第六章　6.1　A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④密度．其中是向量的是(　B　)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)[解析]　由物理學(xué)知識(shí)知速度和位移是向量，既有大小又有方向，符合向量的定義．故選B．2．在同一平面上，把平行于某一直線的一切向量的始點(diǎn)放在同一點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是(　B　)A．一條線段 B．一條直線C．圓上一群孤立的點(diǎn) D．一個(gè)半徑為1的圓[解析]　由于向量的起點(diǎn)確定，而向量平行于同一直線，所以隨著向量模長(zhǎng)的變化，向量的終點(diǎn)構(gòu)成的是一條直線．3．某人向正東方向行進(jìn)100 m后，再向正南方向行進(jìn)100 m，則此人位移的方向是(　C　)A．南偏東60° B．南偏東45°C．南偏東30° D．南偏東15°[解析]　如圖所示，此人從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)點(diǎn)B，到達(dá)點(diǎn)C，則tan ∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，即位移的方向是東偏南60°，即南偏東30°，應(yīng)選C．4．如果a，b是兩個(gè)單位向量，則a與b一定(　D　)A．相等 B．平行C．方向相同 D．長(zhǎng)度相等[解析]　因?yàn)?/span>a，b是兩個(gè)單位向量；所以其模長(zhǎng)相等，方向不定．故選D．5．(2022·淄博高一檢測(cè))在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，則如圖所示的向量中，相等向量有(　A　)A．一組 B．二組C．三組 D．四組[解析]　由圖可知，只有＝．故選A．二、填空題6．零向量與單位向量的關(guān)系是__共線__(填“共線”“相等”“無(wú)關(guān)”)．7．如圖，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，最多可以寫出__6__個(gè)互不相等的非零向量．[解析]　模為1個(gè)單位的向量有2個(gè)，如，；模為2個(gè)單位的向量有2個(gè)，如，；模為3個(gè)單位的向量有2個(gè)，如，，故共有6個(gè)．8．如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，則集合T有__12__個(gè)元素．[解析]　根據(jù)題意知，由點(diǎn)O，A，B，C，D可以構(gòu)成20個(gè)向量．但它們有12個(gè)向量各不相等，由元素的互異性知T中有12個(gè)元素．三、解答題9．如右圖，以1×2方格紙中的格點(diǎn)(各線段的交點(diǎn))為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，(1)寫出與、相等的向量；(2)寫出與模相等的向量．[解析]　(1)與相等的向量為、，與相等的向量為．(2)，，．10．如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問：(1)與相等的向量共有幾個(gè)；(2)與平行且模為的向量共有幾個(gè)？(3)與方向相同且模為3的向量共有幾個(gè)？[解析]　(1)與向量相等的向量共有5個(gè)(不包括本身)．(2)與向量平行且模為的向量共有24個(gè)．(3)與向量方向相同且模為3的向量共有2個(gè)．B　組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．如圖所示，在⊙O中，向量，與是(　C　)A．有相同始點(diǎn)的向量 B．共線向量C．模相等的向量 D．相等的向量2．等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在兩腰AD，BC上，EF過(guò)點(diǎn)P且EF∥AB，則下列等式正確的是(　D　)A．＝ B．＝C．＝ D．＝[解析]　由相等向量的定義，顯然＝．3．(多選題)在下列結(jié)論中，正確的是(　ACD　)A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分條件B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要條件C．a與b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要條件D．a與b方向相反或|a|≠|(zhì)b|是a≠b的充分不必要條件[解析]　若a＝b，則a與b方向相同，模相等，所以A對(duì)，B錯(cuò)誤C、D對(duì)，故選ACD．4．(多選題)如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，則(　ABC　)A．與相等的向量只有一個(gè)(不含)B．與的模相等的向量有9個(gè)(不含)C．的模恰好為的模的倍D．與不共線[解析]　與相等的向量只有，A正確；由已知條件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正確；因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為菱形，由菱形的性質(zhì)可得＝sin 60°＝，∴＝，∴的模為||的模的倍．故C正確；與方向相同，大小相等，故＝，與共線，D錯(cuò)誤．故選ABC．二、填空題5．把同一平面內(nèi)所有模不小于1，不大于2的向量的起點(diǎn)，移到同一點(diǎn)O，則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積等于__3π__．[解析]　這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是一個(gè)圓環(huán)，其面積為π·22－π·12＝3π．6．有下列說(shuō)法：①若a≠b，則a一定不與b共線；②若＝，則A，B，C，D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；③在?ABCD中，一定有＝；④若a＝b，b＝c，則a＝c；⑤共線向量是在一條直線上的向量．其中，正確的說(shuō)法是__③④__．[解析]　①兩個(gè)向量不相等，可能是長(zhǎng)度不相等，方向相同或相反，所以a與b有共線的可能，故①不正確；②A，B，C，D四點(diǎn)可能在同一條直線上，故②不正確；③在平行四邊形ABCD中，||＝||，與平行且方向相同，所以＝，故③正確；④a＝b，則|a|＝|b|，且a與b方向相同；b＝c，則|b|＝|c|，且b與c方向相同，所以a與c方向相同且模相等，故a＝c，故④正確；⑤共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故⑤不正確．三、解答題7．如圖所示，已知四邊形ABCD和四邊形ABDE都是平行四邊形．(1)與相等的向量有哪些？(2)與共線的向量有哪些？(3)若||＝1．5，求||的大小．[解析]　(1)與相等的向量即與同向且等長(zhǎng)的向量，有，．(2)與共線的向量即與方向相同或相反的向量，有，，，，，，．(3)若||＝1．5，則||＝||＝||＋||＝2||＝3．8．如圖所示的方格紙由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，方格紙中有兩個(gè)定點(diǎn)A，B，點(diǎn)C為小正方形的頂點(diǎn)，且||＝．(1)畫出所有的向量；(2)求||的最大值與最小值．[解析]　(1)畫出所有的向量如圖所示．(2)由(1)所畫的圖知，①當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)C1或C2時(shí)，||取得最小值＝；②當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)C5或C6時(shí)，||取得最大值＝．∴||的最大值為，最小值為．

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6.1 平面向量的概念

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