第14講 數(shù)學(xué)基本方法之等積法在解決幾何問題時(shí)，通?？刹捎玫确e法來解決一些問題，即同一個(gè)圖形采用不同的面積表示方法來建立等式.等積法也常在證明某些定理時(shí)被用到.【例題講解】例題1   已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，AD⊥BC，求AD的長(zhǎng)為             ．答案： AD＝2.4.例題2、如圖，E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線上一點(diǎn)，且BE＝BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BE于點(diǎn)R，則PQ＋PR的值為         .答案：.【解析】連接BP，易知＝＋，所以·BE·CM＝·BE·PR＋·BC·PQ，由BC＝BE，等號(hào)兩邊同時(shí)約掉，剩下CM＝PR＋PQ，所以CM＝BC＝.連接BP，過C作CM⊥BD，∵＝＋＝BC×PQ×＋BE×PR×＝BC×（PQ＋PR）×＝BE×CM×，BC＝BE，∴PQ＋PR＝CM，∵BE＝BC＝1，且正方形對(duì)角線BD＝BC＝，又∵BC＝CD，CM＝BD，∴M為BD中點(diǎn)，又△BDC為直角三角形，∴CM＝＝，即PQ＋PR值是．【對(duì)于填空選擇題，可用特殊值法！】例題3  如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)（可與B點(diǎn)或C點(diǎn)重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是、、，則B＋C＋D的最大值為　            　，最小值為　              　．答案：2，.【解析】連接AC、DP，＝1×1×1，由勾股定理得：AC＝＝，∵AB＝1，∴1≤AP≤，＝＝AP×C，1＝＝＋＋＝AP（B＋C＋D），B＋C＋D＝，∵1≤AP≤，≤B＋C＋D≤2，【鞏固練習(xí)】1、如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AB＝2，則點(diǎn)P到△ABC三邊的距離之和為          .       2、如圖，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE⊥BD，PE⊥AC，E、F分別是垂足，則PE＋PF的長(zhǎng)為         . 3、如圖，D是Rt△ABC斜邊AB上一點(diǎn)，且BD＝BC＝AC＝1，P為CD上任意一點(diǎn)，PF⊥BC于點(diǎn)F，PE⊥AB于點(diǎn)E，則PE＋PF的值是          . 4.如圖，已知直線y＝2x－2上有一動(dòng)點(diǎn)Q，點(diǎn)P坐標(biāo)為（－1，0），則PQ的最小值為          .【請(qǐng)用等積法】                                                                                                                                      5.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是斜邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB＝6，BC＝3.，則PE＋PF＝          .6.將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2＋b2＝c2.7．如圖，在△ABC中，∠ A＝90°，D是AC上的一點(diǎn)，BD＝DC，P是BC上的任一點(diǎn)，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F為垂足．求證：PE＋PF＝AB．8．如圖，平行四邊形ABCD中，AB: BC＝3:2，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE: EB＝1:2，F是BC的中點(diǎn)，過D分別作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，求證： 9.在△ABC中，AB＝13，BC＝14．（1）如圖1，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD＝5，則△ABC的面積為　          　；（2）在（1）的條件下，如圖2，點(diǎn)H是線段AC上任意一點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，C作直線BH的垂線，垂足為E，F，設(shè)BH＝x，AE＝m，CF＝n，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示m＋n，并求m＋n的最大值和最小值．  10．【問題情境】張老師給愛好學(xué)習(xí)的小軍和小俊提出這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P為邊BC上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為．求證：PD＋PE＝CF． 小軍的證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD＋PE＝CF．小俊的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD＝GF，PE＝CG，則PD＋PE＝CF．         【變式探究】如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件不變，求證：PD－PE＝CF；請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：      【結(jié)論運(yùn)用】如圖4，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG＋PH的值；    【遷移拓展】圖5是一個(gè)航模的截面示意圖．在四邊形ABCD中，E為AB邊上的一點(diǎn)，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，且AD·CE＝DE·BC，AB＝dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分別為AE、BE的中點(diǎn)，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長(zhǎng)之和． 
參考答案1.答案：.2.答案：.3.答案：.【解析】如圖所示，過作于，是斜邊上一點(diǎn)，且，，，又，．4.答案：.【解析】如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QC＋QB，則∵y＝2x－2∴A（0，－2），B（1，0）∵△PQB∽△AOB∴＝∵AB＝＝，PB＝2，OB＝1∴＝∴BQ＝∴PQ＝＝＝＝. 5.答案：.如圖作BM⊥AC于M，連接PD．∵∠ABC＝90°，AD＝DC，AB＝6，BC＝3，∴BD＝AD＝DC，AC＝＝，∵·AB·BC＝·AC·BM，∴BM＝，∴＝＋，∴·AD·BM＝·AD·PF＝·BD·PE，∴PE＋PF＝BM＝． 6.答案：連接DB，過點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b－a．∵＝＋＝b2＋ab．又∵＝＋＝c2＋a（b－a）∴b2＋ab ＝c2＋a（b－a）∴a2＋b2＝c2. 請(qǐng)參照上述證法，利用圖2證明：a2＋b2＝c2．【解析】連結(jié)BD，過點(diǎn)B作DE邊上的高BF，可得BF＝b－a，∵＝＋＋＝ab ＋b2＋ab，又＝＋＋＝ab ＋c2＋a（b－a），∴ab ＋b2＋ab ＝ab ＋c2＋a（b－a），∴a2＋b2＝c2. 7.【解析】過P作PG⊥AB于G，交BD于O，∵PF⊥AC，∠A＝90°，∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°，∴四邊形AGPF是矩形，∴AG＝PF，PG∥AC，∵BD＝DC，∴∠C＝∠GPB＝∠DBP，∴OB＝OP，∵PG⊥AB，PE⊥BD，∴∠BGO＝∠PEO＝90°，在△BGO和△PEO中∴△BGO≌△PEO，∴PE＝BG，∵AB＝BG＋AG，∴PE＋PF＝AB． 8.【解析】連接DE、DF，∵根據(jù)三角形的面積和平行四邊形的面積得：，即AF×DF＝CE×DQ，∴AF×DP＝CE×DQ，∴. 9.【解析】（1）在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，∴AD＝＝＝12.∵BC＝14，∴＝BC·AD＝×14×12＝84.故答案為：84．（2）∵＝＋，∴BH·AE＋BH·CF＝84．∴xm＋xn＝168.∴m＋n＝∵AD＝12，DC＝14－5＝9，∴AC＝＝15，∵m＋n與x成反比，∴當(dāng)BH⊥AC時(shí)，m＋n有最大值．∴（m＋n）BH＝AC·BH．∴m＋n＝AC＝15.∵m＋n與x成反比，∴當(dāng)BH值最大時(shí)，m＋n有最小值．∴當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)C重合時(shí)m＋n有最小值．∴m＋n＝，∴m＋n等于12.∴m＋n的最大值為15，最小值為12．  10.【解析】【問題情境】證明：（小軍的方法）連接AP，如圖②∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且＝＋，∴AB·CF＝AB·PD＋AC·PE.∵AB＝AC，∴CF ＝PD＋PE．（小俊的方法）過點(diǎn)P作PG⊥CF，垂足為G，如圖②．∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，∴∠CFD＝∠FDP＝∠FGP＝90°∴四邊形PDFG是矩形．∴DP＝FG，∠DPG＝90°.∴∠CGP＝90°∵PE⊥AC，∴∠CEP＝90°，∴∠PGC＝∠CEP.∵∠BDP＝∠DPG＝90°，∴PG∥AB.∴∠GPC＝∠B.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠GPC＝∠ECP.在△PGC和△CEP中，∴△PGC≌△CEP.∴CG＝PE.CF＝CG＋FG     ＝PE＋PD【變式探究】證明：連接AP，如圖③．∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF＝AB，且＝－，∴AB·CF＝AB·PD－AC·PE.∵AB＝AC，∴CF＝PD－PE.【結(jié)論運(yùn)用】過點(diǎn)E作EQ⊥BC，垂足為Q，如圖④，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°.∵AD＝8，CF＝3，∴BF＝BC－CF＝AD－CF＝5.由折疊可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．∴DF＝5.∵∠C＝90°，∴DC＝  ＝  ＝4.∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC.∴四邊形EQCD是矩形.∴EQ＝DC＝4.∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB.∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB.∴BE＝BF.由問題情境中的結(jié)論可得：PG＋PH＝EQ．∴PG＋PH＝4.∴PG＋PH的值為4.【遷移拓展】延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F，作BH⊥AF，垂足為H，如圖⑤．∵AD·CE＝DE·BC，∴＝.∵ED⊥AD，EC⊥CB，∴∠ADE＝∠BCE＝90°.∴△ADE∽△BCE.∴∠A＝∠CBE.∴FA＝FB.由問題情境中的結(jié)論可得：ED＋EC＝BH．設(shè)DH＝xdm，則AH＝AD＋DH＝（3＋x）dm．∵BH⊥AF，∴∠BHA＝90°.∴BH2＝BD2－DH2＝AB2－AH2.∵AB＝，AD＝3，BD＝，∴（）2－x2＝（）2－（3＋x）2.解得：x＝1．∴BH2＝BD2－DH2＝37－1＝36.∴BH＝6dm.∴ED＋EC＝6.∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M、N分別為AE、BE的中點(diǎn)，∴DM＝AM＝EM＝AE，CN＝BN＝EN＝BE.∴△DEM與△CEN的周長(zhǎng)之和    ＝DE＋DM＋EM＋CN＋EN＋EC＝DE＋AE＋BE＋EC＝DE＋AB＋EC＝DE＋EC＋AB＝6＋∴△DEM與△CEN的周長(zhǎng)之和為（6＋）dm.  

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