高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)2.3.3 直線與圓的位置關(guān)系精品課件ppt-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

2.3.3　直線與圓的位置關(guān)系學(xué) 習(xí) 任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解直線與圓的三種位置關(guān)系．(重點(diǎn))2．會(huì)用代數(shù)法和幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系．(重點(diǎn))3．能解決直線與圓位置關(guān)系的綜合問(wèn)題．(難點(diǎn))1．通過(guò)直線與圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．通過(guò)解決直線與圓位置關(guān)系的綜合問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．早晨的日出非常美麗，如果我們把海平面看成一條直線，而把太陽(yáng)抽象成一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的圓，觀察太陽(yáng)緩緩升起的這樣一個(gè)過(guò)程．你能想象到什么幾何知識(shí)呢？沒(méi)錯(cuò)，日出升起的過(guò)程可以體現(xiàn)直線與圓的三種特殊位置關(guān)系．你發(fā)現(xiàn)了嗎？知識(shí)點(diǎn)1　直線與圓的位置關(guān)系的判定(直線Ax＋By＋C＝0，AB≠0，圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0)位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0圖形(1)利用代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，不必求出方程組的實(shí)數(shù)解，只需將直線方程代入到圓的方程中，并消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的一元二次方程，由Δ與0的大小關(guān)系判斷方程解的個(gè)數(shù)，進(jìn)一步判斷兩者的位置關(guān)系．(2)利用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，必須準(zhǔn)確計(jì)算出圓心坐標(biāo)、圓的半徑長(zhǎng)及圓心到直線的距離．(3)對(duì)于具體用哪種方法判斷直線與圓的位置關(guān)系，應(yīng)由條件而定，代數(shù)法是從方程角度考慮，但較煩瑣；幾何法是從幾何角度考慮，方法簡(jiǎn)單，也是判斷直線與圓的位置關(guān)系的常用方法．1．(1)直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是(　　)A．相交　　　B．相切　　　C．相離　　D．無(wú)法判斷(2)直線x＋y＝1與圓x2＋y2－2ay＝0(a＞0)沒(méi)有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．(1)B　(2)(0，－1)　[(1)圓心(0，0)到直線3x＋4y－5＝0的距離d＝＝1，又圓x2＋y2＝1的半徑為1，∴d＝r，故直線與圓相切．(2)由題意得圓心(0，a)到直線x＋y－1＝0的距離大于半徑a，即＞a，解得－－1＜a＜－1，又a＞0，∴0＜a＜－1．]知識(shí)點(diǎn)2　直線與圓相切的幾個(gè)重要結(jié)論1．自一點(diǎn)引圓的切線的條數(shù)(1)若點(diǎn)在圓外，則過(guò)此點(diǎn)可以作圓的兩條切線；(2)若點(diǎn)在圓上，則過(guò)此點(diǎn)只能作圓的一條切線，且此點(diǎn)是切點(diǎn)；(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)，則過(guò)此點(diǎn)不能作圓的切線．2．切線方程的幾個(gè)重要結(jié)論(1)經(jīng)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2．(2)經(jīng)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．(3)經(jīng)過(guò)圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0．(4)已知圓x2＋y2＝r2的切線的斜率為k，則圓的切線方程為y＝kx±r．3．切線長(zhǎng)公式(1)從圓外一點(diǎn)P(x0，y0)引圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切線，則點(diǎn)P到切點(diǎn)的切線長(zhǎng)d＝．(2)從圓外一點(diǎn)P(x0，y0)引圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切線，則點(diǎn)P到切點(diǎn)的切線長(zhǎng)d＝．2．(1)已知圓的方程為x2＋y2＝1，則經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M(1，0)的切線方程是(　　)A．x＝1 B．y＝1C．x＋y＝1 D．x－y＝1(2)從圓(x－1)2＋(y－1)2＝1外一點(diǎn)P(2，3)向圓引切線，則切線長(zhǎng)為________．(1)A　(2)2　[(1)法一：由圓的方程為x2＋y2＝1，可知圓心的坐標(biāo)為(0，0)，圓的半徑r＝1，故經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M(1，0)的切線方程是x＝1．法二：直接應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)2中切線方程的第(1)個(gè)結(jié)論得，所求切線方程為1·x＋0·y＝12，即x＝1．(2)法一：點(diǎn)P(2，3)到圓心(1，1)的距離為＝，則切線長(zhǎng)為＝2．法二：利用切線長(zhǎng)公式，易得切線長(zhǎng)為＝2．] 類型1　直線與圓位置關(guān)系的判定【例1】　(對(duì)接教材人教B版P107例1)已知直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝2，當(dāng)b為何值時(shí)，圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)？只有一個(gè)公共點(diǎn)？沒(méi)有公共點(diǎn)？[解]　法一：由得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③方程③的根的判別式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)．(1)當(dāng)－2＜b＜2時(shí)，Δ＞0，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．(2)當(dāng)b＝2或b＝－2時(shí)，Δ＝0，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．(3)當(dāng)b＜－2或b＞2時(shí)，Δ＜0，方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)．法二：圓的半徑r＝，圓心O(0，0)到直線y＝x＋b的距離為d＝．當(dāng)d＜r，即－2＜b＜2時(shí)，圓與直線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2時(shí)，圓與直線相切，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)d＞r，|b|＞2，即b＜－2或b＞2時(shí)，圓與直線相離，圓與直線無(wú)公共點(diǎn)．直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知圓的方程x2＋(y－1)2＝2，直線y＝x－b，當(dāng)b為何值時(shí)，圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)？只有一個(gè)公共點(diǎn)？無(wú)公共點(diǎn)？[解]　法一：由得2x2－2(1＋b)x＋b2＋2b－1＝0，①其判別式Δ＝4(1＋b)2－8(b2＋2b－1)＝－4(b＋3)(b－1)，當(dāng)－3＜b＜1時(shí)，Δ＞0，方程①有兩個(gè)不等實(shí)根，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)b＝－3或1時(shí)，Δ＝0，方程①有兩個(gè)相等實(shí)根，直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)b＜－3或b＞1時(shí)，Δ＜0，方程①無(wú)實(shí)數(shù)根，直線與圓無(wú)公共點(diǎn)．法二：圓心(0，1)到直線y＝x－b距離d＝，圓半徑r＝．當(dāng)d＜r，即－3＜b＜1時(shí)，直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)d＝r，即b＝－3或1時(shí)，直線與圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)d＞r，即b＜－3或b＞1時(shí)，直線與圓相離，無(wú)公共點(diǎn)．類型2　求圓的切線方程【例2】　過(guò)點(diǎn)A(4，－3)作圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求此切線的方程．[解]　因?yàn)?/span>(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以點(diǎn)A在圓外．(1)若所求切線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y＋3＝k(x－4)．因?yàn)閳A心C(3，1)到切線的距離等于半徑，半徑為1，所以＝1，即|k＋4|＝，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－．所以切線方程為y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0．(2)若直線斜率不存在，圓心C(3，1)到直線x＝4的距離也為1，這時(shí)直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x＝4．綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4．過(guò)一點(diǎn)求圓的切線方程的方法(1)點(diǎn)在圓上時(shí)求過(guò)圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－，由點(diǎn)斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程x＝x0或y＝y0．(2)點(diǎn)在圓外時(shí)①幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)．由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程．②代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切線方程．提醒：注意切線的斜率不存在的情況，不要漏解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．過(guò)原點(diǎn)的直線與圓x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切點(diǎn)在第三象限，求該直線的方程．[解]　圓x2＋y2＋4x＋3＝0化為標(biāo)準(zhǔn)式(x＋2)2＋y2＝1，圓心C(－2，0)，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為y＝kx，即kx－y＝0．∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑，即＝1，∴3k2＝1，k2＝，解得k＝±．∵切點(diǎn)在第三象限，∴k＞0，∴所求直線方程為y＝x．類型3　直線截圓所得弦長(zhǎng)問(wèn)題【例3】　直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，5)并且與圓C：x2＋y2＝25相交截得的弦長(zhǎng)為4，求l的方程．1．已知直線l與圓相交，如何利用通過(guò)求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法求弦長(zhǎng)？[提示]　將直線方程與圓的方程聯(lián)立解出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用|AB|＝求弦長(zhǎng)．2．若直線與圓相交、圓的半徑為r、圓心到直線的距離為d，如何求弦長(zhǎng)？[提示]　通過(guò)半弦長(zhǎng)、弦心距、半徑構(gòu)成的直角三角形，如圖所示，求得弦長(zhǎng)|AB|＝2．[解]　據(jù)題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y－5＝k(x－5)，與圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．法一：聯(lián)立方程得消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0．由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，解得k＞0．又x1＋x2＝－，x1x2＝，由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．∴|AB|＝＝＝＝＝4．兩邊平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2，符合題意．故直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．法二：如圖所示，|OH|是圓心到直線l的距離，|OA|是圓的半徑，|AH|是弦長(zhǎng)|AB|的一半．在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝|AB|＝×4＝2，則|OH|＝＝．∴＝，解得k＝或k＝2．∴直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．(變條件)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－1)且被圓C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦長(zhǎng)最短，求此時(shí)直線l的方程．[解]　圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝25，圓心C(3，1)．因?yàn)?/span>|CP|＝＝＜5，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)．當(dāng)CP⊥l時(shí)，弦長(zhǎng)最短．又kCP＝＝2．所以kl＝－，所以直線l的方程為y＋1＝－(x－2)，即x＋2y＝0．直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的2種求法(1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為|AB|，則有＋d2＝r2，則|AB|＝2．圖1　　　　　　　　圖2(2)代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直線l的斜率k存在且不為0)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．直線x＋y－2＝0，截圓x2＋y2＝4所得的弦長(zhǎng)是________．2　[圓心到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝．所以弦長(zhǎng)l＝2＝2＝2．]1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是(　　)A．相切　　　　　　 B．相交但直線不過(guò)圓心C．直線過(guò)圓心 D．相離B　[圓心到直線的距離d＝＝＜1．又∵直線y＝x＋1不過(guò)圓心(0，0)，∴直線與圓相交但不過(guò)圓心．]2．設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)P(－2，0)，且與圓x2＋y2＝1相切，則l的斜率是(　　)A．±1　　　B．±　　C．±　　　D．±C　[設(shè)l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0．又l與圓相切，∴＝1．∴k＝±．]3．若圓C：(x－5)2＋(y＋1)2＝m(m＞0)上有且只有一點(diǎn)到直線4x＋3y－2＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)A．4　　　　B．16　　C．4或16　　D．2或4A　[由題意知直線與圓相離，則有－＝1，解得m＝4，故選A．]4．直線x＋2y－5＋＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長(zhǎng)為________．4　[圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5，圓心(1，2)到直線x＋2y－5＋＝0的距離d＝＝1，所以弦長(zhǎng)為2＝4．]5．若直線x＋y－m＝0與圓x2＋y2＝2相離，則m的取值范圍是________．(－∞，－2)∪(2，＋∞)　[因?yàn)橹本€x＋y－m＝0與圓x2＋y2＝2相離，所以＞，解得m＜－2或m＞2．]回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題：1．如何正確選擇判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法？[提示]　(1)若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；(2)若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)式較繁瑣，則用代數(shù)法．(3)已知直線與圓相交求有關(guān)參數(shù)值時(shí)，根據(jù)弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑的關(guān)系或者這三條線段形成的三角形的性質(zhì)求解，而弦心距可利用點(diǎn)到直線的距離公式列式，進(jìn)而求解即可．2．利用代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)需要注意什么問(wèn)題？[提示]　(1)代入消元過(guò)程中消x還是消y取決于直線方程的特點(diǎn)，盡量減少分類討論，如若直線方程為x－ay＋1＝0，則應(yīng)將其化為x＝ay－1，然后代入消x．(2)利用判別式判斷方程是否有根時(shí)，應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，若二次項(xiàng)系數(shù)為零，則判別式無(wú)意義．

相關(guān)課件

相關(guān)課件更多

相關(guān)課件

相關(guān)課件 更多

相關(guān)課件更多