?第13講 反比例與面積
模型講解






【例題講解】
例題1、如圖，直線x=k（k>0）與反比例函數(shù)y=和y=-一的圖像分別交于A、B兩點，若點P是y軸上任意一點，連接PA、PB，則△PAB的面積是 .

答案：

例題2、如圖，經(jīng)過原點的兩條直線l1、l2，分別與雙曲線y=（k≠0）相交于A、B、P、Q四點，其中A、P兩點在第一象限，設(shè)A點坐標為（3，1）.
（1）求k值及B點坐標；
（2）若P點坐標為（a，3），求a值及四邊形APBQ的面積.

答案：(1)把A(3,1)代入y=得k=3×1=3，∵經(jīng)過原點的直線l1與雙曲線y=(k≠0)相交于A、B.∴點A與點B關(guān)于原點對稱，∴B點坐標為(?3,?1)；
(2)把P(a,3)代入y=得3a=3，解得a=1，∵P點坐標為(1,3)，∵經(jīng)過原點的直線l2與雙曲線y= (k≠0)相交于P、Q點，∴點P與點Q關(guān)于原點對稱，∴點Q的坐標為(?1,?3)，∵OA=OB，OP=OQ，∴四邊形APBQ為平行四邊形，∵AB2=(3+3)2+(1+1)2=40,PQ2=(1+1)2+(3+3)2=40，∴AB=PQ，∴四邊形APBQ為矩形，∵PB2=(1+3)2+(3+1)2=32,PQ2=(3?1)2+(1?3)2=8，∴PB=,PQ=，∴四邊形APBQ的面積=PA?PB=×=16.
例題3、如圖，在△OAB中，C是AB的中點，反比例函數(shù)y=（k>0）在第一象限的圖象經(jīng)過A、C兩點，若△OAB的面積為6，求k的值.（代數(shù)法與幾何法均嘗試用一下）

答案：分別過點A、點C作OB的垂線，垂足分別為點M、點N，如圖，∵點C為AB的中點，∴CN為△AMB的中位線，∴MN=NB=a，CN=b，AM=2b，∵OM?AM=ON?CN，∴OM?2b=(OM+a)?b∴OM=a，∴S△AOB=3a?2b÷2=3ab=6，∴ab=2，∴k=a?2b=2ab=4，故答案為：4.

例題4、如圖，在以O(shè)為原點的直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=（x>0）與AB相交于點D，與BC相交于點E，若BD=3AD，且△ODE的面積是9，則k= 。

答案:


例題5、如圖，四邊形ABCD的頂點都在坐標軸上，若AB//CD，△ABD與△ACD的面積分別為20和30，若雙曲線y=恰好經(jīng)過BC的中點E，則k的值為 。

答案:6
例題6、如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸，y軸交于A、B兩點，與反比例函數(shù)y=的圖象相交于C、D兩點，分別過C、D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E、F，連接CF、DE.有下列四個結(jié)論：①S△CEF=S△DEF；②△AOB相似于△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD.其中正確的結(jié)論是 .（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）

答案：①②④
【鞏固練習】
1、已知A是反比例函數(shù)y=的圖象上的一點，AB⊥x軸于點B，且△ABC的面積是3，則k的值是 .


2、如圖，點A、B是雙曲線y=上的點，分別經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，若S陰影=1，則S1+S2= .


3、如圖，菱形OABC的頂點O是原點，頂點B在y軸上，菱形的兩條對角線的長分別是6和4，反比例函數(shù)y=（k0），y2=（x>0），點P為函數(shù)，y2=的圖像上的一點，且PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，PA、PB分別交函數(shù)y1=的圖像于D、C兩點，則△PCD的面積為 。


6、如圖，反比例函數(shù)y=（x>0）的圖像經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M，分別于AB、BC交于點D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為 。


7、如圖，已知△ABO的頂點A和AB邊的中點C都在雙曲線y=（x>0）的一個分支上，點B在x軸上，CD⊥OB于D，若△AOC的面積為3，則k的值為 。


8、如圖，A是反比例函數(shù)y=圖像上一點，C是線段OA上一點，且OC：OA=1：3，作CD⊥x軸，垂足為點D，延長DC交反比例函數(shù)圖像于點B，S△ABC=8，則k的值為 。


9、如圖，點A、B在反比例函數(shù)y=的圖象上，過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為M、N，延長線段AB交x軸于點C，若OM=MN=NC，且△AOC的面積為9，則k的值為 。


10、如圖，已知四邊形ABCO的底邊AO在x軸上，BC//AO，AB⊥AO，過點C的雙曲線y=交OB于D，且OD:DB=1：2，若△OBC的面積等于3，則k的值 .


11、如圖，兩個反比例函數(shù)y=和y=-的圖象分別是l1和l2，設(shè)點P在l1上，PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點B，則三角形PAB的面積為 .

12、如圖，已知反比例函數(shù)y1=與y2=（k10），過y2圖象上任意一點B分別作x軸、y軸的平行線交坐標軸于D、P兩點，交y1的圖象于A、C，直線AC交坐標軸于點M、N，則S△OMN= .（用含k1、k2的代數(shù)式表示）

13、如圖，在x軸正半軸上依次截取OA1=A1A2=A2A3=...=An-1An（n為正整數(shù)），過點A1、A2、A3、…、An分別作x軸的垂線，與反比例函數(shù)y=（x>0）交于點P1、P2、P3、…、Pn，連接P1P2、P2P3、…、Pn-1Pn，過點P2、P3、…、Pn分別向P1A1、P2A2、…、Pn-1An-1作垂線段，構(gòu)成的一系列直角三角形（見圖中陰影部分）的面積和是 （用含n的代數(shù)式表示）

14、如圖，四邊形ABCD的頂點都在坐標軸上，若AD∥BC，△ACD與△BCD的面積分別為10和20，若雙曲線y=恰好經(jīng)過邊AB的四等分點E（BE0）的圖像與一次函數(shù)y=x的圖像交于A、B兩點（點A在第一象限）.
（1）當點A的橫坐標為4時。
①求k的值；
②根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，直接寫出當一4

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