數(shù)問(wèn)題
題型六：數(shù)列中的裂項(xiàng)相消求和問(wèn)題
題型七：數(shù)列中的錯(cuò)位相減求和問(wèn)題
題型八：數(shù)列中的分段數(shù)列求和問(wèn)題
題型九：數(shù)列中的簡(jiǎn)單放縮求和問(wèn)題
【題型總結(jié)】
題型一：等差等比基本通向求和公式的應(yīng)用
【例1】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，
(1)求和．
(2)若數(shù)列成等比數(shù)列，且，求

【例2】已知數(shù)列和滿足，且滿足，，.
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求當(dāng)時(shí)，正整數(shù)的最小值.

【例3】已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．
(1)求；
(2)是否存在最大值？若存在，求出的最大值及取得最大值時(shí)的值；若不存在，說(shuō)明理由．

【例4】已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，是等比數(shù)列，且，，．
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

【例5】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)判斷，，是否成等差數(shù)列并說(shuō)明理由．

【題型專練】
1.已知與都是正項(xiàng)數(shù)列，的前項(xiàng)和為，，且滿足，等比數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足不等式的自然數(shù)n的最小值．

2.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差，其前n項(xiàng)和滿足.
(1)求公差d；
(2)是否存在正整數(shù)m，k使得.

3.在數(shù)列中，，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

4．設(shè)等比數(shù)列滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記為數(shù)列的前項(xiàng)和．若，求的值．

5．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．

題型二：數(shù)列存在性問(wèn)題
【例1】已知在數(shù)列中，，，其中，且，實(shí)數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)是否存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【例2】已知數(shù)列滿足，，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)是否存在正整數(shù)n，使得，，等差數(shù)列？若存在，求出n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

題型三：數(shù)列插入項(xiàng)、公共項(xiàng)分析
【例1】已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，; 是等比數(shù)列，，，公比．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列和的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A，B，將的元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求．

【例2】已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前和為，，數(shù)列滿足
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式;
(2)若對(duì)數(shù)列，，在與之間插入個(gè)2（），組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和.

【例3】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，、、成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
(2)記表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

【題型專練】
1．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為（），滿足．
(1)若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，求的取值范圍；
(2)若，在數(shù)列的第n項(xiàng)與第項(xiàng)之間插入首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列的前n項(xiàng)，形成新數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．

2.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若為正整數(shù)，記集合的元素個(gè)數(shù)為，求數(shù)列的前50項(xiàng)和.

3．已知正項(xiàng)等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足．
(1)分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列中與數(shù)列相同的項(xiàng)剔除后，按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．

題型四：數(shù)列通向分析構(gòu)造新數(shù)列
【例1】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)記，求使成立的的最小值．

【例2】已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求．

題型五：數(shù)列中在某個(gè)區(qū)間的項(xiàng)的個(gè)數(shù)問(wèn)題
【例1】已知公比大于1的等比數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前50項(xiàng)和.

【例2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)給定，記集合中的元素個(gè)數(shù)為，若，試求的最小值.

【例3】已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，
(1)求
(2)對(duì)，將中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求的和．

【題型專練】
1．已知是等差數(shù)列，是公比不為1的等比數(shù)列，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若集合，且，求中所有元素之和．

2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列由與的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列而成，求數(shù)列落在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

3．已知數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且滿足，，，，，等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)記為區(qū)間中的整數(shù)個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

題型六：數(shù)列中的裂項(xiàng)相消求和問(wèn)題
【例1】已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，___________.
給出三個(gè)條件：①，②，③.
試從上面三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線中，并給出下面兩問(wèn)的解答.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求正整數(shù)n的值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【例2】數(shù)列前項(xiàng)和為，其中，且
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：

【例3】已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，為的前項(xiàng)和，.
(1)求；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

【例4】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．

【例5】已知數(shù)列滿足，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，求使成立的最小正整數(shù).

【題型專練】
1．已知是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，且.
(1)求；
(2)若，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.求證：.

2．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中成等比數(shù)列，且數(shù)列為非常數(shù)數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，求.

3．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，的前項(xiàng)和為，求的值域.

4．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)證明：是等差數(shù)列.
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為3，求的取值范圍.

5．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和.求，并證明：.

6．?dāng)?shù)列中，，且滿足
(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求；
(3)設(shè)，是否存在最大的；正整數(shù)，使得對(duì)任意均有成立？若存在求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7．已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前頂和為，求證：.

題型七：數(shù)列中的錯(cuò)位相減求和問(wèn)題
【例1】已知正項(xiàng)數(shù)列中，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前n項(xiàng)和．

【例2】已知等差數(shù)列的公差為，且關(guān)于的不等式的解集為．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列前項(xiàng)和．

【例3】已知數(shù)列前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.

【題型專練】
1．已知數(shù)列中，，.
(1)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和

2．已知數(shù)列和數(shù)列滿足：，其中.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

3．已知數(shù)列滿足對(duì)任意m，都有，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

題型八：數(shù)列中的分段數(shù)列求和問(wèn)題
【例1】已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列的前20項(xiàng)和.

【例2】已知數(shù)列滿足，，.
(1)證明：是等比數(shù)列
(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.

【題型專練】
1.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.
(1)求；
(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

2．已知數(shù)列滿足，
(1)記，寫出，，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式（無(wú)需證明）；
(2)求的前20項(xiàng)和．

3．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，______.
在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入橫線上，并作答.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)且，記的前項(xiàng)和為，求的值.

題型九：數(shù)列中的簡(jiǎn)單放縮求和問(wèn)題
【例1】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且滿足．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，證明：．

【例2】如果數(shù)列滿足：，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明．

【例3】已知數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，證明是等差數(shù)列；
(3)證明：.

【題型專練】
1．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明．

2．已知數(shù)列滿足.
(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)證明： .

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