?第三章 圓錐曲線的方程
3.2 雙曲線
3.2.2 雙曲線的簡單幾何性質
一、教學目標
1、會熟練畫出一些簡單雙曲線的圖象，并認真觀察其圖象有何幾何特征.(重點)
2、會類比橢圓幾何性質的研究方法，自己嘗試獲取雙曲線的簡單幾何性質，并能初步應用.
二、教學重點、難點
重點： 雙曲線的簡單幾何性質
難點： 雙曲線的簡單幾何性質的正確應用
三、學法與教學用具
1、學法：學生在老師的引導下，通過閱讀教材，自主學習、思考、交流、討論和概括，從而完成本節(jié)課的教學目標.
2、教學用具：多媒體設備等

四、教學過程
（一）創(chuàng)設情景，揭示課題
【情景一】我們知道，電能是現(xiàn)代生活不可缺少的能源，目前我國主要靠火力發(fā)電，而火力發(fā)電主要是在火力發(fā)電廠中進行，火力發(fā)電廠簡稱“火電廠”，其形狀就像照片中“粗煙囪”.那么這些“粗煙囪”是怎樣建成的呢？



【問題】能否按照橢圓的幾何性質的研究方法來研究雙曲線，那么雙曲線將會具有什么樣的幾何性質呢？

（二）閱讀精要，研討新知
【回顧】
橢圓的標準方程、簡單的幾何性質
圖形


方程


范圍


對稱性
關于軸、軸、原點對稱
焦點


頂點


離心率


【類比】
雙曲線的標準方程、簡單的幾何性質
標準方程


性質
圖形


焦點


焦距

1.范圍
或
或
2.對稱性
對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
3.頂點


性質
軸
實軸：線段，實軸長：，半實軸長=
虛軸：線段，虛軸長：，半虛軸長=
4.離心率

5.漸近線



等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線，它的漸近線是，離心率為

【例題研討】閱讀領悟課本例3（用時約為1分鐘，教師作出準確的評析.）


例3 求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程.
解：由已知，雙曲線的標準方程為，所以，
所以，雙曲線的實半軸長為4，虛半軸長為3，焦點坐標為，離心率為，
漸近線方程為.
【小組互動】完成課本 練習1、2、3、4，同桌交換檢查，老師答疑.
【練習答案】


【例題研討】閱讀領悟課本 例4、例5、例6（用時約為3-4分鐘，教師作出準確的評析.）
?例4雙曲線型冷卻塔的外形，?是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面(圖3.2-10?(1)?).?它的最小半徑為12m.?上口半徑為13?m,下口半徑為25m,高為55m. 試建立適?當?shù)淖鴺讼担?br /> 求出此雙曲線的方程(精確到1?m).
解：根據(jù)雙曲線的對稱性，在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖3.2-10?(2)?
所示的直角坐標系,使小圓的直徑在軸上，圓心與原點重合，
這時，上、下口的直徑都平行于軸，
且.
設雙曲線的方程為，點
因為直徑是實軸，所以，又兩點都在雙曲線上，所以，
由②得，代入①化簡得，解得（舍去負值）
因此所求雙曲線的方程為

例5動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，求動點的軌跡.
解：設是點到直線的距離，根據(jù)題意，動點的軌跡就是點的集合
由此得，化簡得
所以，點的軌跡是焦點在軸上，實軸長為6、虛軸長為的雙曲線

例6如圖3.2-12,?過雙曲線的右焦點,?傾斜角為的直線交雙曲線于兩點，求.
解：由已知，雙曲線的焦點分別為?，
直線的方程為
由，設，則
，
所以

【小組互動】完成課本練習1、2、3，同桌交換檢查，老師答疑.
【練習答案】


（三）探索與發(fā)現(xiàn)、思考與感悟
類型一　雙曲線的幾何性質
1.已知雙曲線的離心率為，則焦點到漸近線的距離為(　　)　
A.2 B. C.4 D.8
解：由已知，解得
所以雙曲線一個焦點為，漸近線為，
所以焦點到漸近線的距離為，故選B
2. 已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為(　　)
A. B. C. D.
解：方法一：由已知，，漸近線為，故選C
方法二：由已知，,所以漸近線為，故選C
3. 在平面直角坐標系中,若雙曲線的離心率為，則的值為________.?
解：當焦點在軸上時,此時
當焦點在軸上時,此時
答案: 或

類型二　利用雙曲線的幾何性質求雙曲線的方程
4. 已知雙曲線的離心率,且其虛軸長為8,則雙曲線的方程為 (　　)
A. B. C. D.
解：由已知解得，所以雙曲線C的方程為，故選B
5. 過雙曲線的右頂點作軸的垂線,與的一條漸近線相交于點，若以的右焦點為圓心、半徑為4的圓經過兩點(為坐標原點),則雙曲線的方程為 (　　)
A. B. C. D.
解：因為以的右焦點為圓心、半徑為4的圓經過兩點,
所以半徑，則圓的標準方程為,
由題意得,則，即
即，則雙曲線的方程為 ，故選D.
6. 已知雙曲線與有公共漸近線,且一個焦點為,則雙曲線的標準方程為__________.?
解：由已知,可設所求雙曲線方程為 ,則，又，
所以,故所求雙曲線的方程為，
答案:

（四）歸納小結，回顧重點
雙曲線的標準方程、簡單的幾何性質
標準方程


性質
圖形


焦點


焦距

1.范圍
或
或
2.對稱性
對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
3.頂點


性質
軸
實軸：線段，實軸長：，半實軸長=
虛軸：線段，虛軸長：，半虛軸長=
4.離心率

5.漸近線



等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線，它的漸近線是，離心率為


（五）作業(yè)布置，精煉雙基
1.完成課本習題3.2 3、4、6、8、11、12、13、14
2.閱讀課本《為什么是雙曲線的漸近線》
3. 預習3.3 拋物線

五、教學反思：（課后補充，教學相長）

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3.2 雙曲線

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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