?1.2空間向量基本定理
【知識點梳理】
知識點01：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解
空間向量基本定理：
如果空間中的三個向量，，不共面，那么對空間中的任意一個向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，空間中不共面的三個向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底.此時，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式.
知識點2：空間向量的正交分解
單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示.
正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.
知識點3：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題
用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點：
(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．
(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．
(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立
【題型歸納目錄】
題型一：基底的判斷
題型二：基底的運用
題型三：正交分解
題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題



【典型例題】
題型一：基底的判斷
例1．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量也可以構(gòu)成空間中的一個基底的是（???????）
A． B．
C． D．
例2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)，，，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）已知，，是不共面的三個向量，下列能構(gòu)成一組基的是（???????）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例4．（多選題）（2022·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高二階段練習(xí)）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（?????）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【方法技巧與總結(jié)】
空間向量基底.不共面的三個向量構(gòu)成空間向量的基底.
題型二：基底的運用
例5．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點，且，則（???????）

A． B．=
C．= D．=
例6．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二階段練習(xí)）在四面體中，，，，點在上，且，是的中點，則（???????）
A． B．
C． D．
例7．（2022·江蘇南通·高二期中）如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，且，M為OA中點，N為BC中點，則等于（??????????）

A． B． C． D．
例8．（2022·江蘇·泰州中學(xué)高二期中）在四棱柱中，，，則（???????）
A． B．
C． D．

【方法技巧與總結(jié)】
1.空間中，任一向量都可以用一組基底表示，且只要基底確定，則表示形式是唯一的.
2.用基底表示空間向量時，一般要結(jié)合圖形，運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則，以及數(shù)乘向量的運算法則，逐步向基向量過渡，直至全部用基向量表示.
3.在空間幾何體中選擇基底時，通常選取公共起點最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底，例如，在正方體、長方體、平行六面體、四面體中，一般選用從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應(yīng)的向量作為基底.
題型三：正交分解
例9．（2021·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)是空間的一個單位正交基底，且向量 ， 是空間的另一個基底，則用該基底表示向量____________.
例10．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）若是一個單位正交基底，且向量，，______．
例11．（2021·廣東·廣州市培英中學(xué)高二階段練習(xí)）向量是空間的一個單位正交基底，向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底的坐標(biāo)為__________．
例12．（2022·全國·高一專題練習(xí)）向量正交分解中，兩基底的夾角等于（?????）
A．45° B．90° C．180° D．不確定
【方法技巧與總結(jié)】
正交基底的三個向量共起點
題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題
例13．（2021·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：

(1)的值.
(2)線段AC1 的長
例14．（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知空間四邊形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC．



例15．（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.
（1）證明：；
（2）求異面直線與夾角的余弦值.




例16．（2022·福建寧德·高二期中）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，M為與的交點，設(shè)，，．

(1)用，，表示并求BM的長；
(2)求點A到直線BM的距離．



【方法技巧與總結(jié)】
應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.
首先根據(jù)幾何體的特點,選擇一個基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.
(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;
(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;
(3)若要求異面直線所成的角,則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補角).
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，為空間中四點，任意三點不共線，且，若，，，四點共面，則的值為（???????）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·江蘇揚州·高二期中）如圖，在正方體中，，，，若為的中點，在上，且，則等于（????????????）

A． B．
C． D．
3．（2022·福建龍巖·高二期中）在平行六面體中，點是線段的中點，，設(shè)，，，則（???????）
A． B． C． D．
4．（2022·江蘇揚州·高二期中）如圖，在平行六面體中，為和的交點，若，，，則下列式子中與相等的是（???????）

A． B． C． D．
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，在正方體中，下列各式中運算結(jié)果為向量的個數(shù)是（???????）


①；?????????????????????????????????②；
③；?????????????????????????????????④．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)，，，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021·安徽池州·高二期中）如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC.M，N分別是對邊OB，AC的中點，點G在線段MN上，，現(xiàn)用基向量表示向量，設(shè)，則的值分別是（???????）

A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．（2022·廣東·高二階段練習(xí)）在三棱錐中，P為內(nèi)一點，若，，，則（???????）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（2022·福建福州·高二期中）如圖，在平行六面體中，，，．若，，則（???????）

A． B．
C．A，P，三點共線 D．A，P，M，D四點共面
10．（2021·浙江·金華市曙光學(xué)校高二階段練習(xí)）已知點為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點，且（，），則，的值可能為（???????）
A．， B．， C．， D．，
11．（2022·浙江寧波·高二期末）若，，是三個不共面的單位向量，且兩兩夾角均為，則（???????）
A．的取值范圍是
B．能構(gòu)成空間的一個基底
C．“”是“P，A，B，C四點共面”的充分不必要條件
D．
12．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知單位向量，，兩兩的夾角均為，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系Oxyz（O為坐標(biāo)原點）下的“仿射”坐標(biāo)，記作，則下列命題中，真命題有（???????）
A．已知，，則
B．已知，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時，向量，的夾角取得最小值
C．已知，，則
D．已知，，，則三棱錐的表面積
三、填空題
13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在長方體中，若是棱的中點，是面對角線與的交點，則向量與、___________.（填“共面”或“不共面”）
14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）正方體中，點是上底面的中心，若，則___________.
15．（2022·全國·高二課時練習(xí)）四面體OABC的所有棱長都等于，E，F(xiàn)，G分別為OA，OC，BC中點，則___________.
16．（2021·湖北孝感·高二期中）如圖所示，三棱柱中，，分別是和上的點，且，設(shè)，則的值為___________.

四、解答題
17．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，兩兩夾角為60°，長度分別為2，3，1，點在線段上，且，記，，．試用，，表示．

18．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知A?B?C三點不共線，O為平面ABC外一點.
(1)若，判斷??三個向量是否共面，以及M是否在平面ABC上；
(2)若，判斷M是否在平面ABC上；
(3)請給出空間某點在某一平面上的一個充要條件（不必證明）.
19．（2022·浙江·於潛中學(xué)高二期中）如圖所示，在四棱錐中，，且，底面為正方形.


(1)設(shè)試用表示向量；
(2)求的長.
20．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）平行六面體中，，，．
(1)用，，表示向量；
(2)設(shè)G，H分別是側(cè)面和對角線的交點，用，，表示．
21．（2022·江蘇·揚州中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在四面體OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分點，N是棱BC的中點，P是線段MN的中點．設(shè)，，．


(1)用，，表示向量；
(2)若，且滿足 （從下列三個條件中任選一個，填上序號：①；②；③，則可求出的值；并求出的大?。?br /> 22．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．

(1)設(shè)，，，用向量表示，并求出的長度；
(2)求異面直線與所成角的余弦值．


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1.2 空間向量基本定理

版本： 人教A版 (2019)

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