函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，同時(shí)也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其試題的難度呈逐年上升趨勢，通過對近十年的高考數(shù)學(xué)試題，分析并歸納出五大考點(diǎn)：
（1）含參函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；
（2）函數(shù)的零點(diǎn)問題；
（3）不等式恒成立與存在性問題；
（4）函數(shù)不等式的證明．
（5）導(dǎo)數(shù)中含三角函數(shù)形式的問題
其中，對于函數(shù)不等式證明中極值點(diǎn)偏移、隱零點(diǎn)問題、含三角函數(shù)形式的問題探究和不等式的放縮應(yīng)用這四類問題是目前高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的熱點(diǎn)．
【核心考點(diǎn)目錄】
核心考點(diǎn)一：含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論
核心考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題
核心考點(diǎn)三：雙變量問題
核心考點(diǎn)四：證明不等式
核心考點(diǎn)五：極最值問題
核心考點(diǎn)六：零點(diǎn)問題
核心考點(diǎn)七：不等式恒成立問題
核心考點(diǎn)八：極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題
核心考點(diǎn)九：利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題
核心考點(diǎn)十：導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題
核心考點(diǎn)十一：洛必達(dá)法則
核心考點(diǎn)十二：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題
【真題回歸】
1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若和有公共點(diǎn)，
（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；
（ii）求證：．
【解析】（1），故，而，
曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.
（2）（i）當(dāng)時(shí)，
因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，故有解，
設(shè)，故，故在上有解，
設(shè)，故在上有零點(diǎn)，
而，
若，則恒成立，此時(shí)在上無零點(diǎn)，
若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，
而，，故在上無零點(diǎn)，
故，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，，
故在上存在唯一零點(diǎn)，
且時(shí)，；時(shí)，；
故時(shí)，；時(shí)，；
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故，
因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，故，故，
而，故即，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，故.
（ii）因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，
所以有解，其中，
若，則，該式不成立，故.
故，考慮直線，
表示原點(diǎn)與直線上的動點(diǎn)之間的距離，
故，所以，
下證：對任意，總有，
證明：當(dāng)時(shí)，有，故成立.
當(dāng)時(shí)，即證，
設(shè)，則（不恒為零），
故在上為減函數(shù)，故即成立.
綜上，成立.
下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，
，則，
故在上為增函數(shù)，故即恒成立.
下證：在上恒成立，即證：，
即證：，即證：，
而，故成立.
故，即成立.
2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(3)證明：對任意的，有．
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>即切點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
（2）因?yàn)椋?
所以，
令，
則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上單調(diào)遞增.
（3）原不等式等價(jià)于，
令，，
即證，
∵，
，
由（2）知在上單調(diào)遞增，
∴，
∴
∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?br>∴，所以命題得證.
3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：
（ⅰ）若，則；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
【解析】（1），
當(dāng)，；當(dāng)，，
故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.
（2）（?。┮?yàn)檫^有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為，
故，
故方程有3個(gè)不同的根，
該方程可整理為，
設(shè)，
則
，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，
故且，
整理得到：且，
此時(shí)，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，故，
故.
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，同（ⅰ）中討論可得：
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
不妨設(shè)，則，
因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，
故且，
整理得到：，
因?yàn)?，故?br>又，
設(shè)，，則方程即為：
即為，
記
則為有三個(gè)不同的根，
設(shè)，，
要證：，即證，
即證：，
即證：，
即證：，
而且，
故，
故，
故即證：，
即證：
即證：，
記，則，
設(shè)，則，所以，
，
故在上為增函數(shù)，故，
所以，
記，
則，
所以在為增函數(shù)，故，
故即，
故原不等式得證：
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設(shè)，則，
又，設(shè)，
則，
若，則，
因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當(dāng)時(shí)，有，
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以；
（2），則，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當(dāng)時(shí)，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，
由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，
此時(shí)
存在，使得，
所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．
【解析】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)
的定義域?yàn)?，則
令,得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
[方法二]：同構(gòu)處理
由得：
令，則即
令，則
故在區(qū)間上是增函數(shù)
故，即
所以的取值范圍為
（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)
要證,即證
因?yàn)?即證
又因?yàn)?故只需證
即證
即證
下面證明時(shí)，
設(shè)，
則
設(shè)
所以,而
所以,所以
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令
所以在單調(diào)遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
[方法二]：對數(shù)平均不等式
由題意得：
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解
又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故
兩邊取對數(shù)得：，即
又因?yàn)椋?，?br>下證
因?yàn)?br>不妨設(shè)，則只需證
構(gòu)造，則
故在上單調(diào)遞減
故，即得證
7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
【解析】（1）的定義域?yàn)?，而?br>若，則，此時(shí)無最小值，故.
的定義域?yàn)?，?
當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，
故.
當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，
故.
因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?br>故，整理得到，其中，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，而，
故的唯一解為，故的解為.
綜上，.
（2）[方法一]：
由（1）可得和的最小值為.
當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
設(shè)，其中，則，
故在上為增函數(shù)，故，
故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.
當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，
當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無根，
故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
則.
設(shè)，其中，故，
設(shè)，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
所以，所以在上為增函數(shù)，
而，，
故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：
當(dāng)時(shí)，即即，
當(dāng)時(shí)，即即，
因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
故，
此時(shí)有兩個(gè)不同的根，
此時(shí)有兩個(gè)不同的根，
故，，，
所以即即，
故為方程的解，同理也為方程的解
又可化為即即，
故為方程的解，同理也為方程的解，
所以，而，
故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且
①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和
共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；
②時(shí)，此時(shí)，
故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；
③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，
即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?，?br>令，則，
所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為
其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，
即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，
所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，，?br>令，則，
所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為
再次，證明存在b，使得
因?yàn)?，所以?br>若，則，即，
所以只需證明在上有解即可，
即在上有零點(diǎn)，
因?yàn)?，?br>所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，
此時(shí)取
則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，
因?yàn)?br>所以，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，
同理，因?yàn)椋?br>又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，
又因?yàn)?，所以?br>即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.
【方法技巧與總結(jié)】
1、對稱變換
主要用來解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點(diǎn)如下：（1）定函數(shù)（極值點(diǎn)為），即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0．
（2）構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對稱函數(shù)，若證 ，則令．
（3）判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．
（4）比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．
（5）轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．
【注意】若要證明的符號問題，還需進(jìn)一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．
構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中．某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用．因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的．根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧．許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效
2、應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：
①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；
②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；
③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題．
3、 比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可．
【核心考點(diǎn)】
核心考點(diǎn)一：含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論
【規(guī)律方法】
1、導(dǎo)函數(shù)為含參一次型的函數(shù)單調(diào)性
導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)時(shí)，首先討論一次項(xiàng)系數(shù)為0，導(dǎo)函數(shù)的符號易于判斷，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)不為雩，討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
2、導(dǎo)函數(shù)為含參二次型函數(shù)的單調(diào)性
當(dāng)主導(dǎo)函數(shù)（決定導(dǎo)函數(shù)符號的函數(shù)）為二次函數(shù)時(shí)，確定原函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題轉(zhuǎn)化為探究該二次函數(shù)在給定區(qū)間上根的判定問題．對于此二次函數(shù)根的判定有兩種情況：
（1）若該二次函數(shù)不容易因式分解，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域；
（2）若該二次函數(shù)容易因式分解，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性．
3、導(dǎo)函數(shù)為含參二階求導(dǎo)型的函數(shù)單調(diào)性
當(dāng)無法直接通過解不等式得到一階導(dǎo)函數(shù)的符號時(shí)，可對“主導(dǎo)”函數(shù)再次求導(dǎo)，使解題思路清晰．“再構(gòu)造、再求導(dǎo)”是破解函數(shù)綜合問題的強(qiáng)大武器．
在此我們首先要清楚之間的聯(lián)系是如何判斷原函數(shù)單調(diào)性的．
（1）二次求導(dǎo)目的：通過的符號，來判斷的單調(diào)性；
（2）通過賦特殊值找到的零點(diǎn)，來判斷正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得出單調(diào)性．
【典型例題】
例1．（2023春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期中）已知三次函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程，
(2)討論的單調(diào)性.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
，
所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
又，，
整理可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為；
（2），
若，由可得，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
可得或，
所以在 為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
若，
在 為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
若，，在上為減函數(shù)，
若，
在 為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
綜上可得：
若，
在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)， 在 為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
若
在 為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
若，，在上為減函數(shù)，
若，在 為減函數(shù)，在上為增函數(shù).
例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，討論函數(shù)單調(diào)性；
【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，求的單調(diào)區(qū)間.
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得：，
若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若，由，得或，由，得，
因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
若，恒成立，因此在上單調(diào)遞增，
若，由，得或，由，得，
因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為.
例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
核心考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題
【規(guī)律方法】
在解決等差、等比數(shù)列綜合問題時(shí)，要充分利用基本公式、性質(zhì)以及它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，在求解過程中要樹立“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么”，并適時(shí)地采用“巧用性質(zhì)，整體考慮”的方法．可以達(dá)到減少運(yùn)算量的目的．
【典型例題】
例5．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：.
【解析】（1），，，，
，
時(shí)，，
∴，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴恒成立，滿足條件.
時(shí)，對于方程，其，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，，
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
，則，不滿足條件，舍去.
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
（2）證明：由（1）可知：取時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴在上恒成立，
令，則，
∴，
∴，
∴.
例6．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍；
(3)證明：當(dāng)．
【解析】（1）由題，則.
得，故在點(diǎn)處的切線方程為：
.
（2）由題，，
令，則.
①當(dāng)，即時(shí)，，有在上單調(diào)遞增，則，得在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，故滿足題意.
②當(dāng)，即時(shí)，令，得，
則在上單調(diào)遞減，又，
得在上單調(diào)遞減，此時(shí)，故不合題意.
綜上可得：.
（3）由（2），當(dāng)時(shí)有.
注意到，則令，其中.
則由
可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.
其中.
則令，其中，
得.
又代換后原不等式中的等號已經(jīng)取不到（需），故有
即，其中.
則有
故原式得證.
例7．（2023春·福建寧德·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（）.
(1)，求證：；
(2)證明：.()
【解析】（1）先證，令，此時(shí)，故，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即.
再證，
令，，
，在上單調(diào)遞增，
故，即，
綜合以上可得時(shí)，；
（2）由（1）可知，
，
要證，只需證，
即證，即證；
，
要證，即證
令，則，
在上單調(diào)遞增，，，
所以在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則時(shí)，，時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
而，，
由于 ，,故，
故，
所以時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，也成立，
所以，得證，則成立.
核心考點(diǎn)三：雙變量問題
【規(guī)律方法】
破解雙參數(shù)不等式的方法：
一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；
二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；
三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．
【典型例題】
例8．（2023春·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若過原點(diǎn)的一條直線與曲線相切，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：
①；
②.
【解析】（1）由可得，
設(shè)切點(diǎn)，
則切線方程為，
代入，解得；
（2）令，得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，
所以，
設(shè)，則，且，
所以，
從而，
故，
，
①令，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以，即；
②令，則，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，而，
所以當(dāng)時(shí)，，
故，從而在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br>所以，即.
例9．（2023春·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明:.
【解析】（1）,則,
顯然不是的零點(diǎn),
令,則,
在單調(diào)遞減,在（0,1）單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且
時(shí),只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以此時(shí)有1個(gè)極值點(diǎn),
時(shí),沒有實(shí)數(shù)根，故有0個(gè)極值點(diǎn),
當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)實(shí)數(shù)根，但不是極值點(diǎn)，故此時(shí)沒有極值點(diǎn)，
時(shí),有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故有2個(gè)極值點(diǎn).
（2）由（1）知,,且在（0,1）單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
先證:,即證:，即證:.
即證:.
令,
即證:,
令則
令,則,則在單調(diào)遞減
,
,即在單調(diào)遞減,
,證畢.
再證:,
,且
.
在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
.
即證:,
又,
即證:.
令,
.
令,
,
令
,
令
令,
,
在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
,
,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.
,
在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
,
在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
,
,
,
在單調(diào)遞增,
,
所以原命題得證.
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）巳知函數(shù).
(1)求函數(shù)f（x）的最大值;
(2)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根證明:
【解析】（1）因?yàn)椋?
令，得；令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
（2）方程
可化為.
設(shè)，顯然在上是增函數(shù)，又，
所以有，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.
由（1）可知，則有，所以的取值范圍為.
因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，，所以，
則，要證，即證.
，
需證.
需證.
不妨設(shè)，令，則，即要證.
設(shè)，則，
所以在上是增函數(shù)，，即成立，故原式成立.
核心考點(diǎn)四：證明不等式
【規(guī)律方法】
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．
（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友
（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題
（6）同構(gòu)變形
【典型例題】
例11．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性
(2)設(shè)為的兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：當(dāng)時(shí)，．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)?，?br>①當(dāng)時(shí)，，恒成立，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，解得：（舍）或，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）不妨設(shè)，則，且，
兩式作差整理得：，，
；
；
要證，
只需證，
又，則只需證；
即證；
令，則，
在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，，即，；
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）；
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）；
，即；
又，，
成立.
例12．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若，且，證明．
【解析】（1） 的定義域?yàn)?.
∵，僅當(dāng)時(shí)取等號，
∴ 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
（2）由題可得 ，
若 ， 則必有 ， 則 ；
若，則必有，則．
∴若，則．
要證，只需證，只需證，即證，
又，故只需證．
令．
則．
∵，∴，∴，
且，
∴，故在上單調(diào)遞增．
∵，∴，∴，∴，得證.
例13．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求實(shí)數(shù)m和n的值；
(2)已知，是函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，且，求證：.
【解析】（1）由，得.
因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線方程為，
所以，，則；
（2）證明：由（1）可得，，，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
因?yàn)椋呛瘮?shù)的圖象上兩點(diǎn)，且，
不妨設(shè)，且，所以.
由，得，即.
設(shè)，.
設(shè)，則，所以，
即，故.
要證，只需證，
即證，即證，即證，
即證，即證.
令，，
則，
證明不等式；
設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
故，所以成立.
由上還不等式可得，當(dāng)時(shí)，，故恒成立，
故在上為減函數(shù)，則，
所以成立，即成立.
綜上所述，.
核心考點(diǎn)五：極最值問題
【規(guī)律方法】
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題．解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最值．只是對含有參數(shù)的極最值問題，需要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性及唯一性等，由于零點(diǎn)的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作．
【典型例題】
例14．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求在上的最值；
(2)討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
，故在上單調(diào)遞增，
，.
（2）,
①當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí)在上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn).
②當(dāng)時(shí),令,即，解得:或，
令,即，解得
故此時(shí)在遞增,在遞減,在遞增,
所以在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值，故此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，
綜上所述:時(shí),無極值點(diǎn)，
時(shí),有2個(gè)極值點(diǎn).
例15．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中a為大于0的常數(shù)，若．
(1)討論的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在取得極小值，求的最小值．
【解析】（1），
求導(dǎo)，
由，令，得，
（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)和時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
（3）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)和時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，即，
則，其中
令，即求
求導(dǎo)
令，得，即
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
故在處取得極小值，即最小值
所以的最小值為
例16．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，函數(shù)的最小值為2，其中，．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)，有，求的最大值．
【解析】（1）由題意知，，
則，
令，令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，又，
所以，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.
故.
（2）由，得
，即，
對于，可得不等式在R上恒成立，
即在R上恒成立，
設(shè)，則，
若，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
且，符合題意；
若，令，令，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
由，得，即①；
對于，可得不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
設(shè)，則，
若，則，不符合題意；
若，令，令，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
由，得，即②.
當(dāng)時(shí)，由①②得，，即，
設(shè)，則，，
故存在零點(diǎn)，故當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立.
綜上，的最大值為1.
核心考點(diǎn)六：零點(diǎn)問題
【規(guī)律方法】
函數(shù)零點(diǎn)問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍．
求解步驟：
第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點(diǎn)問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；
第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù)．
【典型例題】
例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若存在，使得成立，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】（1）若存在，使得成立，
則在時(shí)成立，故，
令，，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
故，所以，
故的取值范圍為；
（2）有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，所以有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
令，則，
令，則，
因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，
由題意得，
故的取值范圍為．
例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，已知函數(shù)，和.
(1)若與有相同的最小值，求a的值；
(2)設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.
【解析】（1），，令，則
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則
因?yàn)?，則的定義域?yàn)?br>，令，則
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則
依題，
所以，
（2）因?yàn)椋?br>令，即，則
即，則
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，
即在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
由（1）可得：，解得：
此時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，下證在上有一個(gè)零點(diǎn)，
取，則
令，則
所以在單調(diào)遞減，則，即，
因?yàn)?，令，則，
所以，
令，則，
令，則，
所以在上遞增，所以，
所以，則，
所以在上單調(diào)遞增，則，即，
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
則的取值范圍為
例19．（2023春·廣西·高三期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；
(2)若關(guān)于x的方1有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，故，
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，
故.
（2）方程即為，
整理得到：，令，
故，因?yàn)榫鶠樯系脑龊瘮?shù)，故為上的增函數(shù)，
而，故的解為，
因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故有兩個(gè)不同的正數(shù)根，
設(shè)，則，
若，則，故在上為增函數(shù)，
在上至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；
若，則時(shí)，；時(shí)，，
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
由有兩個(gè)不同的零點(diǎn)可得，
故.
當(dāng)時(shí)，，而，
故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
又，設(shè)，
令，，則，
故在上為減函數(shù)，故，
故，故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上.
核心考點(diǎn)七：不等式恒成立問題
【規(guī)律方法】
1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，，，．
（1）若，，有成立，則；
（2）若，，有成立，則；
（3）若，，有成立，則；
（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．
【典型例題】
例20．（2023·廣西南寧·南寧二中?？家荒＃┮阎瘮?shù).
(1)若函數(shù)的圖象在處的切線與直線平行，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)求證：當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立.
【解析】（1），
函數(shù)的定義域?yàn)?，得?br>則.
又因?yàn)榍芯€與直線平行，所以，解得.
又，故切線方程為，
即；
（2）由在上恒成立，得在上恒成立.
令，即在上恒成立，
易知.
①當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，令，得，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（?。┊?dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以存在，使得成立，所以，不滿足題意；
（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以.
設(shè)，
則，所以在上單調(diào)遞增，
則，故，
即存在，使得成立.所以，不滿足題意；
（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，滿足題意.
綜上，.
例21．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)且為常數(shù)）.
(1)當(dāng)，求函數(shù)的最小值；
(2)若函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>設(shè)，，由，得，
列表如下：
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
做出函數(shù)與的圖像，如下圖，
當(dāng)時(shí)，直線與的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，
有圖可知，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，
所以的取值范圍是；
（3）不等式對任意的恒成立，
等價(jià)于對任意的 恒成立，
所以對任意的恒成立，
令，其中，則，
令，其中，則，對任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，故存在，使得?br>當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
由可得，故，可得，
所以，
故.
例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，，所以，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，所以，即在上單調(diào)遞減，
則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因?yàn)椋?br>則，
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，因?yàn)?，，?br>所以，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，不等式在區(qū)間上無解；
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，
因此，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，不等式在區(qū)間上有解．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
核心考點(diǎn)八：極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題
【規(guī)律方法】
1、極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念
所謂極值點(diǎn)偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性．若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往．如下圖所示．

圖1 極值點(diǎn)不偏移 圖2 極值點(diǎn)偏移
極值點(diǎn)偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡稱極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡稱極值點(diǎn)右偏．
【典型例題】
例23．（2022?浙江期中）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，．
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）證明：．
【解析】解：（1）函數(shù)
，
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，
若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，．
則，即；
證明：（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，．不妨設(shè)，
則，且，
若證．即證，
構(gòu)造函數(shù)，，
所以，
所以，，
令，則，所以單調(diào)遞增，
所以（1），
所以，所以（1），
即，，
又，所以
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，故原不等式得證．
例24．（2021春?汕頭校級月考）已知，函數(shù)，其中．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
求的取值范圍；
設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，證明：．
【解析】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，由得，
則當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減．
（2）法1：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即方程在有兩個(gè)不同根，
轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖：
可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)圖象的直線斜率為，
只須，
設(shè)切點(diǎn)，，所以，
又，所以，解得，
于是，所以，
法2：由（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，
，
此時(shí)，
需解得，
從而，
又故在有一個(gè)零點(diǎn)；，
設(shè)，，則
故在單調(diào)遞減在有一個(gè)零點(diǎn)故的取值范圍為．
原不等式，
不妨設(shè)，
，，
，，
，，
，
令，則，于是，設(shè)函數(shù)，
求導(dǎo)得：，
故函數(shù)是上的增函數(shù)，
（1），即不等式成立，故所證不等式成立．
例25．（2022?浙江開學(xué)）已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：．
【解析】解：，
，時(shí)，，
，
時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
時(shí)，，
時(shí)，增區(qū)間為：；
時(shí)，，
，
時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
綜上：時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
時(shí)，增區(qū)間為：；
時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
（Ⅱ）證法一：由（1）知，時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
且時(shí)，，，
函數(shù)的大致圖像如下圖所示：
因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以，即，
不妨設(shè)，則，
先證：，即證：，
因?yàn)椋?，又在單調(diào)遞增，所以即證：
又，所以即證：，，
令函數(shù)，，
則，
因?yàn)?，所以，，故?br>函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)?，所以，，即?br>所以．
（Ⅱ）證法二：因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，
則兩個(gè)零點(diǎn)必為正實(shí)數(shù)，，
問題等價(jià)于有兩個(gè)正實(shí)數(shù)解；
令
則，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，
令，，
則，
所以在單調(diào)遞增，，
又，故，，
又，所以，
又，所以，，
又在單調(diào)遞增，所以，
所以．
核心考點(diǎn)九：利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題
【規(guī)律方法】
分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離
【典型例題】
例26．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)在處的切線方程
（2）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（3）若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．
【解析】（1），
，，
，
在處的切線為；
（2）證明：，
，
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，
（3），（4），
在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．
（3），且，
，
令，則，，
由（2）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，
設(shè)該零點(diǎn)為，則，
故當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，時(shí)，，即，在，上單調(diào)遞增，
，
，
故整數(shù)的最大值為3．
例27．已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）令，若在恒成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，）．
【解析】
（1）（1）當(dāng)時(shí)，可得，則，
可得，且，
即函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率，
所以切線方程為，即，
函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程．
（2）由，
因?yàn)樵诤愠闪?，即在恒成立?br>即在恒成立，
令，可得，
令，可得在上單調(diào)遞增，且，
所以存在，使得，
從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)樵诤愠闪?，所以?br>所以整數(shù)的最大值為．
例28．已知函數(shù)．
（1）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（2）若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．
【解析】
（1）證明：∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，
∵，，
∴在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．
（2）解：∵，且，
∴，
令，則，，
由（1）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，
設(shè)該零點(diǎn)為，則，
故當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增，
∴，
∴，
故整數(shù)的最大值為3．
核心考點(diǎn)十：導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題
【規(guī)律方法】
1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式
2、同構(gòu)式的應(yīng)用：
（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程和呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程的兩個(gè)根
（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系．可比較大小或解不等式．
①指對各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”：，；尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵；
③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、、參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍．
（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果滿足的方程為同構(gòu)式，則為方程所表示曲線上的兩點(diǎn)．特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程
（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于與的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解
【典型例題】
例29．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．
【解析】（1），定義域?yàn)椋?br>由，解得，
由，解得，
由，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）∵a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，
∴，即，
由（1）可知，且，時(shí)，，
則令，
則為的兩根，且，
不妨設(shè)，則，
先證，即證，即證，
令，即證在上，，
則，
在上單調(diào)遞增，即，
∴在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，，
∴，即可得；
再證，即證，
由（1）單調(diào)性可得證，
令，
，
在上單調(diào)遞增，
∴，且當(dāng)，
所以存在使得，
即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
又有，
且，
所以恒成立，
∴，
則，即可證得．
例30．（2022·河南鄭州·二模（文））已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)x>0時(shí)，證明：
【解析】（1）定義域?yàn)椋?br>則，時(shí)，，在單調(diào)遞增，
時(shí)，，在單調(diào)遞減，
故函數(shù)的極大值為，無極小值
（2）證明等價(jià)證明（），
即．
令
，
令，則在上單調(diào)遞增，
而，
故在上存在唯一零點(diǎn)，且，
時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
故，又因?yàn)榧矗?br>所以，從而，
即
例31．（2022·河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)．
（1）討論f（x）的單調(diào)性．
（2）若a＝0，證明：對任意的x>1，都有．
【解析】（1）解：由題意可得．
當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）證明：由題得，時(shí)，對任意的，都有，即，
等價(jià)于，即．
設(shè)，則．
由，得；由，得．
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．
設(shè)，則．
由，得；由，得．
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，，所以有解?br>則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．
即，即．
核心考點(diǎn)十一：洛必達(dá)法則
【規(guī)律方法】
法則1、若函數(shù)和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點(diǎn)的去心 \t "" 鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；
（3），那么=．
法則2、若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；
（2），和在與上可導(dǎo)，且；
（3），
那么=．
法則3、若函數(shù)和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點(diǎn)的去心 \t "" 鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；
（3），
那么=．
注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：
（1）將上面公式中的，，，洛必達(dá)法則也成立．
（2）洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型．
（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會出錯(cuò)．當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．
（4）若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．
，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則．
【典型例題】
例32．已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1），；
函數(shù)在處取得極值，；
又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，；
解得：；
（2）不等式恒成立可化為，即；
當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，
令，則；
令，則；
令，則；
得在是減函數(shù)，故，進(jìn)而
（或，，
得在是減函數(shù)，進(jìn)而）．
可得：，故，所以在是減函數(shù)，
而要大于等于在上的最大值，但當(dāng)時(shí)，沒有意義，
變量分離失效，我們可以由洛必達(dá)法得到答案，，故答案為．
例33．設(shè)函數(shù)．
（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）設(shè)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
【解析】（1）易證．
（2）由題設(shè)，此時(shí)．
①當(dāng)時(shí)，若，則，不成立；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即；
若，則；
若，則等價(jià)于，即．
記，則．
記，則，．
因此，在上單調(diào)遞增，且，所以，
即在上單調(diào)遞增，且，所以．
因此，所以在上單調(diào)遞增．
由洛必達(dá)法則有，
即當(dāng)時(shí)，，即有，所以．
綜上所述，的取值范圍是．
例34．設(shè)函數(shù)．如果對任何，都有，求的取值范圍．
【解析】，
若，則；
若，則等價(jià)于，即
則．
記，
因此，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且，
故，所以在上單調(diào)遞減，
而．
另一方面，當(dāng)時(shí)，，
因此．
核心考點(diǎn)十二：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題
【規(guī)律方法】
分段分析法
【典型例題】
例35．（2023·河南鄭州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)求證：在上單調(diào)遞增；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1），，
當(dāng)時(shí)，，，，（等號不能同時(shí)成立），所以；
當(dāng)時(shí)，，，，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，綜上，在上單調(diào)遞增．
（2），化簡得，
①當(dāng)時(shí)，，顯然恒成立；
②當(dāng)時(shí)，，顯然恒成立；
③當(dāng)時(shí)，，∴．
設(shè)，，
設(shè)，．
∵，∴，，∴，在上單調(diào)遞增，
又由，所以
當(dāng)時(shí)，∴，，∴在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，∴在上單調(diào)遞增，
所以，故．
例36．（2023春·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（a為常數(shù)），函數(shù).
(1)證明：（i）當(dāng)時(shí)，；
（ii）當(dāng)時(shí)，；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，曲線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
【解析】（1）令,所以,則,
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，,即,所以；
當(dāng)時(shí)，,即,所以
（2）解法一:
由，得，
設(shè)，則 .
令，由上述推理可得或.
① 當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以的零點(diǎn)有且僅有一個(gè)為0.
② 當(dāng)時(shí)，列表如下：
首先在上無零點(diǎn)；
取且
從而在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，曲線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).
解法二:
令
令
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
注意到,所以在上有唯一的零點(diǎn).
②當(dāng)時(shí)，令或,
且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增,且
當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
.，
令,
,在上有唯一的零點(diǎn)，證畢!
例37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以,
因?yàn)椋栽谏希?br>由，解得.
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù).
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，
在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).
因?yàn)椋?br>所以，
故，
所以，
所以.
設(shè)，
所以在上為減函數(shù).
又，則，所以，
所以.
【新題速遞】
1．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．
(1)求值；
(2)判斷的單調(diào)性；
(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式的解集為?直接寫出的取值范圍．
【解析】（1），則，
，解得.
，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.
故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，滿足.
（2），
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.
（3），
當(dāng)，易知，，故.
故，滿足條件.
當(dāng)時(shí)，設(shè)，故，
故，即，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
故，故.
，
即可以無限接近.
綜上所述：.
2．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知．
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，依題意，，成立，
即，成立，而當(dāng)時(shí)，，因此，
而時(shí)，不是常數(shù)函數(shù)，于是得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）知，，因有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，即有兩不等正根，
于是得，有，
，
，令，，
，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，
因此，使得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
顯然在上單調(diào)遞增，則，因此，即有，
所以.
3．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．
【解析】（1）依題意，，切點(diǎn)在切線上，則，
，
而的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，，解得得，
所以函數(shù)的解析式為.
（2）由（1）知，，由得或，
當(dāng)時(shí)，或，有，，有，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，
所以在上的最大值為 ，最小值為.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，.
(1)若直線與在處的切線垂直，求的值；
(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：.
【解析】（1）∵，∴在處的切線斜率，
∵直線與切線垂直，∴，∴.
（2）由題意得，，
由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，即，在有兩個(gè)不等式的實(shí)根，，
∵，，，
∴，則，且，，
方法一：要證，即證，
則，
同理可得：，
則，
，
令，，
則，，
由，則，，則，則，
則在上單調(diào)遞增，
∴，∴，即，
∴成立.
方法二：要證，即證：，
又
，
又，
所以，
又
所以只需證明：，，
令，，
求導(dǎo)，，，
由，則，，則，則，
則在上單調(diào)遞增，∴
所以，即.
5．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，直線與曲線相切．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若曲線與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為．
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②證明：．
【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)，，
得，，所以，代入直線方程得；
（2）①由（1）知，若曲線與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則等價(jià)于有2個(gè)實(shí)數(shù)根，，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
，當(dāng)趨向于正無窮大時(shí)，趨向于0，當(dāng)趨向于負(fù)無窮大時(shí)，趨向于負(fù)無窮大，
則；
②，即，等價(jià)于，
令，，
，
因?yàn)?，所以，故?br>所以在上單調(diào)遞增，故,
不妨設(shè)，故，即，
由已知，所以，
由①知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
故，所以，
所以.
6．（2023春·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，∴
令，得；令，得
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
的單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）
，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，
∴此時(shí) ，
②當(dāng)，令，得；令，得 ，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴．
∵，，，
∴此時(shí)
③當(dāng)，恒成立，在上單調(diào)遞減．
∴此時(shí)，令，得.
要使，，只需在的最大值點(diǎn)
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為
7．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作曲線的切線l，求l的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，對于任意，證明：．
【解析】（1）由題，時(shí)，，，
設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，
該切線過點(diǎn)，則，即，
所以或．又；；，．
所以，切線方程為或；
（2）設(shè)，則，
令，則，
可知，時(shí)，；時(shí)，，
故時(shí)均有，則即在上單調(diào)遞增，，
因?yàn)闀r(shí)，則，，故在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，．
所以，當(dāng)時(shí)，對于任意，均有．
8．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，求證：．
【解析】（1）由得，
由單調(diào)遞增，則，得，
設(shè)，則，
可知時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，﹐單調(diào)遞減，則時(shí)，取得極大值，也即為最大值，則．
所以，a的取值范圍是．
（2）由題，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則即有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
由（1），可知時(shí)，取得極大值，且時(shí)，時(shí)，故有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，且．
過點(diǎn)與的直線方程為，
構(gòu)造函數(shù)，，
令，則，
則時(shí)，，即單調(diào)遞減；時(shí)，，即單調(diào)遞增，所以時(shí)，極小值為，
所以時(shí)，，則，
即，故當(dāng)時(shí)，，
設(shè)方程根為，則．構(gòu)造函數(shù)，
設(shè)，
可知時(shí)，則，
所以時(shí)，，
設(shè)方程解為，則．
于是有，如圖，
所以，證畢．
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在，使得，設(shè)函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)從左到右分別為，，，，證明：點(diǎn)，分別是線段和線段的黃金分割點(diǎn).（注：若線段上的點(diǎn)將線段分割成兩部分，且其中較長部分與全長之比等于較短部分與較長部分之比，則稱此點(diǎn)為該線段的黃金分割點(diǎn)）
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以.
①當(dāng)時(shí)，由解得，由解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，由解得，由解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）若存在，使得，
則，
得，
得對任意恒成立，
即對任意恒成立，
所以
所以；
代入得，
由可得.
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對稱，所以有
，得，，，，
所以，，
所以點(diǎn)，分別是線段和的黃金分割點(diǎn).
10．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，，其中為常數(shù)，若.
(1)討論的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在取得極小值，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1），明顯可見，
①，即，此時(shí)恒成立，即在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
②，即，和上，在上，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
③，即，和上，在上，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）在取得極小值,分析①②③三種情況，則只有②滿足題意，此時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，對于，則，可得，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減；故，；又，，
，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；故
；又，；
當(dāng)時(shí)，不妨令，，
，，令，則
，，令，則
，，在時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù)，且，
若，則時(shí)，，單調(diào)遞增，且，
故，得單調(diào)遞增，
，得到單調(diào)遞增；
，符合題意；故時(shí)，恒成立；
若，，則，，在單調(diào)遞減，，在單調(diào)遞減，，不符題意；
綜上所述，
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P(2，0)作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
(1)若的傾斜角為，求△FAB的面積；
(2)過點(diǎn)A，B分別作拋物線C的兩條切線，且直線與直線相交于點(diǎn)M，問：點(diǎn)M是否在某定直線上？若在，求該定直線的方程，若不在，請說明理由．
【解析】（1）∵l的傾斜角為，∴，
∵直線為點(diǎn)P(2，0)，∴直線的方程y＝x－2，即x＝y(tǒng)＋2，
聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡可得，
設(shè)A，B，則，，
∴，
又∵點(diǎn)F(1，0)到直線的距離是，
∴．
（2）設(shè)的方程為，
聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡可得，
則，由韋達(dá)定理可得＝4m，＝－8，
∴，
不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方，
當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)可得，∴，
∴拋物線C上過點(diǎn)A的切線的方程為，即①，
當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)可得，∴，
∴拋物線C上過點(diǎn)B的切線方程為，即②，
聯(lián)立①②可得，，
∵，
∴，
∵＝4，∴，
又∵，∴x＝－2，即M的橫坐標(biāo)恒為－2，
∴點(diǎn)M在定直線x＝－2上．
12．（2023春·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，，
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對于定義域內(nèi)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>．
當(dāng)時(shí)，對任意的，，
此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，由，可得；由，可得,
函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）對任意的，，
即，
可得對任意的恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，，
構(gòu)造函數(shù)，其中，
則，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
，因?yàn)椋?br>則，
構(gòu)造函數(shù)，其中，
則，函數(shù)在上為增函數(shù)，
因?yàn)?，則，則，
由可得，
所以，
所以，可得，
所以，
．
減
極小值
增
0
0
0
0
0
極大值
極小值

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