第14講 四邊形與面積模擬講解【例題講解】例題1、如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AD、AB上，依次連接EB、EC、FC、FD，圖中陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，則S4的值是（    ）A.4   B.5   C.6  D.7【解析】可知S△BEC=S△DFC=S平行四邊形ABCD∴S△AFD+S△BFC=S平行四邊形=S△EBC∴S3+S4+①+S1+②=①+S2+②∴S4=S2-S1-S3=12-2-3=7  故選D【鞏固練習(xí)】1、已知△ABC，面積為12，點D在邊BC上，滿足CD:BD=1：2，點E為AC的中點，連接BE、AD相交于點P，設(shè)△APE的面積為S1，△BPD的面積為S?，求S2-S1=          .2、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4等于（）A.60  B.90  C.144   D.169       例題2、如圖，在面積為24的平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點，點G、H在DC邊上，連接FH、EG，且GH=DC.則圖中陰影部分面積為         .【解析】如右圖，連接EF、EH、GF，則四邊形EFCD為平行四邊形，且SEFCD=12由題意得，,設(shè)△HOG的底HG=a，高為h，則△OEF的底EF為2a，高為2h，平行四邊形DEFC的底EF為2a，高為3h，則2a·3h=12，即ah=2所以S△HOG=ah=1，S△OEF=·2a·2h=4，所以S陰影=SEFCD-S△HOG-S△EOF=12-1-4=7 例題3、如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E是AB的中點，F是BC的中點，AF與DE相交于G，BD和AF相交于H，那么四邊形BEGH的面積是             .【解析】∵BC//AD，∴△BFH∽△DAH，且相似比為1：2，S△ADH=×2×=，S△FBH=×2×=，易證△ABF≌△DAE，∴∠BAF=∠ADF，∠BAF+∠AEG=90°∴∠AEG=90°，∴△AEG∽△EDA∴，，解得AG=，EG=，∴S△AEG=，S四邊形BEGH=2--=【鞏固練習(xí)】1、如圖，邊長為1的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)45°，則這兩個正方形重疊部分的面積是               2、如圖，正方形ABCD的邊長為2，E、F分別是BC、CD的中點，連接BF、DE，則圖中陰影部分的面積為                  3、如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，點P、Q在DC邊上，且PQ=DC.若AB=16，BC=20，則圖中陰影部分的面積是            4、如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以斜邊BC上的點P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°成圖中的△DEF位置，當BP=3時，求旋轉(zhuǎn)前后兩個直角三角形重疊部分的面積是           5、如圖，E、F、G、H分別為正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點，且AE=BF=CG=DH=AB，則圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為                    例題4、如圖，以△ABC的兩條邊AB、AC為一邊向上作正方形ABED和正方形ACGF，連接FD。（1）求證：S△ABC=S△AFD.（2）過點A作AN⊥BC，反向延長NA交DF于點M，求證：DM=MF.【解析】（1）如圖3，過點F作FP⊥AD，點C作CQ⊥AB，∴∠FPA=∠AQC=90°∵四邊形ACGF為正方形，∴AC=AF，∠FAC=90°∵∠PAF+∠QAF=∠QAC+∠QAF=90°∴∠PAF=∠QAC∴△QAC≌△PAF（AAS）∴QC=PF∵S△ADF=AD·PF，S△ABC=AB·CQ∵ AD=AB，∴S△ADF=S△ABC （2）如圖4，過點D和點F作NM垂線，垂足分別為點H和點K，利用三次全等，先證△DHA≌△BNA，得 GH=NA，再證△FKA≌△CNA，得FK=NA，所以GH=FK，最后再證△DHM≌△FKM，所以DM=MF     【鞏固練習(xí)】1、如圖，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7和11，則△CDE的面積等于          .2、以□ABCD的四條邊為邊，在其形外分別作正方形，如圖②，連結(jié)EF、GH、IJ、KL.若□ABCD的面積為5，則圖中陰影部分四個三角形的面積和為          . 例題5、如圖，四邊形的兩條對角線AC、BD所成的銳角為45°，當AC+BD=18時，四邊形ABCD的面積最大值是         .【分析】以前我們做的都是求對角線成直角的四邊形面積，面積公式為對角線乘積的一半，那么我們回憶一下，你知道公式是怎么推倒出來的嗎？當角度為45°時，是否可以用同樣的方法去解決呢？【解答】如圖，過點B作BF⊥AC，過點D作DE⊥AC，過點D作DG⊥BG，交BF延長線于點G.∵S四邊形ABCD=S△ACB+S△ACD∴S四邊形ABCD=AC·BF+AC·DE=AC·(BF+DE)= AC·BG根據(jù)題意，易得BG=BD 【鞏固練習(xí)】1、如圖，四邊形的兩條對角線AC、BD所成的角為α，AC+BD=10，當AC、BD的長等于      時，則四邊形ABCD的面積最大是          .2、已知四邊形ABCD中，AD+BD+BC=16，則四邊形ABCD的面積最大值是（    ）A.16  B.32  C.   D.
【鞏固練習(xí)】1、如圖，在一個平行四邊形中，兩對平行于邊的直線將這個平行四邊形分為九個小平行四邊形，如果原來這個平行四邊形的面積為100cm2，而中間那個小平行四邊形（陰影部分）的面積為20平方厘米，則四邊形ABDC的面積是（      ）A.40 cm2   B.60 cm2   C.70 cm2   D.80 cm22、如圖，已知點P為平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點，△PAB的面積為3，△PBC的面積為7，則△PBD的面積為           。  3、如圖，在□ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，過BC的中點E作EF⊥AB，垂足為點F，與DC的延長線相交于點H，則△DEF的面積是            . 4、如圖，邊長為6的正方形ABCD和邊長為8的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分別是兩個正方形的對稱中心，則陰影部分的面積為          .  5、如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，點E、G、H、F分別在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，點P是直線EF、GH之間任意一點，連結(jié)PE、PF、PG、PH，則△PEF和△PGH的面積和等于              .   6、如圖，矩形ABCD長為a，寬為b，若S1=S?=(S3+S4)，則S4=         （用含a、b字母的代數(shù)表示）7、如圖，設(shè)F為正方形ABCD的邊AD上一點，CE⊥CF，交AB的延長線于E，若正方形ABCD的面積為64，△CEF的面積為50，則△CBE的面積為            。8、如圖，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，E、F分別是AB、BC的中點，AF與DE相交于I，與BD相交于H，則四邊形BEIH的面積為          。9、如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、B在雙曲線y=（x>0）上，BC與x軸交于點D.若點A的坐標為（1，2），則四邊形OABD的面積為                .10、如圖，在平面直角坐標系中，邊長不等的正方形依次排列，每個正方形都有一個頂點落在函數(shù)y=x的圖象上，從左向右第3個正方形中的一個頂點A的坐標為（8，4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S1、S2、S3、…、Sn，則Sn的值為        .（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)） 11、如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H依次是各邊中點，O是形內(nèi)一點，若四邊形AEOH、四邊形BFOE、四邊形CGOF、四邊形DHOG的面積分別為S1、S2、S3、S4，求證：S1+S2=S3+S4. 12、已知平行四邊形ABCD，點F為線段BC上一點（端點B、C除外），連接AF、AC，連接DF，并延長DF交AB的延長線于點E，連接CE.（1）當F為BC的中點時，求證△EFC與△ABF的面積相等；（2）當F為BC上任意一點時，△EFC與△ABF的面積還相等嗎？說明理由.   13、如圖，正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成4個小矩形，P是EF與GH的交點，若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，試確定∠HAF的大小，并證明你的結(jié)論.    14、如圖1，小紅將一張直角梯形紙片沿虛線剪開，得到矩形和三角形兩張紙片，測得AB=15，AD=12，在進行如下操作時遇到了下面的幾個問題，請你幫助解決。（1）將△EFG的頂點G移到矩形的頂點B處，再將三角形繞點B順時針旋轉(zhuǎn)使E點落在CD邊上，此時，EF恰好經(jīng)過點A（如圖2）求FB的長度；（2）在（1）的條件下，小紅想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了兩種包裹的方法如圖3、圖4，請問哪種包裹紙片的方法使得未包裹住的面積大？（紙片厚度忽略不計）請你通過計算說服小紅.                  
參考答案1.答案：42.答案：90   參考答案答案：答案：答案：92答案：1.44答案：2：5    參考答案答案：答案：10    參考答案答案：5，答案：B   參考答案答案：B答案：4答案：答案：12答案：7答案：答案：24答案：答案：答案： 答案：連接OC，OB，OA，OD，∵E、F. G、H依次是各邊中點，∴△AOE和△BOE等底等高,所以S△OAE=S△OBE，同理可證,S△OBF=S△OCF,S△ODG=S△OCG,S△ODH=S△OAH，∴S四邊形AEOH+S四邊形CGOF=S四邊形DHOG+S四邊形BFOE，∴：S1+S2=S3+S4 答案：(1)證明：∵點F為BC的中點，∴BF=CF=BC=，又∵BF∥AD，∴BE=AB=b，∴A,E兩點到BC的距離相等,都為bsinα,則S△ABF=??bsinα=absinα，S△EFC=?a?bsinα=absinα，∴S△ABF=S△EFC;(2)法一：當F為BC上任意一點時，設(shè)BF=x，則FC=a?x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BF：AD=BE：(BE+AB),∴x:a=BE(BE+b)，∴BE= x,在△EFC中,FC邊上的高h1=BEsinα，∴h1=bx:sinα:(a?x)，∴S△EFC=12FC?h1= (a?x)?bxsinαa?x=bxsinα,又在△ABF中,BF邊上的高h2=bsinα，∴S△ABF=12bxsinα，∴S△ABF=S△EFC;法二：∵ABCD為平行四邊形，∴S△ABC=S△CDE=absinα，又∵S△AFC=S△CDF，∴S△ABC?S△AFC=S△CDE?S△CDF，即S△ABF=S△EFC 答案：如圖，連結(jié)FH，延長CB到M，使BM=DH，連結(jié)AM，∵Rt△ABM≌Rt△ADH，∴AM=AH，∠MAB=∠HAD，∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°，如圖，設(shè)正方形ABCD邊長為a，AG=m，GP=n，則FC=a?n，CH=a?m，∵矩形PFCH的面積恰好是矩形AGPE面積的2倍，∴a2?(m+n)a+mn=2mn，①在Rt△FCH中,FH2=(a?n) 2+(a?m) 2，②聯(lián)立①②,得FH2=MF2=(m+n) 2，∴FH=MF.∵AF=AF,AH=AM,∴△AMF≌△HAF，∴∠HAF=∠MAF=45°.  答案：(1)∵BE=AB=15，在直角△BCE中, CE= =9∴DE=6，∵∠EAD+∠BAE=90°，∠BAE=∠BEF，∴∠EAD+∠BEF=90°，∵∠BEF+∠F=90°，∴∠EAD=∠F∵∠ADE=∠FBE∴△ADE∽△FBE， ∴AD：BF=DE：BE，12：BF=6：15，∴BF=30；       (2)①如圖1，將矩形ABCD和直角△FBE以CD為軸翻折，則△AMH即為未包裹住的面積，∵Rt△F′HN∽Rt△F′EG，∴F′N：F′G=HN：EG,即6：30=HN：15, 解得：HN=3，∴S△AMH=?AM?MH=×12×24=144；②如圖2，將矩形ABCD和Rt△ECF以AD為軸翻折，∵Rt△GBE∽Rt△GB′C′，∴GB：GB′=EB：B′C′,即（30?GB′）：GB′=3：12,解得：GB′=24，∴S△B′C′G=?B′C′?B′G=×12×24=144，∴按照兩種包裹方法的未包裹面積相等。   

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