?第17講 二次函數(shù)與面積
解這類問題一般用到以下與面積相關的知識：圖形割補、等積轉換、等比轉化.
【例題講解】
例題1 如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高（h）”．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：＝ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．
解答問題：
如圖2，頂點為C（1,4）的拋物線y＝ax2＋bx＋c交軸于點A（3,0），交y軸于點B．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，連接PA，PB，當P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及；
②是否存在拋物線上一點P，使＝？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．
圖1 圖2 備用圖


【解析】（1）設拋物線的解析式為：＝a（x－1）2＋4
把A（3,0）代入解析式求得a＝－1，
所以＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3，
設直線AB的解析式為：＝kx＋b
由＝－x2＋2x＋3求得B點的坐標為（0,3）
把A（3,0），B（0,3）代入＝kx＋b中
解得：k＝－1，b＝3
所以＝－x＋3；
（2）①因為C點坐標為（1,4）
所以當x＝1時，＝4，＝2
所以CD＝4－2＝2
＝×3×2＝3（平方單位）；
②假設存在符合條件的點P，設P點的橫坐標為x，△PAB的鉛垂高為h，則h＝－＝（－x2＋2x＋3）－（－x＋3）＝－x2＋3x
由＝
得：×3×（－x2＋3x）＝3
化簡得：x2－3x＋2＝0，
解得：＝1，＝2，
將＝1代入＝－x2＋2x＋3中，
解得P點坐標為（1，4）．
將＝2代入＝－x2＋2x＋3中，
解得P點坐標為（2，3）．
∵點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，
綜上所述，P點的坐標為（1，4），（2，3）．
模型講解
豎切
面積公式均為

橫切
面積公式均為

【總結】
這種“鉛垂高×水平寬的一半”的求解方法可過三角形的任意一點，并且“橫豎”均可.而在選擇時，如何選用，取決于點D的坐標哪種更易求得.
例題2 已知一次函數(shù)y＝（k＋3）x＋（k－1）的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，P（－1，－4）.
（1）若△OBP的面積為3，求k的值；
（2）若△AOB的面積為1，求k的值.
【解析】（1）∵y＝（k＋3）x＋（k－1）的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，
∴A（，0），B（0，k－1）
∵P（－1，－4）
∴×1＝3
∴＝6
∴＝7，或＝－5.
（2）＝1
＝2
∴（k－1）2＝2
①當k＋3≥0，即k≥－3時，k2－4k－5＝0
∴＝5，或＝－1；
②當k＋3＜0，即k＜－3時，k2＝－7（舍去）；
綜上所述：＝5，或＝－1.
例題3 如圖，二次函數(shù)y＝ax2－ax＋c的圖像的頂點為C，一次函數(shù)y＝－x＋3的圖像與這個二次函數(shù)的圖像交于A、B兩點（其中點A在點B的左側），與它的對稱軸交于點D.
（1）求點D的坐標；
（2）若點C與點D關于x軸對稱，且△BCD的面積為4，求此二次函數(shù)的關系式.

【解析】（1）∵y＝ax2－ax＋c
∴x＝－＝1，
∵y＝－x＋3
∴y＝2
∴D（1，2）；
（2）設B點坐標為（m，n）.
∵點C與點D關于x軸對稱，
∴C（1，－2）
∴CD＝4.
∵＝4，
∴×4×（m－1）＝4
∴m＝3
∵y＝－x＋3
∴n＝－3＋3＝0
∴B（3，0）
∵y＝ax2－ax＋c
∴
∴
∴y＝x2－x.

例題4 已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x2－10x＋16＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2.
（1）求拋物線解析式；
（2）若點E時線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍.

【解析】（1）x2－10x＋16＝0，
解得＝2，＝8．
∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC），
∴點B的坐標為（2,0），點C的坐標為（0,8）．
又由拋物線的對稱軸是直線x＝－2，得A點坐標為（－6,0），把A，B，C點坐標代入表達式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c，得，
解得．
∴所求拋物線的表達式為y＝－x2－＋8．
（2）依題意，AE＝m，則BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8,
∴AC＝10.
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，＝，即＝，
∴EF＝．
過點F作FG⊥AB，垂足為G，
則sin∠FEG＝sin∠CAB＝，
∴＝，F(xiàn)G＝·＝8－m，
∴S＝－＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）＝－m2＋4m（0＜m＜8）.

【鞏固練習】
1.已知直線y＝2x＋4與x軸、y軸分別交于A，D兩點，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A，D，點B是拋物線與x軸的另一個交點．
（1）求這條拋物線的解析式及點B的坐標；
（2）設點M是直線AD上一點，且:＝1:3，求點M的坐標；












2．如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與一直線相交于A（－1,0），C（2,3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．
（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關系式；
（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，直接寫出△APC的面積的最大值及此時點P的坐標．








3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），經(jīng)過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC．
（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）點E是直線l上方的拋物線上的一點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；



4. 已知：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋6（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），點A、點B的橫坐標是方程x2－4x－12＝0的兩個根．
（1）求出該二次函數(shù)的表達式及頂點坐標；
（2）如圖，連接AC、BC，點P是線段OB上一個動點（點P不與點O、B重合），過點P作PQ∥AC交BC于點Q，當△CPQ的面積最大時，求點P的坐標．





5．一次函數(shù)y＝－x的圖象如圖所示，它與二次函數(shù)y＝ax2＋4ax＋c的圖象交于A、B兩點（其中點A在點B的右側），與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點C．
（1）求點C的坐標．
（2）設二次函數(shù)圖象的頂點為D．
①若點D與點C關于現(xiàn)在x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數(shù)的關系式．
②若CD＝AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數(shù)的關系式．





6.已知：在直角坐標系中，點C的坐標為（0，－2），點A與點B在x軸上，且點A與點B的橫坐標是方程x2－3x－4＝0的兩個根，點A在點B的左側.
（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的關系式.
（2）點D的坐標為（2，0），點P（m，n）是該拋物線上的一個動點（其中m＞0，n＜0）連接CD、CP，設△CDP的面積為S，當S取某一個值時，有兩個點P與之對應，求此時S的取值范圍？






7、如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線l與拋物線y＝mx2＋nx相交于A（1，3），B（4，0）兩點.
（1）求出拋物線的解析式；
（2）點P是線段AB上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OA，交第一象限內的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，若△BCN、△PMN的面積、滿足＝2，求出的值，并求出此時點M的坐標.

參考答案
1.【解析】（1）令y＝0，則2x＋4＝0，
解得x＝－2，
令x＝0，則y＝4，
所以，點A（－2,0）、D（0,4）；
代入拋物線y＝x2＋bx＋c中，得：
，解得
∴拋物線的解析式：y＝x2＋x＋4；
令y＝0，得：0＝x2＋x＋4，解得＝－2、＝4．
∴點B（4,0）．
（2）∵:＝1:3，∴AM:MD＝1:3；
過點M作MN⊥x軸于N，如圖；
①當點M在線段AD上時，AM:AD＝1:4；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN＝OD＝1、AN＝OA＝、ON＝OA－AN＝2―＝；
∴M（－，1）；
②當點M在線段DA的延長線上時，AM:AD＝1:2；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO，
∴MN＝OD＝2、AN＝OA＝1、ON＝OA＋AN＝3；
∴M（－3，－2）；
綜上，符合條件的點M有兩個，坐標為：（－，1）、（－3，－2）．




2.【解析】（1）y＝x＋1；（2）點P的坐標為（，）.
（1）將A（－1,0），C（2,3）代入y＝－x2＋bx＋c，得：
，解得：，
∴拋物線的函數(shù)關系式為y＝－x2＋2x＋3．
設直線AC的函數(shù)關系式為y＝kx＋a（k≠0），
將A（－1,0），C（2,3）代入y＝kx＋a，得：
，解得：，
∴直線AC的函數(shù)關系式為y＝x＋1．
（2）過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，過點C作CN⊥x軸，垂足為N，如圖所示．
設點P的坐標為（x，－x2＋2x＋3）（－1＜x＜2），則點M的坐標為（x,0）．
∵點A的坐標為（－1,0），點C的坐標為（2,3），
∴AM＝x＋1，MN＝2－x，PM＝－x2＋2x＋3，CN＝3，AN＝3，
∴＝＋－，
＝AM·PM＋（PM＋CN）·MN－AN·CN，
＝（x＋1）（－x2＋2x＋3）＋（－x2＋2x＋3＋3）（2－x）－×3×3，
＝－x2＋x＋3．
∵＝－x2＋x＋3＝－（x－）2＋，－＜0，
∴當x＝時，取得最大值，最大值為，此時點P的坐標為（，）．



3.【解析】（1）令y＝0，則ax2－2ax－3a＝0，
解得＝－1，＝3
∵點A在點B的左側，
∴A（－1,0）
如圖1，作DF⊥x軸于F，
∴ DF∥OC，
∴＝，
∵CD＝4AC，
∴＝＝4，
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D點的橫坐標為4，
代入y＝ax2－2ax－3a得，y＝5a，
∴D（4,5a）
把A、D坐標代入y＝kx＋b得，
解得，
∴直線l的函數(shù)表達式為y＝ax＋a．
（2）如圖1，過點E作EN⊥y軸于點N
設點E（m，a（m＋1）（m－3）），，
則，
解得：，
∴＝a（m－3）x＋a（m－3），M（0，a（m－3）），
∵MC＝a（m－3）－a，NE＝m，
∴＝＋＝[a（m－3）] ＋[a（m－3）－a]m＝ （m－1）[a（m－3）－a]
＝（m－）2－a，
∴有最大值－a ＝，
∴a＝－.

4.【解析】（1）由x2－4x－12＝0，
解得：＝－2，＝6，
點A、點B的橫坐標是方程x2－4x－12＝0的兩個根，
故A（－2,0）、B（6,0），
則，
解得．
故二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋6，頂點坐標（2,8）；
（2）設點P的橫坐標為m，則0＜m＜6，
連接AQ，
直線BC的解析式為y＝－x＋6，直線AC的解析式為y＝3x＋6，
設Q點坐標為（a，6－a），
由PQ∥AC，
可知＝3，
解得a＝，
6－a＝（6－m），
＝＝（m＋2）·（6－m）
＝－（m2－4m－12）＝－（m－2）2＋6，
當m＝2時，＝6，
所以，當△CPQ的面積最大時，點P的坐標是（2,0）．



5.【解析】（1）∵拋物線的對稱軸方程為x＝－，
∴拋物線的對稱軸為x＝－＝－2．
∵將x＝－2代入y＝－x得：y＝－×（－2）＝，
∴點C的坐標為（－2，）．
（2）①∵點D與點C關于x軸對稱，
∴點D的坐標為（－2，）．
∴CD＝3．
設點A的橫坐標為x，則點A到CD的距離＝（x＋2）．
∵△ACD的面積等于3，
∴×CD×（x＋2）＝3．
解得：x＝0．
將x＝0代入y＝－x得：y＝0．
∴點A的坐標為（0,0）．
設拋物線的解析式為y＝a（x＋2）2－，將（0,0）代入得；4a－＝0，解得：a＝．
∴拋物線的解析式為y＝（x＋2）2－．

②如圖所示，過點A作AE⊥DC，垂足為E．

設點D的坐標為（－2，m），則CD＝．
∵DC＝AC，
∴AC＝，
∵EA∥x軸，
∴∠COF＝∠CAE.
∴AE＝AC＝
∵△ACD的面積為10，
∴CD·AE＝10，即×（m－）×（m－）＝10.
解得：m＝6.5或m＝－3.5．
當m＝6.5時，點D的坐標為（－2,6.5）．
AE＝×（6.5－1.5）．
∴點A的橫坐標為－2＋4＝2．
將x＝2代入y＝－x得；y＝－×2＝－．
∴點A的坐標為（2，－）．
設拋物線的解析式為y＝a（x＋2）2＋6.5，將點A的坐標代入得：16a＋6.5＝－1.5．
解得：a＝－．
∴拋物線的解析式為y＝－（x＋2）2＋6.5．
當m＝－3.5時，點D的坐標為（－2，－3.5）．
AE＝×[1.5－（－3.5）]＝4．
∴點A的坐標為（2，－）．
設拋物線的解析式為y＝a（x＋2）2－3.5，將點A的坐標代入得：16a－3.5＝－1.5．
解得：a＝．
∴拋物線的解析式為y＝（x＋2）2－3.5．


6.【解析】（1）解方程x2－3x－4＝0，得：＝－1、＝4，則A（－1,0）、B（4,0）；
依題意，設拋物線的解析式：y＝a（x＋1）（x－4），代入C（0，－2），得：
a（0＋1）（0－4）＝－2，
解得：a＝
故拋物線的解析式：y＝（x＋1）（x－4）＝x2－x－2．
（2）由C（0，－2）、D（2,0）得，直線CD：y＝x－2；
作直線l∥CD，且直線l與拋物線有且只有一個交點P，設直線l：y＝x＋b，聯(lián)立拋物線的解析式：
x＋b＝x2－x－2，即：x2－x－2－b＝0
△＝－4××（－2－b）＝0，解得b＝－
即，直線l：y＝x－；
聯(lián)立直線l和拋物線的解析式，得：
，
解得
則P（，－）；
過P作PM⊥x軸于M，如圖（2）②
△CDP的最大面積：＝；
∴當P（，）時，△CDP的面積有最大值，且最大面積為．
連接BC則
＝BD×OC
＝（4－2）×2＝2
∴S的取值范圍是2≤S＜.



7.【解析】（1）∵A（1,3），B（4,0）在拋物線y＝mx2＋nx的圖象上，
∴，解得，
∴拋物線解析式為y＝－x2＋4x；
（3）如圖，過P作PF⊥CM于點F，

∵PM∥OA，
∴Rt△ADC∽Rt△MFP，
∴＝＝3，
∴MF＝3PF，
在Rt△ABD中，BD＝3，AD＝3，
∴tan∠ABD＝1，
∴∠ABD＝45°，設BC＝a，則CN＝a，
在RtS△PFN中，∠PNF＝∠BNC＝45°，
∴tan∠PNF＝＝1，
∴FN＝PF，
∴MN＝MF＋FN＝4PF，
∵＝2，
∴a2＝2××4PF2，
∴a＝PF，
∴NC＝a＝PF，
∴＝＝，
∴MN＝NC＝a，
∴MC＝MN＋NC＝（＋1）a，
∴M點坐標為（4－a，（＋1）a），
又M點在拋物線上，代入可得－（4－a）2＋4（4－a）＝（＋1）a，
解得a＝3－或a＝0（舍去），
OC＝4－a＝＋1，MC＝3＋2，
∴點M的坐標為（＋1，3＋2）．


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