?3．3．2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
【題型歸納目錄】
題型一：拋物線的幾何性質(zhì)
題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系
題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題
題型四：焦半徑問(wèn)題
題型五：弦長(zhǎng)問(wèn)題
題型六：定點(diǎn)定值問(wèn)題
題型七：最值問(wèn)題
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)
范圍：，，
拋物線（）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)滿足不等式；當(dāng)x的值增大時(shí)，也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸．拋物線是無(wú)界曲線．
對(duì)稱性：關(guān)于x軸對(duì)稱
拋物線（）關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對(duì)稱軸．
頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)
拋物線（）和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
離心率：．
拋物線（）上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e 表示，．
拋物線的通徑
通過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑．
因?yàn)橥ㄟ^(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，所以拋物線的通徑長(zhǎng)為．這就是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的一種幾何意義．另一方面，由通徑的定義我們還可以看出，刻畫了拋物線開口的大小，值越大，開口越寬；值越小，開口越窄．
知識(shí)點(diǎn)二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對(duì)比

圖形




標(biāo)準(zhǔn)方程




頂點(diǎn)

范圍
，
，
，
，
對(duì)稱軸
x軸
y軸
焦點(diǎn)




離心率

準(zhǔn)線方程




焦半徑




知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸，一條準(zhǔn)線；
（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；恰恰說(shuō)明定義中的焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線上這一隱含條件；參數(shù)的幾何意義在解題時(shí)常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．
知識(shí)點(diǎn)三、焦半徑公式
設(shè)拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，焦點(diǎn)為．
1、拋物線，．
2、拋物線，．
3、拋物線，．
4、拋物線，．
【注意】在使用焦半徑公式時(shí)，首先要明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，不同的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)于不同的焦半徑公式．
知識(shí)點(diǎn)四、直線與拋物線的位置關(guān)系
1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況：
相交（有兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)）；相切（有一個(gè)公共點(diǎn)）；相離（沒有公共點(diǎn)）．
2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：
（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，
若，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；
若，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)既是原點(diǎn)又是切點(diǎn)；
若，直線與拋物線沒有交點(diǎn)．
（2）直線的斜率存在．
設(shè)直線，拋物線，
直線與拋物線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于方程組，的解的個(gè)數(shù)，
即二次方程（或）解的個(gè)數(shù)．
①若，
則當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切，有個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)．
②若，則直線與拋物線相交，有一個(gè)公共點(diǎn)．
知識(shí)點(diǎn)五、直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題
1、弦長(zhǎng)
設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點(diǎn)為．
（1）弦長(zhǎng)公式：（為直線的斜率，且）．
（2），
（3）直線的方程為．
【方法技巧與總結(jié)】
1、點(diǎn)與拋物線的關(guān)系
（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）．
（2）在拋物線上．
（3）在拋物線外．
2、焦半徑
拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．
3、的幾何意義
為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大．
4、焦點(diǎn)弦
若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：
（1）．
（2）．
（3）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式1：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長(zhǎng)度為．
焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式2：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．
（4）的面積公式：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．
5、拋物線的弦
若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點(diǎn)為，則
（1）弦長(zhǎng)公式：
（2）
（3）直線AB的方程為
（4）線段AB的垂直平分線方程為
6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（法）
（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為
（2）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為
如，即，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為
7、參數(shù)方程
的參數(shù)方程為（參數(shù)）
8、切線方程和切點(diǎn)弦方程
拋物線的切線方程為，為切點(diǎn)
切點(diǎn)弦方程為，點(diǎn)在拋物線外
與中點(diǎn)弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點(diǎn)（含焦點(diǎn)）是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果．
9、拋物線的通徑
過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦叫做拋物線的通徑．
對(duì)于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長(zhǎng)為．
10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：
11、焦點(diǎn)弦的?？夹再|(zhì)
已知、是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．

（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；
（2），
（3）；
（4）設(shè)，為垂足，則、、三點(diǎn)在一條直線上
【典型例題】
題型一：拋物線的幾何性質(zhì)
例1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則（????）
A．2 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)D，如圖，在等邊三角形ABF中，，，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，又點(diǎn)B在雙曲線上，故，解得．
故選：C．

例2．（2022·四川涼山·高二期末（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A是拋物線C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上，若，則（????）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由，可得，由題意如圖所示：

在中，可得，，
由拋物線的性質(zhì)可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，
故選：D．
例3．（多選題）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（????）
A．以線段為直徑的圓與直線相切
B．以線段為直徑的圓與軸相切
C．當(dāng)時(shí)，
D．的最小值為6
【答案】ACD
【解析】由拋物線方程知，準(zhǔn)線方程為，由題意可知，直線的斜率存在，
可設(shè)：，設(shè)，．
對(duì)于選項(xiàng)A，易知，∵為的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，
∴以線段為直徑的圓與直線相切，A正確；
對(duì)于B，由，得，
，，，
∴，∴，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，，
∵不恒成立，∴以線段為直徑的圓與軸未必相切，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則，不妨設(shè)，，∵，∴，，則，，∴，C正確；
對(duì)于D，∵，∴當(dāng)時(shí)，，D正確．
故選:ACD．
變式1．（2022·四川資陽(yáng)·高二期末（文））拋物線上一點(diǎn)P和焦點(diǎn)F的距離等于6，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)（????）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
到焦點(diǎn)的距離等于，故.
故選：B.
變式2．（2022·福建廈門·高二期末）拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，則M到y(tǒng)軸的距離是（????）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為：
設(shè)，由拋物線的定義知：，即，
即，所以M到y(tǒng)軸的距離是.
故選：B.
變式3．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）對(duì)拋物線，下列描述正確的是?????(　　)
A．開口向上，焦點(diǎn)為(0，2) B．開口向上，焦點(diǎn)為
C．開口向右，焦點(diǎn)為(2，0) D．開口向上，焦點(diǎn)為
【答案】A
【解析】拋物線方程，化成標(biāo)準(zhǔn)方程形式，可得其開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選A項(xiàng).
變式4．（多選題）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知平面內(nèi)到定點(diǎn)比它到定直線：的距離小1的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說(shuō)法正確的是（????）
A．曲線的方程為 B．曲線關(guān)于軸對(duì)稱
C．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)， D．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離
【答案】AB
【解析】由題意可知：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與它到定直線：的距離相等，
由拋物線定義，知曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為，所以A，B正確；由知，點(diǎn)到直線的距離，所以C，D錯(cuò)誤．
故選：AB．
變式5．（多選題）（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）下列四個(gè)方程所表示的曲線中既關(guān)于軸對(duì)稱，又關(guān)于軸對(duì)稱的是（????）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)于曲線上的任意點(diǎn)，其關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)滿足方程，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)也滿足方程，故滿足條件；
對(duì)于B選項(xiàng)，即為，表示焦點(diǎn)在軸正半軸的拋物線，關(guān)于軸對(duì)稱，但不關(guān)于軸對(duì)稱，故不滿足；
對(duì)于C選項(xiàng)，即為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，滿足既關(guān)于軸對(duì)稱，又關(guān)于軸對(duì)稱，故滿足條件；
對(duì)于D選項(xiàng)，即為，表示圓心為，半徑為的圓，其關(guān)于軸對(duì)稱，不關(guān)于軸對(duì)稱，故不滿足條件.
故選：AC
變式6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出下列拋物線.
（1）；
（2）；
（3）．
通過(guò)觀察這些圖形，說(shuō)明拋物線開口的大小與方程中x的系數(shù)有怎樣的關(guān)系．
【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)做出拋物線，如圖，

通過(guò)圖象可以看出來(lái)，當(dāng)x的系數(shù)為正數(shù)且越大時(shí)，拋物線的開口向右且開口越大.

題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系
例4．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過(guò)圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關(guān)系為（　?。?br /> A．相交 B．相切
C．相離 D．以上都有可能
【答案】A
【解析】圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心坐標(biāo)為（﹣2，1），
代入拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，
∴a＝4，
∴拋物線C1：y＝4（x+1）2﹣3．
將拋物線C1先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，
得到拋物線C3：y＝4x2，
聯(lián)立，消整理得，
，
所以直線l與拋物線C3相交，
故選：A．
例5．（2022·浙江溫州·高二期末）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)與拋物線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有（????）條．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】拋物線的對(duì)稱軸為y軸，直線過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行，它與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，
設(shè)過(guò)點(diǎn)與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)且斜率存在的直線方程為：，
由消去y并整理得：，則，解得或，
因此，過(guò)點(diǎn)與拋物線C相切的直線有兩條，相交且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有一條，
所以過(guò)點(diǎn)與拋物線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有3條.
故選：D
例6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線共有（????）條數(shù)．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，
與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相切，此時(shí)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
綜上可得滿足條件的直線有三條
故選：D．

變式7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，滿足的條件是（????）
A． B．，
C．， D．或
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，由可得：，
若直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
則，整理可得：，所以，
綜上所述：或，
故選：D.
變式8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線y＝kx＋t與圓x2＋(y＋1)2＝1相切且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（????）
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3，0)
D．(－2，0)
【答案】A
【解析】因?yàn)橹本€與圓相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.將直線方程代入拋物線方程并整理得
x2－4kx－4t＝0，于是＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.
故選：A
變式9．（2022·全國(guó)·高二）已知拋物線：，直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線的條數(shù)為（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由題意可知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，
由得，，
當(dāng)時(shí)，,此時(shí)直線方程為：，與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意；
當(dāng)時(shí)，由于直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以對(duì)于方程，，，，
此時(shí)直線方程為：或.
綜上所述：直線的方程為或或,故滿足條件的直線共3條.
故答案為：B
題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題
例7．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，設(shè)，
所以①，②，
所以，①②得：，即，
因?yàn)橹本€AB的斜率為1，線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
所以，即，
所以拋物線，準(zhǔn)線方程為.
故選：B
例8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線y2＝4x，直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則直線AB的斜率為（　?。?br /> A．2 B． C． D．1
【答案】D
【解析】設(shè)直線l的方程為x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立直線l與拋物線方程，化簡(jiǎn)可得，y2﹣4my﹣4n＝0，
由韋達(dá)定理可得，y1+y2＝4m，
∵，
∴4m＝4，即m＝1，
∴直線l的方程為y＝x﹣n，
∴k＝1．
故選：D
例9．（2022·浙江·嘉興市第五高級(jí)中學(xué)高二期中）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)時(shí)，直線的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，所以，
兩式相減得，，
因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，
所以，故直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立，所以，，故斜率為符合題意，因此直線的方程為，
故選：D.
變式10．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線l過(guò)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，2)，則拋物線C的方程為（????）
A．y2＝2x或y2＝4x B．y2＝4x或y2＝8x
C．y2＝6x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝8x
【答案】B
【解析】由題可得直線l的方程為，與拋物線方程C：y2＝2px(p>0)聯(lián)立，得k2x2－k2px－2px＋＝0．
∵AB的中點(diǎn)為M(3，2)，∴，解得k＝1或k＝2，∴p＝2或p＝4，
∴拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝8x．
故選：B．
變式11．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）點(diǎn)?點(diǎn)為拋物線上不同的兩動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（????）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，的中點(diǎn)，
設(shè)的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，則，
所以，
所以，因此.
故選：B.
變式12．（2022·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)以為中點(diǎn)的弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，
由題意可得，，兩式作差可得，，
所以
因此所求直線的方程為，整理得.
故選：C.
變式13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線與圓在x軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)分別記為A、B，若線段AB的中點(diǎn)在直線y＝x上，則p的值為______．
【答案】
【解析】設(shè)，
聯(lián)立與可得，
由韋達(dá)定理得，
的中點(diǎn)，由條件可知，即，
故，
將代入化簡(jiǎn)得，
又，故，從而
故答案為：
變式14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作拋物線的弦，若弦恰好被點(diǎn)平分，則弦所在直線的方程為______．
【答案】
【解析】顯然不垂直于軸，故，設(shè)，，則，兩式相減得．
∵點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，∴，于是，即直線的斜率，
故弦所在直線的方程為，即．
故答案為：
變式15．（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l：與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).
(1)若，求的面積；
(2)若拋物線C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N關(guān)于直線l對(duì)稱，求a的取值范圍.
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，
時(shí)，直線，
聯(lián)立，可得，
設(shè)，，，，
則，．
，
點(diǎn)到直線的距離距離，
的面積．
（2）∵點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線的斜率為，
∴可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，整理可得，
由，可得，
設(shè)，，，，則，
故的中點(diǎn)為，
∵點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，∴的中點(diǎn)，在直線上，
∴，得，∵，∴．
綜上，的取值范圍為．
變式16．（2022·浙江邵外高二階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p＞0).

（1）若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；
（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2－p，－p)；
【解析】（1）若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),直線方程為：x－y－2＝0
故焦點(diǎn)坐標(biāo)為： ，故
故拋物線方程為：
（2）設(shè)，線段PQ的中點(diǎn)
由點(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的垂直平分線段PQ，則直線PQ的斜率為-1
設(shè)方程為： ，與拋物線聯(lián)立

因P，Q為拋物線上不同的兩點(diǎn)，故
從而
，代入直線可得：
故線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為：
題型四：焦半徑問(wèn)題
例10．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，由，得，則．
又，即．
故選：A．
例11．（2022·河南開封·高二期末（理））阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還宲有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào)．拋物線上任意兩點(diǎn)，處的切線交于占，稱為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)時(shí)，具有以下特征：（1）點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）為直角二角形，且；（3）．已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，頁(yè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，處的切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則直線的方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
由題意知，為“阿基米德三角形”，可得點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，
所以點(diǎn)，直線的斜率為，
又因?yàn)?，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即,
故選：C．
例12．（2022·四川·攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校高二階段練習(xí)（文））如圖所示，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，圓. 過(guò)圓心的直線與拋物線和圓分別交于，則的最小值為（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題設(shè)，16＝2p×2，則2p＝8，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，則焦點(diǎn)F(2,0)，
由直線PQ過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則，
圓C2：圓心為(2,0)，半徑1，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為13.
故選：D
變式17．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成長(zhǎng)為m和n兩部分，則m與n的關(guān)系式為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令過(guò)焦點(diǎn)的弦為，與拋物線交點(diǎn)分別為A、B，
聯(lián)立拋物線整理得：，則，，
故，，
若，，
所以，，故.
故選：C
變式18．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（文））過(guò)拋物線：焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，設(shè)滿足，則為（?????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】拋物線焦點(diǎn)為，直線方程為，設(shè)，
由得，，，，
，
，則，，，
所以


，
解得．
故選：C．
變式19．（2022·江西省臨川第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，若，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如下圖所示：

分別過(guò)點(diǎn)、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、.
拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，
由軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，
，則，，得，
A選項(xiàng)正確；
，又，為的中點(diǎn)，則，B選項(xiàng)正確；
，，（拋物線定義），C選項(xiàng)正確；
，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：D.
變式20．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：，點(diǎn)是的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則面積的最小值為（????）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】如圖所示， ,

準(zhǔn)線的方程為，設(shè)，，，
由得，∴切線的方程為，而，
即，又切線過(guò)點(diǎn)，∴，
即，
同理切線的方程為，∴直線的方程為,
則直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)AB平行于x軸時(shí),此時(shí)|AB|為拋物線的通徑，
此時(shí) ，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)直線軸時(shí)取等號(hào),
故選：A．
變式21．（2022·吉林遼源·高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在第一象限），與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)P.若，，則（????）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】過(guò)點(diǎn)A作，垂足為D，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為C，
由拋物線的定義可知，，
不妨設(shè)，因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)椋裕?br /> 即，所以，
所以，因?yàn)榕c反向，所以.
故選：B.

變式22．（2022·四川省敘永第一中學(xué)校高二期中（文））設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)方程為，
由，
消去得，
則有①，
由得，
即②，
由①②解得
，
故選：A
變式23．（2022·湖北·武漢市第十九中學(xué)高二期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)C上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N．下列說(shuō)法正確的是（????）
A．若，則 B．若，則平分
C．若，則 D．若，延長(zhǎng)AO交直線于點(diǎn)D，則D，B，N三點(diǎn)共線
【答案】D
【解析】如圖，若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以?br /> 直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得
，解得或，所以，
所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

時(shí)，因?yàn)?，所以．又?br /> ，所以不平分，選項(xiàng)B不正確；

若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以?br /> 直線的方程為，所以，
所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以?br /> 直線的方程為，所以，直線的方程為，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)D，所以則，
所以D，B，N三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D正確；

故選： D.
變式24．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高二階段練習(xí)）我們把圓錐曲線的弦AB與過(guò)弦的端點(diǎn)A，B處的兩條切線所圍成的三角形（P為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F時(shí)，具有以下性質(zhì)：
①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；
②；
③．
已知直線與拋物線交于A，B點(diǎn)，若，則拋物線的“阿基米德三角形” 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，
由題意，設(shè)，，
聯(lián)立，得，
所以，，，解得，
∴，
當(dāng)時(shí)，，所以直線PF方程為：，
因?yàn)闉椤鞍⒒椎氯切巍保渣c(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上，
所以點(diǎn)，
由拋物線對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，，
故選：B．
變式25．（2022·河南·林州一中高二開學(xué)考試（文））如圖所示，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C.若，且，則拋物線的方程為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖分別過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，,設(shè)與交于點(diǎn).

設(shè)，,
，由拋物線定義得：，
故
在直角三角形中，，
，，
，
，
，
∥，，
，即，
，
所以拋物線的方程為.
故選：A
變式26．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）如圖，已知拋物線，圓，過(guò)C點(diǎn)的直線l與拋物線和圓依次交于P，M，N，Q，則等于（????）

A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】圓，點(diǎn)C與拋物線的焦點(diǎn)重合，設(shè)，，所以，，
∴．
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，∴；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為(),
與拋物線方程聯(lián)立消y，得，
∴．
綜上，.
故選：A．
題型五：弦長(zhǎng)問(wèn)題
例13．（2022·廣東東莞·高二期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于PQ兩點(diǎn)，若以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則（????）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解析】拋物線的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線
取PQ中點(diǎn)H，分別過(guò)P、Q 、H作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N、M、E

則四邊形為直角梯形，為梯形中位線，
由拋物線定義可知， ,，則
故，即點(diǎn)H到拋物線準(zhǔn)線的距離為的一半，
則以線段PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切. 又以線段PQ為直徑的圓與直線相切，
則以線段PQ為直徑的圓的直徑等于直線與直線間的距離.
即
故選：C
例14．（2022·云南玉溪·高二期末）直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為在直線上，故是拋物線的焦點(diǎn)弦，則
由得：，
所以，，
所以，
故選：D.
例15．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知拋物線，點(diǎn)，是曲線W上兩點(diǎn)，若，則的最大值為（?????）
A．10 B．14 C．12 D．16
【答案】C
【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則,焦準(zhǔn)距,準(zhǔn)線方程為，
根據(jù)拋物線的定義得，．
又，所以．
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，即，
所以的最大值為12，
故選：C
變式27．（2022·江蘇·高二）己知F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，直線與C交于D、E兩點(diǎn)，則的最小值為（????）
A．24 B．22 C．20 D．16
【答案】A
【解析】設(shè)直線，的斜率分別為，
由拋物線的性質(zhì)可得，，
所以，
又因?yàn)?，所以?br /> 所以，
故選：A.
變式28．（2022·遼寧·高二期末）過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F分別作斜率為k1、k2的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，若|k1·k2|=2，則|AB|+|DE|的最小值為（????）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【解析】拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F為，直線l1的方程為，
則聯(lián)立后得到，設(shè)，
，，則，
同理設(shè)可得：，
因?yàn)閨k1·k2|=2，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，
故選：B
變式29．（2022·甘肅省臨洮中學(xué)高二階段練習(xí)（理））拋物線有如下的光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)（1，－2）射入，經(jīng)拋物線上的點(diǎn)P反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)Q反射后射出，則（????）
A． B．13 C． D．14
【答案】A
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，
由，
直線的方程為，
由解得或，
所以，所以.
故選：A
變式30．（2022·江蘇·南京市秦淮中學(xué)高二期末）若拋物線與直線：相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為（????）
A．6 B．8 C． D．
【答案】B
【解析】由題得.
由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線上，
設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線方程得,
所以.
所以.
故選：B
變式31．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二期末（理））已知直線過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，與C交于A，B兩點(diǎn)，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，若的面積為36，則等于（????）
A．36 B．24 C．12 D．6
【答案】C
【解析】設(shè)拋物線方程為：，
因?yàn)橹本€過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，
所以，
又 P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，
所以點(diǎn)P到直線AB的距離為p，
所以，解得，
所以，
故選：C
變式32．（2022·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線與A、B兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則等于（????）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，則，
所以，
故選：B
變式33．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，若直線l過(guò)F，且與拋物線C交于A，B，過(guò)點(diǎn)A作直線y=-1的垂線，垂足為點(diǎn)M，點(diǎn)N在y軸上，AF，MN互相垂直平分，則|AB|=（????）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【解析】如圖所示，因?yàn)锳F，MN互相垂直平分，所以四邊形AMFN為菱形.
又由拋物線定義可知，，故△AMF為正三角形，從而∠FMC= 30° ，
所以在Rt△FMC中，，
又=2，所以.
設(shè)，所以，
由題得直線的傾斜角為，所以直線的方程為，
聯(lián)立直線和拋物線方程得，所以，
所以.
所以，
所以
所以.
故選：B

變式34．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點(diǎn)，過(guò)線段的中點(diǎn)且垂直于的直線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則的斜率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，其中，
設(shè)點(diǎn)、、，
聯(lián)立可得，，，
所以，，
，，
直線的斜率為，則直線的斜率為，
所以，，
因?yàn)?，則，因?yàn)?，解得?br /> 因此，直線的斜率為.
故選：C.
題型六：定點(diǎn)定值問(wèn)題
例16．（2022·四川·棠湖中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知曲線C：x2=2y，點(diǎn)D為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.
(1)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為，求這兩條切線的方程；
(2)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).
【解析】(1)設(shè)切點(diǎn)為，
∵，∴曲線在點(diǎn)處的切線的斜率
∴切線的方程為：
又切線過(guò)點(diǎn)，∴，
解得或，故切線的方程為：或.
(2)設(shè)，則.
由于，所以切線的斜率為，故.
整理得
設(shè)，同理可得.
故直線的方程為.
所以直線過(guò)定點(diǎn).
例17．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6.
(1)求拋物線的方程；
(2)若不過(guò)原點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】(1)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)，
設(shè)拋物線的方程為，
到焦點(diǎn)的距離為6，即有點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，
即 解得，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
(2)證明:由題意知直線不能與軸平行，故直線方程可設(shè)為,
與拋物線聯(lián)立得??，消去得,
設(shè)，則,
則，,
由，可得，
所以，即，
亦即 ，又，解得，
所以直線方程為，易得直線過(guò)定點(diǎn).
例18．（2022·河南·夏邑第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，.
(1)求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.
【解析】(1)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入，得，
所以點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)為，.
所以，
所以，所以（舍去）.
所以的方程為.
(2)證明：由（1）知，，由于直線，均與交于兩點(diǎn)，
所以直線，斜率存在且不為0.
設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立得，
恒成立.
所以，
所以.
因?yàn)?，所以將換成，得，
所以，
所以為定值.
變式35．（2022·廣東·深圳市羅湖外語(yǔ)學(xué)校高二階段練習(xí)）已知拋物線，直線交C于A，B兩點(diǎn)．
(1)若弦AB的中點(diǎn)是，求直線l的方程；
(2)設(shè)，，若，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．
【解析】(1)由于在拋物線開口之內(nèi)，且不在軸上，
直線的斜率存在，設(shè)為，且設(shè)，
可得，兩式相減可得，
即，
則直線的方程為，即，
檢驗(yàn)直線存在，且方程為；
(2)證明：若直線的斜率不存在，可得（其中），
將代入拋物線方程，可得，
則，即，直線過(guò)；
若直線的斜率存在，設(shè)為，
當(dāng)時(shí)，設(shè)的方程為，
將代入拋物線的方程消去可得，
所以，即有，所以，
所以直線的方程為，則直線恒過(guò)定點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
又，即，此時(shí)不存在直線滿足題意；
綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn)．
變式36．（2022·福建泉州·高二期中）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
【解析】(1)∵拋物線過(guò)點(diǎn)，
．．
∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為．
(2)設(shè)，，
由得，
，．
，
．
，
或．
，
舍去．
，滿足．
∴直線的方程為．
∴直線必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
變式37．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)且．
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)，且向量，，證明：為定值．
【解析】（1）設(shè)，，聯(lián)立方程，得，
則，
從而，
解得，故的方程為．
（2）證明：設(shè)，，且點(diǎn)，
聯(lián)立方程，得，
則，
同理得，
因?yàn)橄蛄?，?br /> 所以，
兩式相加得，
即，由于，所以．
所以為定值．
題型七：最值問(wèn)題
例19．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是含拋物線頂點(diǎn)的弧上一點(diǎn)，求的最大面積.
【解析】設(shè)，，，，所在的直線方程為，將其代入拋物線，
得，
，
，
當(dāng)過(guò)的直線平行于且與拋物線相切時(shí)的面積有最大值.

設(shè)直線方程為，代入拋物線方程得，
由，得，這時(shí)，
它到的距離為，
的最大面積為.
例20．（2022·上?！ひ荒＃┮阎獟佄锞€，是軸上一點(diǎn)，是拋物線上任意一點(diǎn).
（1）若，求的最小值；
（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，A（1，0）為拋物線的焦點(diǎn)，此時(shí)=到準(zhǔn)線的距離，
∴當(dāng)為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，到準(zhǔn)線的距離最小為1，即的最小值為1.
（2）
的最小值為，即當(dāng)時(shí)取得最小值，
所以，即.
例21．（2022·四川成都·高二期中（理））已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為.
（1）求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，求的最小值.
【解析】（1）設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，.
（2）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則，且，
∴，它的最小值為點(diǎn)到直線的距離.
∴.
變式38．（2022·廣東·鹽田高中高二期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時(shí)，．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若P，Q為拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，E為PQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)E縱坐標(biāo)的最小值．
【解析】（1）由題設(shè)，且，則，
所以拋物線C的方程.
（2）設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線可得，
所以，即，
，，則，故，
又，可得，
所以且，則，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)：
當(dāng)，時(shí)，在上遞增，則最小；
當(dāng)，時(shí)，在上遞減，在上遞增，則最小；
綜上，時(shí)最??；時(shí)最小.
變式39．（2022·福建廈門·高二期末（文））已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)，交拋物線于A、B兩點(diǎn).
（1）若P為中點(diǎn)，求l的方程；
（2）求的最小值.
【解析】（1）方法一：設(shè)，，，則，，
，化簡(jiǎn)得，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，，
，∴l(xiāng)的方程為，即.
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.
方法二：設(shè)，，
當(dāng)斜率不存在時(shí)，顯然不成立.
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：，顯然，
由得
易知，，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，，即，
解得，∴l(xiāng)的方程為
（2）方法一：由拋物線的定義可知
當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l：，
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：，顯然，
由得，
易知，
，
時(shí)，的最小值為
綜上，的最小值為
方法二：由拋物線的定義可知
顯然直線l不平行于x軸，設(shè)直線l：，
由得，
易知，，，


時(shí)，的最小值為

【同步練習(xí)】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離是（??????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由拋物線方程知：為拋物線焦點(diǎn)，所求距離.
故選：D.
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（??????）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】由拋物線方程知：為拋物線的焦點(diǎn)，，解得：.
故選：B.
3．（2022·四川省資陽(yáng)中學(xué)高二開學(xué)考試（理））拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題得，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：C
4．（2022·陜西·西北農(nóng)林科技大學(xué)附中高二期末（文））設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則拋物線方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以直線的方程為：，
令，解得，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
因?yàn)榈拿娣e為4，
所以有，即，，
因此拋物線的方程為.
故選：B.
5．（2022·浙江舟山·高二期末）已知拋物線C：，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)到在拋物線上，則（????）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，，解得，
利用拋物線的定義知
故選：D
6．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高二期末（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為N.若，則的面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，根據(jù)拋物線定義，可知PF=PN，OF=AO=2，又因?yàn)椋匀切蜳NF為等邊三角形，點(diǎn)F作FM⊥PN于點(diǎn)M，則M為PN的中點(diǎn)，且MN=AF=2，所以PN=4，由勾股定理得：，所以的面積為.

故選：C
7．（2022·北京西城·高二期末）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過(guò)的直線交拋物線于點(diǎn)，則以為直徑的圓（????）
A．必過(guò)原點(diǎn) B．必與軸相切
C．必與軸相切 D．必與拋物線的準(zhǔn)線相切
【答案】C
【解析】如圖，取中點(diǎn)，以為圓心，為直徑作圓，與相切于點(diǎn)，連接，證明如下：因?yàn)闉椋悬c(diǎn)，所以，又，所以，由拋物線定義可知，，所以為圓的半徑，即以為直徑的圓與軸相切.
故選：C

8．（2022·四川南充·高二期末（文））拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為平面上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（????）
A．－5 B．－3 C．3 D．5
【答案】B
【解析】設(shè)，，
由題意，直線的斜率存在，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以不妨設(shè)直線的方程為，
由，可得，
所以，，，
所以，
故選：B.
二、多選題
9．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）(多選)經(jīng)過(guò)拋物線(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，|AB|最小 B．＋＝
C．以弦AB為直徑的圓與直線相離 D．y1y2＝－p2
【答案】AD
【解析】設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線方程為：，代入得，
，則
，，
，
當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，，|AB|最小，∴A正確；
，∴B錯(cuò)；
以AB為直徑的圓：圓心，半徑為
圓心與準(zhǔn)線的距離
圓與準(zhǔn)線相切，∴C錯(cuò)，
，∴D正確；
故選：AD.
10．（2022·全國(guó)·高二課前預(yù)習(xí)）已知拋物線C：x2＝2py，若直線y＝2x被拋物線所截弦長(zhǎng)為4，則拋物線C的方程為（????）
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝2y D．x2＝－2y
【答案】CD
【解析】由，解得：或，則交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
則，解得：，
則拋物線的方程，
故選：CD．
11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）平面內(nèi)到定點(diǎn)和到定直線的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．則（????）
A．曲線的方程為
B．曲線關(guān)于軸對(duì)稱
C．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，
D．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離
【答案】AB
【解析】由拋物線定義，知曲線是以為焦點(diǎn)，
直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為，故A正確；
若點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)也在曲線上，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故B正確；
由知，故C錯(cuò)誤；
點(diǎn)到直線的距離，所以D錯(cuò)誤
故選：AB
12．（2022·江蘇省寶楠國(guó)際學(xué)校高二階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，垂直于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】如圖所示：連接，，

的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：，為拋物線上一點(diǎn)
，
，分別為，的中點(diǎn)，
，
垂直于點(diǎn)，
， ，則選項(xiàng)A正確；
，
為等邊三角形，


，則選項(xiàng)C正確；
，
四邊形為矩形
，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

四邊形為平行四邊形，
，則選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
三、填空題
13．（2022·江蘇·金陵中學(xué)高二階段練習(xí)）過(guò)拋物線）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C（點(diǎn)B在點(diǎn)F，C之間），且則直線AB的斜截式方程為__________
【答案】或
【解析】分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為G

設(shè)，則，，∴，即直線AB的斜率為
則可得，，
在ACE中可得：，則，即，
又，則，解得，即．
所以直線AB的斜截式方程為或
故答案為：或.
14．（2022·湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）若拋物線上一點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為8，則該拋物線的方程為________．
【答案】
【解析】由題意可知 ,
則 ，
故拋物線的方程為 .
15．（2022·安徽·六安一中東校區(qū)高二開學(xué)考試）已知直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，則______．
【答案】
【解析】因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
又過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則即為拋物線的焦點(diǎn)，
所以，故，
故答案為：3.
16．（2022·廣西·賓陽(yáng)中學(xué)高二期中）以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)、為兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線；②以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線的橢圓（不在上）有無(wú)數(shù)多個(gè)；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④過(guò)原點(diǎn)任做一直線，若與拋物線，分別交于、兩點(diǎn)，則為定值．
其中真命題的序號(hào)為________（寫出所有真命題的序號(hào)）
【答案】②③④
【解析】①由雙曲線的定義可得，，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為一條射線，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支．故①不對(duì)．
②以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線的橢圓不在上），離心率的值有無(wú)數(shù)個(gè)，故橢圓有無(wú)數(shù)多個(gè)；故②對(duì)．
③方程的兩根為：2，，故可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；故③對(duì)
④設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為，，的坐標(biāo)分別為，，， 聯(lián)立，消去，可得，，同理可得，
為定值．故④對(duì)．
故答案為：②③④
四、解答題
17．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，直線與E相交所得線段的長(zhǎng)為．
(1)求E的方程；
(2)若不過(guò)點(diǎn)F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，請(qǐng)從①AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，②的重心在直線上，③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)作為已知條件，求直線l的方程（若因條件選擇不當(dāng)而無(wú)法求出，需分析具體原因）．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】（1）因?yàn)橹本€與拋物線相交所得線段的長(zhǎng)為，所以拋物線過(guò)點(diǎn)（由拋物線的對(duì)稱性得到），則，即，所以的方程為．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l與E相交于A，B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，選①②或①③或②③均不符合題意，故直線的斜率存在．設(shè)，，，由（1）知．由，得，所以．方案一??選擇條件①③．因?yàn)锳B中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，所以，則，因?yàn)椋?，則，所以．綜上，直線的方程為．方案二??選擇條件②③．因?yàn)榈闹匦脑谥本€上，所以，則，即．因?yàn)?，所以，則，即，所以．綜上，直線的方程為．方案三??選擇條件①②．因?yàn)锳B中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，所以，則．因?yàn)榈闹匦脑谥本€上，所以，則，即．兩個(gè)條件，都只能得出斜率，無(wú)法計(jì)算出b的值，因此不能得到直線的方程．
18．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）有一座拋物線型拱橋，其水面寬AB為18米，拱頂O離水面AB的距離OM為8米，貨船在水面上的部分的橫斷面是矩形CDEF，如圖建立平面直角坐標(biāo)系．

(1)求此拋物線的解析式；
(2)如果限定矩形的長(zhǎng)CD為9米，那么矩形的高DE不能超過(guò)多少米，才能使船通過(guò)拱橋．
(3)若設(shè)EF＝a，請(qǐng)將矩形CDEF的面積S用含a的代數(shù)式表示，并指出a的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為．
把已知坐標(biāo)代入解析式，
求得a，b＝0，c＝0．
故拋物線的解析式為．
（2）∵CD＝9
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為 ，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ，
因此要使貨船能通過(guò)拱橋，則貨船最大高度不能超過(guò)（米）
（3）由EF＝a，則E點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
此時(shí)
∴．
19．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線，拋物線，當(dāng)為何值時(shí)，與相切 ？相交？相離？
【解析】聯(lián)立方程，得
消去并整理，得.
當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程.
所以.
當(dāng)，即時(shí)，與相切；
當(dāng)，即且時(shí)，與相交；
當(dāng)，即時(shí)，與相離.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，顯然與拋物線交于點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，與相切；當(dāng)時(shí)，與相交； 當(dāng)時(shí)，與相離.
20．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，為拋物線上的一點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，垂直于直線，垂足為，直線垂直于，分別交軸、軸于點(diǎn)A，．

(1)求使為等邊三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)是否存在點(diǎn)，使平分線段？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）由題意可知 ,
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足,則點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
由拋物線的定義知．因?yàn)?，且為等邊三角形?br /> 所以，
又，所以，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使，連接，

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
又，所以，
即，又，所以，．
所以存在滿足條件的點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．
21．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知定點(diǎn)在拋物線上，動(dòng)點(diǎn)且，求證：弦必過(guò)一定點(diǎn)．

【解析】設(shè)所在直線方程為：，
與拋物線方程聯(lián)立，消去得．
設(shè)，則，，
由已知得，
即，
因?yàn)?，?br /> 所以，
化簡(jiǎn)得．
又，，故，
直線方程化為：．
直線恒過(guò)點(diǎn)．


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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

3.3 拋物線

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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