2.6　雙曲線及其方程2.6．1　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．掌握雙曲線的定義，會(huì)用雙曲線的定義解決實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn))2．掌握用定義法和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn))3．理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題．(難點(diǎn))1．通過(guò)對(duì)雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．前面學(xué)習(xí)了橢圓及其幾何性質(zhì)，了解了橢圓形狀與離心率e有關(guān)，在現(xiàn)實(shí)生活中還有一類(lèi)曲線，與橢圓并稱(chēng)為“情侶曲線”，即雙曲線，它的形狀在現(xiàn)實(shí)中很常見(jiàn)．如發(fā)電廠的冷卻塔的形狀，上、下兩頭粗，中間細(xì)，截面圖的形狀就是本節(jié)要學(xué)習(xí)的雙曲線，它的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)又如何？人們不禁要問(wèn)，為什么建成這樣的雙曲線型冷卻塔，而不建成豎直的呢？這就需要我們學(xué)習(xí)與雙曲線相關(guān)的內(nèi)容．知識(shí)點(diǎn)1　雙曲線的定義一般地，如果F1，F2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)正常數(shù)，且2a＜|F1F2|，則平面上滿足||PF1|－|PF2||＝2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱(chēng)為雙曲線，其中，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F2稱(chēng)為雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離|F1F2|稱(chēng)為雙曲線的焦距，雙曲線也可以通過(guò)用平面截兩個(gè)特殊的圓錐面得到，因此雙曲線是一種圓錐曲線．1．雙曲線的定義中，若2a＝|F1F2|，則點(diǎn)P的軌跡是什么？2a＞|F1F2|呢？[提示]　若2a＝|F1F2|，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F2為端點(diǎn)的兩條射線；若2a＞|F1F2|，點(diǎn)P的軌跡不存在．2．定義中若常數(shù)為0，則點(diǎn)P的軌跡是什么？[提示]　此時(shí)點(diǎn)P的軌跡為線段F1F2的垂直平分線．1．(1)已知定點(diǎn)F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面內(nèi)滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中為雙曲線的是(　　)A．|PF1|－|PF2|＝±3　 B．|PF1|－|PF2|＝±4C．|PF1|－|PF2|＝±5   D．|PF1|2－|PF2|2＝±4(2)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M(1，0)及點(diǎn)N(5，0)的距離之差為2a，則當(dāng)a＝1和a＝2時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別是(　　)A．雙曲線和一條直線B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條射線D．雙曲線的一支和一條直線(1)A　(2)C　[(1)當(dāng)|PF1|－|PF2|＝±3時(shí)，||PF1|－|PF2||＝3＜|F1F2|＝4，滿足雙曲線的定義，所以P點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(2)由題意，知|MN|＝4，當(dāng)a＝1時(shí)，|PM|－|PN|＝2a＝2＜4，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支；當(dāng)a＝2時(shí)，|PM|－|PN|＝2a＝4＝|MN|，點(diǎn)P的軌跡為以N為端點(diǎn)沿x軸向右的一條射線．]知識(shí)點(diǎn)2　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸x軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系式c2＝a2＋b23．雙曲線中a，b，c的關(guān)系如何？與橢圓中a，b，c的關(guān)系有何不同？[提示]　雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a與b的大小關(guān)系不確定；而在橢圓中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c與b的大小關(guān)系不確定．4．如何確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型？[提示]　焦點(diǎn)F1，F2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型，若x2的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上，若y2的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在y軸上．2．(1)雙曲線－y2＝1的焦距為(　　)A．4　　  B．8　　　　C．　　　　D．2(2)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(－2，0)，F2(2，0)的距離之差的絕對(duì)值為2，則點(diǎn)P的軌跡方程為________．(1)B　(2)x2－＝1　[(1)a2＝15，b2＝1，c2＝a2＋b2＝16，∴c＝4，2c＝8．(2)因?yàn)?/span>|F1F2|＝4＝2c，所以c＝2．又2a＝2，a＝1，故b2＝c2－a2＝3，所以點(diǎn)P的軌跡方程為x2－＝1．] 類(lèi)型1　雙曲線定義的應(yīng)用【例1】　已知F1，F2分別是雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)，若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF1|·|PF2|＝32．試求△F1PF2的面積．[解]　由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5．由雙曲線定義及P是雙曲線左支上的點(diǎn)得|PF1|－|PF2|＝－6，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，又∵|PF1|·|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝100，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S＝|PF1|·|PF2|＝16．1．(變換條件)若本例中的標(biāo)準(zhǔn)方程不變，點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn)，且·＝0，求△PF1F2的面積．[解]　因?yàn)?/span>·＝0，所以⊥，不妨設(shè)點(diǎn)P在右支上，所以有解得||·||＝32，所以S＝||·||＝16．2．(變換條件)若把本例條件“|PF1|·|PF2|＝32”換成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他條件不變，試求△F1PF2的面積．[解]　由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5，由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，可設(shè)|PF1|＝2k，|PF2|＝5k．由|PF2|－|PF1|＝6可得k＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝10，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝，∴sin∠F1PF2＝，S＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×4×10×＝8．求雙曲線中的焦點(diǎn)三角形面積的方法(1)利用公式S＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求面積．(2)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，利用公式S＝|F1F2|·|yP|(yP表示點(diǎn)P的縱坐標(biāo))．當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，利用公式S＝|F1F2|·|xP|(xP表示點(diǎn)P的橫坐標(biāo))．重要結(jié)論：若∠F1PF2＝θ，則S＝＝．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖，已知雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，點(diǎn)A，B均在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2，|AB|＝m，F1為雙曲線的左焦點(diǎn)，則△ABF1的周長(zhǎng)為________．4a＋2m　[由雙曲線的定義，知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a．又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△ABF1的周長(zhǎng)為|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m．] 類(lèi)型2　求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】　(對(duì)接教材人教B版P139例1)求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)一個(gè)焦點(diǎn)是(0，－6)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－5，6)；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1和P2(，4)兩點(diǎn)．[解]　(1)由已知c＝6，且焦點(diǎn)在y軸上，另一個(gè)焦點(diǎn)為(0，6)，由雙曲線定義2a＝|－|＝8，∴a＝4，b2＝c2－a2＝20．所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1．(2)法一：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)．∵P1，P2在雙曲線上，∴解得(不合題意舍去)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)．將P1，P2的坐標(biāo)代入上式得解得即a2＝9，b2＝16．∴所求雙曲線方程為－＝1．法二：∵雙曲線的位置不確定，∴設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，∴解得∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1．1．求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)2．待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的4個(gè)步驟(1)定位置：根據(jù)條件確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，還是有兩種可能．(2)設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置，設(shè)其方程為－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)，焦點(diǎn)位置不定時(shí)，亦可設(shè)為mx2＋ny2＝1(mn＜0)．(3)尋關(guān)系：根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，c(m，n)的方程組．(4)得方程：解方程組，將a，b(m，n)代入所設(shè)方程即可得(求)標(biāo)準(zhǔn)方程．提醒：求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一定要先區(qū)別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，選取合適的形式．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．根據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)a＝2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－5)，焦點(diǎn)在y軸上；(2)與橢圓＋＝1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(3，)．[解]　(1)∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，∴可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)，∵由題設(shè)知，a＝2，且點(diǎn)A(2，－5)在雙曲線上，∴解得a2＝20，b2＝16，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1．(2)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，(－2，0)．依題意，則所求雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，可以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則a2＋b2＝20．又∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(3，)，∴－＝1．∴a2＝20－2，b2＝2．∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1． 類(lèi)型3　與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題【例3】　在周長(zhǎng)為48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線方程．[解]　因?yàn)?/span>△MPN的周長(zhǎng)為48，且tan∠PMN＝，故設(shè)|PN|＝3k，|PM|＝4k．則|MN|＝5k，由3k＋4k＋5k＝48得k＝4．所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20．以MN所在的直線為x軸，以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)所求雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，∴a＝2，a2＝4，由|MN|＝20得2c＝20，c＝10，所以b2＝c2－a2＝96．故所求雙曲線方程為－＝1．求解與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，常見(jiàn)的方法有2種：?1?列出等量關(guān)系，化簡(jiǎn)得到方程；?2?尋找?guī)缀侮P(guān)系，雙曲線的定義，得出對(duì)應(yīng)的方程.,求解雙曲線的軌跡問(wèn)題時(shí)要特別注意：?1?雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；?2?檢驗(yàn)所求的軌跡對(duì)應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支；?3?求出方程后要注意滿足方程的解的坐標(biāo)的點(diǎn)，是否都在所求曲線上.[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖所示，已知定圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圓F2：(x－5)2＋y2＝42，動(dòng)圓M與定圓F1，F2都外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．[解]　圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，圓心F1(－5，0)，半徑r1＝1；圓F2：(x－5)2＋y2＝42，圓心F2(5，0)，半徑r2＝4．設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，則有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|．∴點(diǎn)M的軌跡是以F1，F2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝．∴動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為－＝1．1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示雙曲線”的(　　)A．必要不充分條件　 B．充分不必要條件C．充要條件     D．既不充分也不必要條件A　[當(dāng)方程表示雙曲線時(shí)，一定有ab<0，反之，當(dāng)ab<0時(shí)，若c＝0，則方程不表示雙曲線．]2．若方程＋＝3表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則m的取值范圍是(　　)A．(1，2)   B．(2，＋∞)    C．(－∞，－2)   D．(－2，2)C　[由題意，方程可化為－＝3，∴解得m＜－2．]3．若點(diǎn)M在雙曲線－＝1上，雙曲線的焦點(diǎn)為F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，則|MF2|等于(　　)A．2　　 B．4       C．8　　　　D．12B　[雙曲線中a2＝16，a＝4，2a＝8，由雙曲線定義知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4．]4．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－，0)，F2(，0)，P是雙曲線上的一點(diǎn)且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．－y2＝1　[設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n(m＞0，n＞0)，在Rt△PF1F2中，m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，由雙曲線的定義知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16＝4a2，所以a2＝4，b2＝c2－a2＝1，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1．]回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題：1．雙曲線定義中距離的差為什么要加絕對(duì)值？[提示]　不加絕對(duì)值，圖像只為雙曲線的一支．設(shè)F1，F2表示雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|MF1|－|MF2|＝2a，則點(diǎn)M在右支上，若|MF2|－|MF1|＝2a，則點(diǎn)M在左支上．2．若點(diǎn)M在雙曲線上，一定有||MF1|－|MF2||＝2a嗎？[提示]　一定．若||MF1|－|MF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線，反之一定成立．3．雙曲線與橢圓中，a，b，c滿足的關(guān)系式相同嗎？[提示]　不相同．在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，a＞b不一定成立．在橢圓中a2＝b2＋c2，在雙曲線中c2＝a2＋b2．   

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.6.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 人教B版 (2019)

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