考點一 雙曲線的定義及應(yīng)用
【例1-1】（2023秋·高二課時練習(xí)）平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是（ ）
A．雙曲線B．兩條射線C．一條線段D．一條直線
【答案】B
【解析】如圖：
設(shè)動點為，到兩個定點的距離之差的絕對值為，
則若在線段（不包含兩端點）上，有；
若在直線外，有；
若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點），
則有.
故選：B
【例1-2】（2023黑龍江）雙曲線上的點P到一個焦點的距離為11，則它到另一個焦點的距離為（ ）
A．1或21B．14或36C．2D．21
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，不妨設(shè)，
根據(jù)雙曲線的定義知|，所以或，
而，，
雙曲線右支上一點，，則，
則點到右焦點的距離為
，
當時，取得最小值，最小值為2，
故不成立，舍去，滿足要求，
所以點P到另一個焦點的距離為21，
【例1-3】（2023·四川達州）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的右支交于P，Q兩點，則（ ）
A．5B．6C．8D．12
【答案】C
【解析】雙曲線C：，則，，
由雙曲線的定義知：，，，
所以.故選：C.
【一隅三反】
1．（2023春·云南曲靖）（多選）已知平面直角坐標系中，點、，點為平面內(nèi)一動點，且，則下列說法準確的是（ ）
A．當時，點的軌跡為一直線
B．當時，點的軌跡為一射線
C．當時，點的軌跡不存在
D．當時，點的軌跡是雙曲線
【答案】AB
【解析】對于A選項，當時，，則點的軌跡為線段的垂直平分線，A對；
對于B選項，當時，，則點的軌跡是一條射線，
且射線的端點為，方向為軸的正方向，B對；
對于C選項，當時，，則點的軌跡是一條射線，
且射線的端點為，方向為軸的負方向，C錯；
對于D選項，當時，，且，
所以，點的軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，D錯.
故選：AB.
2．（2023秋·高二課時練習(xí)）若點在雙曲線上，雙曲線的焦點為，且，則等于（ ）
A．2B．4C．8D．12
【答案】B
【解析】雙曲線中，得，則，
由雙曲線的定義可得，
因為，所以，解得，
故選：B
3．（2023春·安徽滁州·高二?？奸_學(xué)考試）若雙曲線 的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】由雙曲線標準方程得：由雙曲線定義得:
即，解得（舍去）或，故選：A.
4（2022秋·山東濟南·高二山東省濟南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若點是雙曲線：上一點，，分別為的左、右焦點，則“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由題意可知，，，，
若，則，或12，
若，，，
故“”是“”的必要不充分條件．故選：A．
考點二 焦點三角形周長及面積
【例2-1】（2023春·內(nèi)蒙古赤峰）已知是雙曲線上一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，的周長為，則 ，的面積為 ．
【答案】
【解析】在雙曲線中，，，則，
根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點在雙曲線的右支上，則．
因為，的周長為，所以，
所以，．
在中，，
則，
所以，的面積為．
故答案為：；.
【一隅三反】
1．（2023春·福建南平·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，直線l過其上焦點，交雙曲線上支于A，B兩點，且，為雙曲線下焦點，的周長為18，則m值為（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】D
【解析】由題意知.
又，所以.
根據(jù)雙曲線的定義可知，
所以，
解得，所以.
故選：D
2．（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（ ）
A．24B．15C．12D．30
【答案】A
【解析】，根據(jù)雙曲線定義：，
，，，
根據(jù)余弦定理：，
則，.
故選：A
3．（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線，、是其兩個焦點，點M在雙曲線上，若，則的面積為 ．
【答案】
【解析】雙曲線的實半軸長，半焦距，有，
在中，由余弦定理得，
即有，
因此，解得，
所以的面積為.
故答案為：

考點三 雙曲線上的點到定點距離的最值
【例3-1】（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰）已知雙曲線方程為，焦距為8，左?右焦點分別為，，點A的坐標為，P為雙曲線右支上一動點，則的最小值為 .
【答案】
【解析】如圖所示，
由雙曲線為等軸雙曲線，且焦距為8，
所以，，
即，，
所以雙曲線的方程為：，
所以，，，
由雙曲線定義得，
所以
，
當三點共線時，最小為
故.
故答案為：.
【例3-2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交雙曲線左支于，兩點，則的最小值為 ．
【答案】22
【解析】根據(jù)雙曲線，得，，
由雙曲線的定義可得： ①，
②，
①+②可得：，
由于過雙曲線的左焦點的直線交雙曲線的左支于，兩點，
可得，即有．
則，當是雙曲線的通徑時最小，
故.
故答案為：22
【例3-3】（2023·青海玉樹·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，為雙曲線的左、右焦點，點P是C的右支上的一點，則的最小值為（ ）
A．16B．18C．D．
【答案】A
【解析】因為，為雙曲線的左、右焦點，P是C的右支上的一點，
所以，
所以
，當且僅當，即時，等號成立；
因為，所以，所以成立，的最小值為16.
故選：A.
【一隅三反】
1．（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知，雙曲線的左、右焦點分別為，，點是雙曲線左支上一點，則的最小值為（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】C
【解析】由雙曲線，則，即，且，
由題意，
，
當且僅當共線時，等號成立.
故選：C.
2．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知、分別是雙曲線的左、右焦點，動點在雙曲線的左支上，點為圓上一動點，則的最小值為 .
【答案】6
【解析】雙曲線，，，
圓的圓心為，半徑，
在雙曲線的左支上，，
所以，
根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，的最小值是，
所以的最小值是.
故答案為：
3．（2023春·寧夏銀川）已知點，點P是雙曲線左支上的動點，為其右焦點，N是圓的動點，則的最小值為 ．
【答案】/
【解析】因為雙曲線的焦點為,
圓的圓心,恰好為雙曲線的左焦點,
，
(當且僅當三點共線時取等號)，
(當且僅當,,三點共線時取等號),
，
的最小值為.
故答案為：.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為雙曲線C：的左、右焦點，Q為雙曲線右支上一點，點P（0，2）．當取最小值時，的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由雙曲線定義得,
故
如圖示，當三點共線，即Q在M位置時，取最小值，
，故方程為，
聯(lián)立，解得點Q的坐標為 (Q為第一象限上的一點)，
故
故選：A
5（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左焦點為，點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（ ）
A．5B．C．7D．8
【答案】C
【解析】記雙曲線的右焦點為，所以，
當且僅當點為線段與雙曲線的交點時，取到最小值．
故選：C．
考點四 雙曲線的標準方程
【例4-1】（2023·貴州畢節(jié)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若方程表示雙曲線，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，解得.故選：C
【例4-2】（2023秋·湖南邵陽·高二統(tǒng)考期末）（）多選已知曲線（ ）
A．表示兩條直線B．表示圓
C．表示焦點在軸上的雙曲線D．表示焦點在軸上的橢圓
【答案】BCD
【解析】對于A，當時，曲線為表示焦點在軸上的雙曲線，故A錯誤；
對于B，當時，曲線為表示圓，故B正確；
對于C，當時，曲線為表示焦點在軸上的雙曲線，故C正確；
對于D，當時，，則曲線為表示焦點在軸上的橢圓，故D正確.
故選：BCD.
【例4-3】（2023廣東湛江）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)兩個焦點的坐標分別是,雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于；
(2)焦點在軸上，經(jīng)過點和點．
(3)經(jīng)過點和．
已知與橢圓共焦點的雙曲線過點
【答案】(1)(2)（3）（4）
【解析】（1）由已知得，即,∵，∴.
∵焦點在軸上，∴所求的雙曲線的標準方程是;
（2）設(shè)雙曲線的方程為，則,∴雙曲線方程為.
（3）設(shè)雙曲線方程為，將兩點代入可得，解得；
所以雙曲線的標準方程為.
（4）設(shè)橢圓的半焦距為，則，∴，
所以橢圓的焦點坐標為，，所以雙曲線的焦點坐標為，，
設(shè)所求雙曲線的標準方程為，則，
故所求雙曲線方程可寫為，∵點在所求雙曲線上，
∴代入有，化簡得，解得或.
當時， ，不合題意，舍去；∴，
∴所求雙曲線的標準方程為.

【一隅三反】
1．（2023秋·高二課時練習(xí)）“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因為方程表示雙曲線，所以，解得或，
因為由可推出或，，但是由或，不能推出，
所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，故選：A.
2．（2023·新疆克拉瑪依）（多選）若方程所表示的曲線為，則下面四個命題中正確的是（ ）
A．曲線可能是圓 B．若為橢圓，則
C．當時曲線是焦點在軸上的橢圓 D．當時曲線不是橢圓
【答案】AD
【解析】若則方程為曲線表示圓，故A正確
若為橢圓，則 且，故B錯誤
若是焦點在軸上的橢圓，則 ，故錯誤
若則方程為表示雙曲線，則曲線不是橢圓，故D正確，
故選：AD
3．（2023·海南?？冢┣筮m合下列條件的雙曲線的標準方程．
（1）焦點在軸上，，經(jīng)過點；
（2）經(jīng)過、兩點．
(3)過點，且與橢圓有相同焦點雙曲線方程.
【答案】（1）；（2）.（3）
【解析】（1）因為，且雙曲線的焦點在軸上，可設(shè)雙曲線的標準方程為，
將點的坐標代入雙曲線的方程得，解得，
因此，雙曲線的標準方程為；
（2）設(shè)雙曲線的方程為，將點、的坐標代入雙曲線方程可得，解得，
因此，雙曲線的標準方程為.
（3）由題意可知橢圓的焦點坐標為；
所以可設(shè)雙曲線標準方程為，其中；
代入點可得，聯(lián)立解得；
所以雙曲線標準方程為.
考點五 與雙曲線有關(guān)的軌跡方程
【例5】（2022秋·高二課時練習(xí)）求下列動圓的圓心的軌跡方程：
(1)與圓和圓都內(nèi)切；
(2)與圓內(nèi)切，且與圓外切；
(3)在中，，，直線，的斜率之積為，求頂點的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
因為，則圓與圓外離，
設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，
所以圓心的軌跡是以點、分別為上、下焦點的雙曲線的下支，
設(shè)圓心的軌跡方程為，
由題意可得，則，，
因此圓心的軌跡方程為.

（2）圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
因為，則圓與圓外離，
設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，
所以圓心的軌跡是以點、分別為左、右焦點的雙曲線的左支，
設(shè)圓心的軌跡方程為，
由題意可得，則，，
因此圓心的軌跡方程為.

（3）設(shè)，則，，
根據(jù)題意有，
化簡得
∴頂點的軌跡方程為.

【一隅三反】
1．（2023·高二課時練習(xí)）動圓過點，且與圓外切，則動圓圓心的軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)動圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
因為動圓過點，且與圓外切，
所以，，，
所以，
所以，由雙曲線的定義得的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的右支，
因為實軸長為，焦點為，
所以，動圓圓心的軌跡方程是，即
故答案為：
2．（2023湖南）設(shè)P為雙曲線上一動點，O為坐標原點，M為線段的中點，則點M的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，
則，即，
又，則，
整理得，
即點M的軌跡方程為.
故答案為：
3．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┮阎獔A與圓，動圓同時與圓及相外切，則動圓圓心的軌跡為（ ）
A．橢圓B．橢圓和一條直線
C．雙曲線和一條射線D．雙曲線的一支
【答案】D
【解析】圓，，圓心，，
圓，，圓心，，
設(shè)，因為圓同時與圓及相外切，
所以，
即的軌跡是以為焦點，的雙曲線的左支.
故選：D
4．（2023春·福建福州·高二?？计谥校﹦訄AP過定點M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圓N：的圓心為，半徑為，且
設(shè)動圓的半徑為，則，即.
即點在以為焦點，焦距長為，實軸長為，
虛軸長為的雙曲線上，且點在靠近于點這一支上，
故動圓圓心P的軌跡方程是
故選：A

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3.2 雙曲線

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