高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)第三章圓錐曲線的方程3.2 雙曲線優(yōu)秀課時(shí)練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．3B．15C．3或15D．6或12
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸為，虛半軸為，半焦距為，則
由題意知：，，所以，
由雙曲線的定義知，，
又∵，∴或，經(jīng)檢驗(yàn)，或都符合條件.故選：C.
2．（2023安徽）已知雙曲線上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為10，則的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（）
A．3或7B．6或14C．3D．7
【答案】A
【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，是的中位線，∴，
∵，，∴或，∴或，故選：A.

3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，又動(dòng)點(diǎn)滿足，
動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)雙曲線方程為，
則有，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．
故選：A．
4．（2023春·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向的角平分線作垂線，垂足為點(diǎn)Q，則點(diǎn)和點(diǎn)Q距離的最大值為（）
A．2B．C．3D．4
【答案】C
【解析】如圖所示，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)T，則因?yàn)槠椒?，，所以，?br>因?yàn)镻在雙曲線上，所以，所以，連接，則，
因?yàn)椋?，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
即點(diǎn)和點(diǎn)Q距離的最大值為3，故選：C
5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）
A．B．-1C．D．2
【答案】B
【解析】由題意可知：雙曲線焦點(diǎn)在軸上，，
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，
由為中位線，則，
由與圓相切于點(diǎn)，則為直角三角形，
∴，
則，,
∵
，
∴=-1.
故選：B.

6．（2023·云南玉溪）雙曲線上的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為與，焦距為10；M是該曲線上一點(diǎn)，且，則（）
A．3B．15C．3或15D．15或18
【答案】C
【解析】因?yàn)殡p曲線的焦距為10，所以，
又因?yàn)?，所以，因此雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，
所以雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小值為，由雙曲線的定義可知：
，或，故選：C
7．（2023秋·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，若，則（）
A．B．C．或D．
【答案】D
【解析】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，則，
因?yàn)椋瑒t，所以，，
設(shè)點(diǎn)，其中或，
則，
若點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，則，
當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的左支上，則，則.
由雙曲線的定義可知，解得（舍）或.
故選：D.
8．（2022春·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)校考期末）設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則的最小值為（）
A．2B．4C．6D．以上都不對(duì)
【答案】A
【解析】根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可知，化簡(jiǎn)，
因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)距離最小值為，
所以
故選：A
9．（2023湖南）已知雙曲線是其左右焦點(diǎn).圓，點(diǎn)P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）
A．B．C．7D．8
【答案】A
【解析】
由題設(shè)知，，，，圓的半徑
由點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)知
，∴
∴.
故選：A
10．（2023春·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過(guò)且與的右支相交于A，B兩點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為（）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【解析】雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，
由雙曲線的定義，可得
所以，
則三角形的周長(zhǎng)為.
故選：B
11．（2022·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，，則的大小為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)雙曲線的定義得，
又因?yàn)?，所以，?br>又因?yàn)椋?br>所以在中結(jié)合余弦定理的推論得：
，
因?yàn)椋玫拇笮椋?br>故選：C
12．（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線與交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，則的面積為（）
A．B．4C．D．3
【答案】A
【解析】∵為正三角形，
設(shè)，則，，又雙曲線，
則根據(jù)雙曲線定義得，
∴，即等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，
故的面積為.
故選：A.
13．（2023春·湖北襄陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)到該雙曲線漸近線的距離為1，點(diǎn)在雙曲線上，若，則的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)到該雙曲線漸近線的距離為1，雙曲線漸近線方程為，
所以.
由，
可得.
因?yàn)?，所以，?br>所以，
故的面積為.
故選：B.
14．（2023春·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校校考期中）已知F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】由雙曲線方程可知，，，故右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知，所以，
從而，又為定值，
所以，此時(shí)點(diǎn)在線段與雙曲線的交點(diǎn)處（三點(diǎn)共線距離最短），
故選：B.
15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng).當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由雙曲線得到,,，左焦點(diǎn)，
設(shè)右焦點(diǎn).當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故選：C.
16．（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，P是雙曲線C的右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若C為雙曲線右焦點(diǎn)C(3,0)，則，|AC|=5,
而，僅當(dāng)共線且在之間時(shí)等號(hào)成立，
所以，當(dāng)共線且在之間時(shí)等號(hào)成立.
故選：D
17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為其右支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由雙曲線的方程可得：，則，
所以，且，所以，
的周長(zhǎng)為，
當(dāng)且僅當(dāng)M，P，A三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
則周長(zhǎng)的最小值為．
故選：B．
18．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，則的最小值為（）
A．5B．7C．9D．11
【答案】C
【解析】由雙曲線，則，即，且，
由題意，作圖如下：
，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號(hào)成立.
故選：C.
19．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若曲線表示雙曲線，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】曲線表示雙曲線，所以即可.解得或，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是：.故選：B.
20．（2023春·湖南岳陽(yáng)·高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若方程表示雙曲線，則，即，
由能推出，必要性成立，
由不能推出，充分性不成立，
故“”是“方程表示雙曲線”的必要不充分條件.
故選：B.
21．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）若是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在該雙曲線上，且是等腰三角形，則的周長(zhǎng)是 .
【答案】16
【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，
因?yàn)槭堑妊切?，不設(shè)在雙曲線的右支上，則，
所，所以的周長(zhǎng)為6+6+4=16故答案為：.
22．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由橢圓，可化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，
因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，所以，
又因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，可得，則，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B.
23．（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）（多選）關(guān)于、的方程表示的軌跡可以是（）
A．橢圓B．雙曲線C．直線D．拋物線
【答案】BC
【解析】當(dāng)時(shí)，該方程表示的軌跡是直線；
當(dāng)時(shí)，該方程表示的軌跡是直線；
當(dāng)且時(shí)，原方程可化為.
當(dāng)或時(shí)，，該方程表示的軌跡是雙曲線；
當(dāng)，又，則，此時(shí)方程為，該方程表示圓；
綜上所述，方程所表示的曲線不可能是橢圓或拋物線.
故選：BC.
24．（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知曲線的方程為，則（）
A．曲線可以表示圓
B．曲線可以表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓
C．曲線可以表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓
D．曲線可以表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
【答案】CD
【解析】對(duì)A，若曲線表示圓，則有，無(wú)解，A錯(cuò)；
對(duì)BC，若曲線表示橢圓，則有，此時(shí)，則曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，C對(duì)B錯(cuò)；
對(duì)D，若曲線表示雙曲線，則有，此時(shí)，此時(shí)曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，D對(duì).
故選：CD.
25．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）對(duì)于曲線C：，則下列說(shuō)法正確的有（）
A．曲線C可能為圓B．曲線C不可能為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
C．若，則曲線C為橢圓D．若，則曲線C為雙曲線
【答案】BCD
【解析】當(dāng)曲線C為圓時(shí)，則，無(wú)解，故錯(cuò)誤；
當(dāng)曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線時(shí)，則，無(wú)解，故正確；
若，則，，此時(shí)曲線C是橢圓，故正確；
若曲線C為雙曲線，則，解得，故正確．
故選．
26．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)分別是雙曲線的下、上焦點(diǎn)，若點(diǎn)是雙曲線下支上的點(diǎn)，且，則的面積為 .
【答案】16
【解析】因?yàn)槭请p曲線下支上的點(diǎn)，所以，兩邊平方得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cs ∠F1PF2==0，
所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16
故答案為：
27．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線上，且，則，；
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以，則為直角三角形，
所以(為原點(diǎn))，
又，，所以，，
所以.
不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，①
又，②
聯(lián)立①②解得，，
所以.
故答案為：；.
28．（2022秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則周長(zhǎng)的最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
【答案】 10
【解析】由題意得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的左支，
則，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，
∵，
∴的周長(zhǎng)最小時(shí)，最小，，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)，等號(hào)成立，
∴的周長(zhǎng)為，
直線的方程為，將其代入到，化簡(jiǎn)得：，，
則，的坐標(biāo)為.
故答案為：10，.
1．（2023春·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
在雙曲線中，，，則，
根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，則．
因?yàn)椋?
所，．
在中，，
①
在中，是中點(diǎn),則，兩邊平方可得，
所以②
所以,,
．
故選：A.
2．（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)P是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為（）．
A．B．C．6D．12
【答案】B
【解析】】設(shè)，
則點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的上支，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為，依題意，雙曲線與圓有公共點(diǎn)，
將圓的方程代入雙曲線方程得，
即，
判別式，解得，
當(dāng)時(shí)，，且，
∴等號(hào)能成立．∴．
故選：B
3．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則雙曲線的方程可以為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)為雙曲線的下焦點(diǎn)，為雙曲線的上焦點(diǎn)，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).

因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以，所以，
故，得.
因?yàn)椋裕庶c(diǎn)，
將代入雙曲線中，
即，化簡(jiǎn)得，
，
解得或（舍去），故B項(xiàng)正確.
故選：B.
4．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中學(xué)?？计谀ǘ噙x）已知曲線：，下列結(jié)論正確的是（）
A．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上
B．若，則是雙曲線，其焦點(diǎn)在軸上
C．若，，則是兩條直線
D．若，則是圓
【答案】BC
【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，
由，所以是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，因此本選項(xiàng)不正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，
由，所以是雙曲線，其焦點(diǎn)在軸上，因此本選項(xiàng)正確；
對(duì)于C：當(dāng)，時(shí)，，所以是兩條直線，因此本選項(xiàng)正確；
對(duì)于D：若，顯然不成立，所以沒(méi)有軌跡，因此本選項(xiàng)不正確；
故選：BC
5．（2023秋·廣東廣州·高二廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)越秀學(xué)校?？计谀ǘ噙x）當(dāng)取一定實(shí)數(shù)值時(shí)，方程可以表示為（）
A．焦點(diǎn)在軸上的橢圓
B．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
C．焦點(diǎn)在軸上的橢圓
D．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
【答案】ABC
【解析】∵，且，則有：
當(dāng)，即時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，B正確；
當(dāng)，即時(shí)，則有：
①當(dāng)，即時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，A正確；
②當(dāng)，即時(shí)，方程即為，表示圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓；
③當(dāng)，即時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，C正確；
對(duì)于D：若方程表示為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，無(wú)解，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
6．（2023春·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）過(guò)橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若直線的斜率之積為（為常數(shù)），則點(diǎn)的軌跡可能是（）
A．兩條直線B．圓的一部分
C．橢圓的一部分D．雙曲線的一部分
【答案】BCD
【解析】依題意可知直線和直線的斜率存在，
設(shè)過(guò)的橢圓的切線方程為，
聯(lián)立化簡(jiǎn)可得：
，
取，
即，
且有，且上式兩根分別為，
則上式的判別式，
整理得，符合題意，所以，
①若，則，
即點(diǎn)的軌跡是直線（兩條）的一部分；
②若，則，即點(diǎn)的軌跡是直線（兩條）的一部分；
若且，整理可得，
③當(dāng)時(shí)，12，
軌跡方程可化為，即點(diǎn)的軌跡是圓的一部分；
④當(dāng)或時(shí)，，且，
由于，且，所以點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分；
⑤當(dāng)時(shí)，，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，
由于，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一部分.
故選：BCD
7．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為20，則線段的長(zhǎng)為 .
【答案】6或
【解析】,，,
易得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)焦距.
若都在右支上，則，
的周長(zhǎng),
；
否則，不妨設(shè)是如圖的情況：
，
所以，所以，
設(shè),則,
由余弦定理得,解得,
故答案為：6或
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F作圓的一條切線（切點(diǎn)為T），交雙曲線右支點(diǎn)于P，點(diǎn)M為線段FP的中點(diǎn)，連接MO，則的最大值為．
【答案】
【解析】如圖所示，連接,設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，則，
由，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則，．
可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，
故的最大值為．
故答案為：．
9．（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最小時(shí)的面積為 ;
【答案】
【解析】雙曲線，，
右焦點(diǎn)，設(shè)其左焦點(diǎn)為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)在第一象限，
此時(shí)直線的方程為，
由，以及點(diǎn)在第一象限，可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，
所以.
故答案為：.
10．（2022秋·山東聊城·高二?？计谀┮阎謩e是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是C左支上一動(dòng)點(diǎn)，△周長(zhǎng)的最小值為10，求此時(shí)△的面積= .
【答案】/
【解析】由題意可得，，
由雙曲線的定義可得，
，，
則的周長(zhǎng)為
,
當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，取得最小值，且為，
由題意可得，即
解得，所以，，得直線的斜率為，
所以，由余弦定理，
得，結(jié)合，
解得，由正弦定理，
得，解得，
所以.
故答案為：.

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