2.3.4　圓與圓的位置關系學 習 任 務核 心 素 養(yǎng)1．掌握圓與圓的位置關系及判定方法．(重點)2．了解兩圓相離、相交或相切時一些簡單的幾何性質的應用．(重點)3．掌握利用圓的對稱性靈活解決問題的方法．(難點)1．通過學習圓與圓的位置關系，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．2．借助圓與圓的位置關系的應用，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．魔術鋼圈有很多的版本，通常有三連環(huán)和四連環(huán)．三連環(huán)中，有一個環(huán)是有缺口的，而另外兩個環(huán)是密封的；而四連環(huán)的原理基本相同，唯一不同的是有兩個環(huán)本來就連在一起，其余是一個有缺口的環(huán)和一個密封的環(huán)．表演時的常用手法是敲擊法：一手拿一個環(huán)，右手拿的是有缺口的環(huán)．缺口環(huán)的口要在右手的尾指處．用右手的環(huán)敲擊左手的環(huán)．先裝作敲兩下，第三下時右手的環(huán)迅速向下敲，同時讓左手的環(huán)的上端穿過右手的環(huán)的缺口，穿進去后便連在一起．在魔術師美輪美奐的表演中，對于圈而言，有時分開，有時相連；如果把魔術圈看成圓，那么圖中兩個圓的位置關系能否用圓心間的距離和半徑來刻畫呢？知識點1　圓與圓的位置關系及判斷位置關系相離相交相切外離內含外切內切圖示交點個數(shù)00211判定方法幾何法d＞r1＋r20＜d＜|r1－r2||r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝r1＋r2d＝|r1－r2|代數(shù)法Δ＜0Δ＜0Δ＞0Δ＝0Δ＝0說明：d為兩圓的圓心距，r1，r2分別為兩圓半徑，Δ為聯(lián)立兩圓方程消去一個未知數(shù)后的一元二次方程的根的判別式．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切． (　　)(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交． (　　)(3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×[提示]　(1)錯誤，還可能是內切．(2)錯誤，還需要大于兩半徑之差的絕對值．(3)錯誤，在相交的情況下才是．知識點2　兩圓的公切線同時與兩個圓相切的直線稱為兩圓的公切線．當兩圓的位置關系不同時，公切線的條數(shù)也不同．具體情況如下表：位置關系外離外切相交內切內含切線圖示切線條數(shù)432102．圓C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圓C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的公切線有(　　)A．2條　　B．3條　　C．4條　　D．1條B　[∵圓C1的圓心為C1(－2，2)，半徑r1＝1，圓C2的圓心為C2(2，5)，半徑r2＝4，∴圓心距|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝5，故兩圓外切，公切線的條數(shù)為3．] 類型1　圓與圓位置關系的判定【例1】　已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0．(1)當m為何值時，圓C1與圓C2外切？(2)當圓C1與圓C2內含時，求m的取值范圍．[解]　對于圓C1與圓C2的方程，經配方后，有C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4．∴兩圓的圓心C1(m，－2)，C2(－1，m)，半徑r1＝3，r2＝2，且|C1C2|＝．(1)若圓C1與圓C2外切，則|C1C2|＝r1＋r2，即＝5．解得m＝－5或m＝2．(2)若圓C1與圓C2內含，則0＜|C1C2|＜|r2－r1|＝1，即＜1．解得－2＜m＜－1．1．判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數(shù)的取值范圍問題有以下幾個步驟：(1)化成圓的標準方程，寫出圓心和半徑；(2)計算兩圓圓心的距離d；(3)通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數(shù)的范圍，必要時可借助于圖形，數(shù)形結合．2．應用幾何法判定兩圓的位置關系或求字母參數(shù)的范圍是非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關系．[跟進訓練]1．當實數(shù)k為何值時，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切？[解]　將兩圓的一般方程化為標準方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．圓C1的圓心為C1(－2，3)，半徑r1＝1；圓C2的圓心為C2(1，7)，半徑r2＝(k＜50)．從而|C1C2|＝＝5．當1＋＝5，k＝34時，兩圓外切．當|－1|＝5，＝6，k＝14時，兩圓內切．當|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34時，兩圓相交． 類型2　兩圓相交的有關問題【例2】　(對接教材人教B版P114例2)已知圓C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圓C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B兩點，求弦AB的長．[解]　法一：兩圓方程相減得4x＋3y－10＝0，此即為兩圓相交弦所在直線AB的方程．由解得或∴A，B的坐標分別為(－2，6)，(4，－2)．∴|AB|＝＝10．即弦AB的長為10．法二：由解法一得直線AB的方程為4x＋3y－10＝0．圓心C1(5，5)到直線AB的距離為d＝＝5，而圓C1的半徑為r＝5．由圓的性質可知|AB|＝2＝2＝10．即弦AB的長為10．1．求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程，但必須注意只有當兩圓方程中二次項系數(shù)相同時，才能如此求解，否則應先調整系數(shù)．2．求兩圓公共弦長的方法：一是聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解．3．已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點的圓的方程可設為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．[跟進訓練]2．(1)圓O1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圓O2：x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點，則線段AB的垂直平分線的方程是______________．(2)經過兩圓x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程為____________．(1)3x－y－9＝0　(2)x2＋y2－x＋7y－32＝0　[(1)兩圓的方程相減得AB的方程為x＋3y＝0，圓O1的圓心為(2，－3)，所以線段AB的垂直平分線的方程為y＋3＝3(x－2)，即3x－y－9＝0．(2)解方程組得兩圓的交點A(－1，3)，B(－6，－2)．設所求圓的圓心為(a，b)，因圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4．則有＝，解得a＝，故圓心為，半徑為＝．故圓的方程為＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0．] 類型3　圓與圓的相切問題【例3】　求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋y＝0相切于點M(3，－)的圓的方程．1．圓與圓相切有哪幾種情況？[提示]　 兩圓相切指的是內切和外切兩種情況．2．兩圓相切可用什么方法求解？[提示]　(1)幾何法．利用圓心距d與兩半徑R，r之間的關系求得，d＝R＋r為外切，d＝|R－r|為內切．(2)代數(shù)法．將兩圓聯(lián)立消去x或y得到關于y或x的一元二次方程，利用Δ＝0求解．[解]　設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，則＝r＋1． ①又所求圓過點M的切線為直線x＋y＝0，故＝， ②＝r． ③解由①②③組成的方程組得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6．故所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36．1．將本例變?yōu)?/span>“求與圓x2＋y2－2x＝0外切，圓心在x軸上，且過點(3，－)的圓的方程”，如何求？[解]　因為圓心在x軸上，所以可設圓心坐標為 (a，0)，半徑為r，則所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2(r＞0)，又因為與圓x2＋y2－2x＝0外切，且過點(3，－)，所以解得所以圓的方程為(x－4)2＋y2＝4．2．將本例改為“若圓x2＋y2－2x＝0與圓x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切，試求實數(shù)m的值．”[解]　圓x2＋y2－2x＝0的圓心為A(1，0)，半徑為r1＝1，圓x2＋y2－8x－8y＋m＝0的圓心為B(4，4)，半徑為r2＝．因為兩圓相外切，所以＝1＋，解得m＝16．處理兩圓相切問題的2個步驟(1)定性，即必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴相切，則必須分兩圓內切、外切兩種情況討論．(2)轉化思想，即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時)或兩圓半徑之和(外切時)．[跟進訓練]3．已知圓M：(x－a)2＋y2＝4(a＞0)與圓N：x2＋(y－1)2＝1外切，則直線x－y－＝0被圓M截得的線段的長度為(　　)A．1　　　B．　　　　C．2　　　　D．2D　[由題意，知＝2＋1，a＞0，∴a＝2，圓心M(2，0)到直線x－y－＝0的距離d＝＝1，∴直線x－y－＝0被圓M截得的線段的長度為2＝2，故選D．]1．兩圓x2＋(y－2)2＝1和(x＋2)2＋(y＋1)2＝16的公切線條數(shù)是(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4B　[兩圓圓心分別為(0，2)和(－2，－1)，半徑分別為1和4，圓心距d＝＝，|r1－r2|＜d＜|r1＋r2|，兩圓相交．故兩圓有2條公切線，選B．]2．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋n＝0內切，則n＝(　　)A．21　　B．9　　C．19　　D．－11D　[C2化為標準方程(x－3)2＋(y－4)2＝25－n，其圓心為(3，4)，半徑r＝，C1圓心為(0，0)，半徑為1．若兩圓內切，則有＝|－1|，解得n＝－11．]3．已知兩圓的圓心距為6，兩圓的半徑分別是方程x2－6x＋8＝0的兩個根，則兩圓的位置關系為(　　)A．外離　　B．外切　　C．相交　　D．內切B　[由題意知r1＋r2＝6(兩圓圓心距)，∴兩圓外切．]4．圓x2＋y2＝8與圓x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦長為________．4　[兩圓方程作差得x＝2，當x＝2時，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，即兩圓的交點坐標為A(2，2)，B(2，－2)，則|AB|＝2－(－2)＝4．]5．已知兩圓相交于點A(1，3)，B(m，－1)，兩圓的圓心均在直線x－y＋c＝0上，則m＋c的值為________．3　[分析題意，可知AB的中點在直線x－y＋c＝0上，∴－1＋c＝0，∴m＋2c＝1．又直線AB與直線x－y＋c＝0垂直，∴－1＝，∴m＝5，∴c＝－2，∴m＋c＝3．]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：1．如何用幾何法判斷圓與圓的位置關系？[提示]　(1)將兩圓的方程化為標準方程．(2)求兩圓的圓心坐標和半徑r1，r2．(3)求兩圓的圓心距d．(4)比較d與|r1－r2|，r1＋r2的大小關系，從而判斷兩圓的位置關系．2．如何求兩圓的公共弦長？[提示]　(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．   

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高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.3.4 圓與圓的位置關系

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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