?第20講 雙曲線高考6大?？蓟A(chǔ)題型總結(jié)
【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)二：雙曲線的通徑
過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長(zhǎng)為．
考點(diǎn)三：雙曲線常考性質(zhì)結(jié)論
①雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù);
②雙曲線上的任意點(diǎn)到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；
考點(diǎn)四：雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大）
【題型目錄】
題型一：利用雙曲線定義解題
題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型三：雙曲線焦點(diǎn)三角形面積
題型四：雙曲線的漸近線有關(guān)題型
題型五：雙曲線的離心率問(wèn)題
題型六：雙曲線的最值問(wèn)題
【典型例題】
題型一：利用雙曲線定義解題
【例1】已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為，若點(diǎn)在雙曲線上，且，則（???????）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件求出的值，再利用雙曲線的定義可求得.
【詳解】解：雙曲線C的漸近線方程為，則，所以，，，
由雙曲線定義可知，則或，
又因?yàn)椋剩?br /> 故選：A．
【例2】已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則
【答案】
【分析】利用雙曲線的定義及余弦定理求解得答案.
【詳解】在雙曲線中，，，,
∵，又，∴，
所以
【例3】已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的值為 ．
【答案】【解析】由雙曲線的方程可知


【例4】已知曲線的方程為，下列說(shuō)法正確的是（???????）
A．若，則曲線為橢圓
B．若，則曲線為雙曲線
C．若曲線為焦點(diǎn)在軸的橢圓，則
D．若為雙曲線，則漸近線方程為
【答案】BD
【分析】根據(jù)橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷ABC，由雙曲線的性質(zhì)可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足，曲線不為橢圓，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程知，是雙曲線，故正確；
對(duì)于C，由可得，若表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，則，
即，故錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若為雙曲線，則由可得，即雙曲線的漸近線方程為，故正確.
故選：BD
【題型專練】
1.設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（???????）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】依題意作出曲線圖形，點(diǎn)P在雙曲線右支上，由雙曲線定義，可得|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1.
【詳解】由題意可知：雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，a=4，b=3，c=5，
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F2（5，0），左焦點(diǎn)F（﹣5，0），
由OM為△PFF1中位線，則丨OM丨=丨PF2丨，
由PF與圓x2+y2=16相切于點(diǎn)N，則△ONF為直角三角形，
∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，
則丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，
由丨MF丨=丨PF丨，
∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1，
∴|MN|﹣|MO|=1，
故選：B．

2.已知F1、F2分別為雙曲線C: - =1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為C上一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)，AM為∠F1AF2的角平分線．則|AF2| = .
【答案】
【分析】利用角平分線定理及雙曲線的定義求解得答案.
【詳解】在雙曲線中，，
所以，又，∴
3.方程表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是（???????）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】求得方程表示雙曲線的充要條件，從而確定正確答案.
【詳解】由于方程表示雙曲線，，
所以，解得，
所以在ABCD四個(gè)選項(xiàng)中，
方程表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是.
故選：B、
題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線的定義可求得的值，再由可求得的值，結(jié)合雙曲線的焦點(diǎn)位置可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】
橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由雙曲線的定義可得，
，，，
因此，雙曲線的方程為.
故選：C.
【例2】已知圓，為圓心，為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用圓的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，
所以有，由圓，得，該圓的半徑，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
所以有，于是有，
所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，
所以，，可得，所以，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：B．
【例3】已知雙曲線H：（），以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的虛半軸長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形的面積為，則雙曲線的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線在第一三象限的漸近線傾斜角正切，再結(jié)合四邊形面積求解作答.
【詳解】雙曲線H：的漸近線方程為：，令直線的傾斜角為，則，
由對(duì)稱性不妨令點(diǎn)分別在第一、四象限，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，則，
于是得，而雙曲線的虛半軸長(zhǎng)為3，
即，顯然四邊形為矩形，其面積，解得
所以雙曲線的方程為.
故選：B
【例4】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，，若與C的一條漸近線l垂直，垂足為N，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用中位線的性質(zhì)得到，且，根據(jù)得到，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式得到，最后再直角三角形中利用勾股定理列方程得到，即可得到雙曲線方程.
【詳解】因?yàn)?，，且為中點(diǎn)，所以，且，
因?yàn)?，所以，解得?br /> 直線l的方程為，所以，則，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C.
【題型專練】
1．已知雙曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離為2，焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)雙曲線定點(diǎn)的定義，求得，設(shè)出雙曲線方程，寫(xiě)出漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式，建立方程，可得答案.
【詳解】由題意得，即，設(shè)雙曲線的方程為，
焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，
雙曲線方程為，綜上，雙曲線的方程為．
故選：B．
2．已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線上，滿足，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意可知，求解即可
【詳解】由題意可知雙曲線方程為且，
解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故選：B
3．已知圓：，為圓心，為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圓的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，
所以有，
由，得，該圓的半徑為，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
所以有，于是有，
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，所以，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，
故選：D
4.已知雙曲線方程為，焦距為6，則k的值為_(kāi)_______.
【答案】
【分析】由雙曲線焦距可得，討論焦點(diǎn)在x軸、y軸上，結(jié)合求k值即可.
【詳解】由焦距為6，知：，
若焦點(diǎn)在x軸上，則方程可化為，即，解得k=6；
若焦點(diǎn)在y軸上，則方程可化為，即，即k=-6.
綜上所述，k值為6或-6.
故答案為：±6.
5．（2022·重慶·三模）已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，左右頂點(diǎn)為，，過(guò)的直線交雙曲線C的右支于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)，，當(dāng)直線繞著轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，下列量保持不變的是（???????）
A．的周長(zhǎng) B．的周長(zhǎng)與之差
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
如圖所示：當(dāng)直線的傾斜角越小時(shí)，點(diǎn)的周長(zhǎng)越大，可判斷A，根據(jù)雙曲線定義求解可判斷B，設(shè)，則根據(jù)商與積的值可判斷CD．
【詳解】
如圖所示：當(dāng)直線的傾斜角越小時(shí)，點(diǎn)的周長(zhǎng)越大，故A不正確；
的周長(zhǎng)為
所以的周長(zhǎng)與之差為，故B正確；
設(shè)，則，
由不是常量，故C不正確；
由為常量，故D正確；
故選：BD

題型三：雙曲線焦點(diǎn)三角形面積
【例1】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為．是上一點(diǎn)，且．若△的面積為，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【思路導(dǎo)引】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案．
【解析】解法一：，，根據(jù)雙曲線的定義可得，
，即，
，，，即，解得，故選A．
解法二：由題意知，雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積為．∴=4，則，
又∵，∴．
解法三：設(shè)，則，，，求的．
【例2】已知，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，M，N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積是______．
【答案】72
【分析】判斷四邊形為矩形，設(shè)，，可得，結(jié)合雙曲線定義可得，化簡(jiǎn)得，即可求得四邊形的面積.
【詳解】由可知 ，
因?yàn)镸，N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，

設(shè)，，由雙曲線的定義可得，
所以，又因?yàn)椋?br /> 所以，所以，
所以四邊形的面積,
故答案為：72
【題型專練】
1．已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且位于第一象限，，則（????）
A．P的縱坐標(biāo)為 B．
C．的周長(zhǎng)為 D．的面積為4
【答案】ABD
【分析】結(jié)合、雙曲線的定義、三角形的面積和周長(zhǎng)等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，
因?yàn)?，所?
由雙曲線的定義可得①，兩邊平方得，
即，解得，
故的面積為，D正確.
設(shè)P的縱坐標(biāo)為h，的面積，解得，A正確.
，解得②，
的周長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤.
①＋②可得，B正確.
故選：ABD
2.設(shè)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則△的面積為（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【解析】由已知，不妨設(shè)，
則，∵，
∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，[來(lái)源：Z．xx．k．Com]
即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
故，
即，又，
∴，
解得，∴，故選B．
題型四： 雙曲線的漸近線有關(guān)題型
焦點(diǎn)在軸上的漸近線為
焦點(diǎn)在軸上的漸近線為
若雙曲線的方程為，要求漸近線只需令，解出即可
即已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。
【例1】雙曲線與有相同的（???????）
A．離心率 B．漸近線 C．實(shí)軸長(zhǎng) D．焦點(diǎn)
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線方程判斷焦點(diǎn)在軸上，并求，進(jìn)而確定離心率、漸近線、實(shí)軸長(zhǎng)和焦點(diǎn)．
【詳解】對(duì)于雙曲線可得：焦點(diǎn)在軸上，
則離心率，漸近線，實(shí)軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)
對(duì)于雙曲線可得：焦點(diǎn)在軸上，
則離心率，漸近線，實(shí)軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)
∴ABC錯(cuò)誤，D正確
故選：D．
【例2】雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】試題分析：根據(jù)離心率得關(guān)系，進(jìn)而得關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果．
試題解析：．
∵漸近線方程為漸近線方程為，故選A．
【名師點(diǎn)睛】已知雙曲線方程求漸近線方程：．
【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（離心率、漸近線方程）
【例3】設(shè)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與具有相同漸近線，則的方程為_(kāi)_______；漸近線方程為_(kāi)_______．
【答案】 【解析】設(shè)與具有相同漸近線的雙曲線C的方程為，將點(diǎn)代入C的方程中，得．∴雙曲線的方程為，漸近線方程為．
【例4】已知雙曲線的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
由可得：，不妨設(shè)：，
雙曲線的一條漸近線方程為：，
據(jù)此可得：，，
則，則，雙曲線的離心率：，
據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為，故選C．
【例5】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，兩點(diǎn)在雙曲線上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，，則該雙曲線的漸近線方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線右支，根據(jù)對(duì)稱性知四邊形是平行四邊形，，根據(jù)雙曲線的定義可推得，，.又，可知四邊形為矩形，根據(jù)勾股定理得到的關(guān)系式，進(jìn)而得到的關(guān)系式，即可求出漸近線方程.
【詳解】
設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線右支，根據(jù)對(duì)稱性知四邊形是平行四邊形.
由已知可得，又由雙曲線的定義知，，所以，.
又，所以四邊形是矩形，所以.
在中，有，即，
所以，，所以，.
所以，雙曲線的漸近線方程為，整理可得.
故選：A.
【題型專練】
1.（2022·全國(guó)·高考真題（理））若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．
【答案】
【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．
【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，
不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，
依題意圓心到漸近線的距離，
解得或（舍去）．
故答案為：．
2.已知雙曲線的漸近線方程為，則的離心率（???????）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意可得，再由可求出答案.
【詳解】由雙曲線的漸近線方程為，可知，
，
，
故選：B．
3.設(shè)是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】試題分析：由雙曲線性質(zhì)得到，，然后在和在中利用余弦定理可得．
試題解析：由題可知，．
在中，，，，，故選C．
4.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形（為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得，解得，故雙曲線方程為，故選D．
5.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】【解析】∵雙曲線的漸近線方程為，故可設(shè)雙曲線的方程為，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，∴，∴，故雙曲線的方程為．
題型五： 雙曲線的離心率問(wèn)題
【例1】已知橢圓（）與雙曲線（，）具有相同焦點(diǎn)、，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則，記橢圓去雙曲線的離心率分別為、，則的最小值是（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由橢圓和雙曲線的定義以及余弦定理解得，再由“1”的代換和基本不等式求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)P為第一象限的交點(diǎn)，
則由橢圓和雙曲線的定義可知，
∴在△中由余弦定理得：
即：
∴，即：
∴
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為3.
故選：B.
【例2】雙曲線與拋物線有共同的焦點(diǎn)，雙曲線左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線右支一點(diǎn)，過(guò)向的角平分線作垂線，垂足為，則雙曲線的離心率是（????）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】由拋物線的方程得焦點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)得且，由中位線的性質(zhì)得，根據(jù)雙曲線的定義求得，由雙曲線的離心率公式即可得到答案.
【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)，故，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

是的角平分線，于點(diǎn)，
且
點(diǎn)是的中點(diǎn)，




由雙曲線的定義得,
故

故雙曲線的離心率為
故選：A.
【例3】已知，分別是雙曲線C：)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線C的右支相交于P、Q兩點(diǎn)，且PQ⊥．若，則雙曲線C的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由雙曲線的定義可得：，，于是可得，，在中，由余弦定理可得，即可求得離心率的值.
【詳解】因?yàn)?，?br /> 由雙曲線的定義可得：，
，則，

由，
在中，由余弦定理可得，
化簡(jiǎn)得，
所以雙曲線的離心率.
故選：B.
【例4】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為，若的重心在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依次求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)在雙曲線上可建立方程求解.
【詳解】不妨設(shè)在，令，則有，
解得，所以，，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，
故選：B.
【例5】設(shè)，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于M，N兩點(diǎn)，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用余弦定理，求出a,c之間的關(guān)系，即可得了雙曲線的離心率.
【詳解】解：不妨設(shè)圓與相交，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
聯(lián)立，
得，
又且，
所以，
所以由余弦定理得：，
化簡(jiǎn)得，
所以，
所以.
故選：A
【題型專練】
1．過(guò)雙曲線內(nèi)一點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，弦恰好被平分，則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)，則有，，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程相減，再結(jié)合的關(guān)系，可得，從而可得，從而可得答案.
【詳解】解：由題意可得，且，
又因?yàn)椋?br /> 所以，
即有，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
2．已知雙曲線，左、右焦點(diǎn)分別為、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為右支上一點(diǎn)，且，O到直線的距離為b，則雙曲線C的離心率為（????）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用已知條件及圖像用兩種方式求出，建立關(guān)于的等式，結(jié)合及雙曲線離心率，化簡(jiǎn)方程，解出即可.
【詳解】如圖所示：

由為坐標(biāo)原點(diǎn)，為右支上一點(diǎn)，且，
在雙曲線中：，
所以，
由三角形的性質(zhì)有：，
過(guò)作，則
因?yàn)榈街本€的距離為b，且為的中點(diǎn)，
所以為的中位線，為線段的中點(diǎn)，
所以，
在中，
所以，
所以
所以，
由雙曲線的定義有：，①
， ②
聯(lián)立①②解得：，
所以，
所以，
所以，因?yàn)椋?br /> 所以，
故選：B.
3．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線與曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)，且，則曲線C的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的定義得，，，，進(jìn)而在，結(jié)合余弦定理求得，進(jìn)而得，再求離心率即可.
【詳解】解：如圖，設(shè)，因?yàn)?
所以，
由雙曲線的定義得：，

所以， ，，，，
所以，在中，，
在中，
因?yàn)椋?br /> 所以，即，
所以
故選：B

4．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則C的離心率為（????）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】通過(guò)圓的圓心與雙曲線的漸近線的距離，列出關(guān)系式，然后求解雙曲線的離心率即可．
【詳解】解：雙曲線的一條漸近線不妨為：，
圓的圓心，半徑為：2，
雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，
可得圓心到直線的距離為：，
解得：，則，即．
故選：C．
5．已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線交左支交于兩點(diǎn)，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由為圓心，為半徑為徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理可得解．
【詳解】解：由題意得，

設(shè)，則，，，，
在中，
由勾股定理得，解得，
則，，
在中，
由勾股定理得，化簡(jiǎn)得，
所以的離心率，
故選：B
6．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，兩條漸近線分別為，過(guò)F且與平行的直線與雙曲線C及直線依次交于點(diǎn)B，D，點(diǎn)B恰好平分線段，則雙曲線C的離心率為（????）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】數(shù)形結(jié)合，設(shè)，分別聯(lián)立直線與雙曲線，直線與直線可分別解得點(diǎn)的縱坐標(biāo),再根據(jù)點(diǎn)是中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解得關(guān)系，從而可得雙曲線C的離心率.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
設(shè)，如圖，

直線與雙曲線聯(lián)立方程組，解得：
，即，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
直線與直線聯(lián)立方程組，可得 ，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
由于點(diǎn)是中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，
，，
即.
故選：B.
7．已知雙曲線C:，過(guò)右焦點(diǎn)F作C的一條漸近線的垂線l，垂足為點(diǎn)A，與C的另一條漸近線交于點(diǎn)B，若，則C的離心率為（??????）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式、角平分線的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得離心率.
【詳解】右焦點(diǎn)，一條漸近線為，
到的距離為，
即，
由于，所以，
由于，
由正弦定理得，
而，
所以，
所以.
故選：C

題型六： 雙曲線的最值問(wèn)題
【例1】已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線的右支上，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得，所以，再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得的范圍，則，再利用二次函數(shù)求值域即可.
【詳解】
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在雙曲線的右支上，由雙曲線定義可得：，
所以，因?yàn)椋?，所以，?br /> 所以，將代入得：
.
故選：B．
【例2】已知，，若曲線上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】曲線上存在點(diǎn)滿足，等價(jià)于與以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支相交，根據(jù)雙曲線漸近線性質(zhì)即可求解．
【詳解】若，，且，
則點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，且，，
∴，，∴雙曲線方程為，
其漸近線方程為，
則曲線上存在點(diǎn)滿足，
等價(jià)于與雙曲線相交，∴．
故答案為：．
【例3】已知，分別是雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線的左支上，點(diǎn)為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用雙曲線的定義和圓的性質(zhì)，結(jié)合三點(diǎn)共線時(shí)取得最值，即可得到的最小值.
【詳解】雙曲線中
，，，，，
圓半徑為，，
，

(當(dāng)且僅當(dāng)共線且在之間時(shí)取等號(hào))，

，
當(dāng)且僅當(dāng)是線段與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)．
的最小值是7．
故答案為：7.
【題型專練】
1.設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，M?N分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（???????）
A．6 B．9 C．12 D．14
【答案】B
【分析】根據(jù)雙曲線方程及其定義，求得的范圍，再求得最大值即可.
【詳解】
因?yàn)殡p曲線方程為，故，則其焦點(diǎn)為，
根據(jù)題意，作圖如下：

則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取得等號(hào)；
，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取得等號(hào)；
則，
故可得，
故的最大值為：.
故選：B.
2．已知點(diǎn)，，若曲線上存在點(diǎn)P滿足，則下列正確的是（????????????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可判斷點(diǎn)P在雙曲線上，將已知轉(zhuǎn)化為曲線與雙曲線相交，利用直線與漸近線的位置關(guān)系可得解.
【詳解】
點(diǎn)，，且，故點(diǎn)P在雙曲線的下支上.
所以雙曲線的方程為，其漸近線方程為，
又點(diǎn)P在曲線上，即點(diǎn)P在曲線上，
即曲線與雙曲線相交，，即
故選：D
3.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的最小值為9，則該雙曲線的離心率為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意可知，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性畫(huà)出圖形，由雙曲線的定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，從而得到的最小值為，求出的值，得到雙曲線的離心率．
【詳解】
解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，僅作一條漸近線，
因?yàn)殡p曲線，
，
由雙曲線的定義可知，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

漸近線方程為，即，且，
此時(shí)，
的最小值為，
，，
所以
離心率，
故選：A．
4．已知F是雙曲線的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，.當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為_(kāi)__________.
【答案】##1.5
【分析】為左焦點(diǎn)，利用雙曲線定義得到周長(zhǎng)為，判斷其最小時(shí)的位置關(guān)系及△的形狀，進(jìn)而求出△的面積.
【詳解】若為左焦點(diǎn)，則，而，，則，

由周長(zhǎng)為，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)周長(zhǎng)最小，此時(shí)，
所以，此時(shí)△為腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，
令，則，故，而，
在△中，可得，故三角形的面積為.
故答案為：


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