?第10講 最值問(wèn)題之三角形三邊關(guān)系

模型講解

問(wèn)題：在直線l上找一點(diǎn)P，使得的值最大
解析：連接AB，并延長(zhǎng)與1交點(diǎn)即為點(diǎn)P.
證明：如圖，根據(jù)△ABP三邊關(guān)系，BP-AP< AB，即PB - PA< PB - PA

【例題講解】
例題1、如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為
____________.

【解答】
解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OD、OE、DE，
∠MON=90°，AB=2 OE=AE=AB=1，
BC=1，四邊形ABCD是矩形， AD=BC=1， DE=，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，ODOP OP=0Q+QP，且OQ=0Q 0Q+QP>0Q+QP QP>QP
所以連接OP，與圓的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)Q，此時(shí)PQ最短.

【另外三種情況】

點(diǎn)P在圓外，PQ最長(zhǎng) 點(diǎn)P在圓內(nèi)，PQ最長(zhǎng) 點(diǎn)P在圓內(nèi)，PQ最短

【總結(jié)】可見(jiàn)，點(diǎn)與圓的最值問(wèn)題在本質(zhì)上仍然是利用了三角形三邊關(guān)系。

【例題講解】
例題1、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EBF，連接BD，則BD的最小值是___________.

【解析】
如圖，根據(jù)已知條件，在△EBD中，我們發(fā)現(xiàn)，EB為定值2，ED根據(jù)勾股定理計(jì)算可得也為定值，而B(niǎo)D即為要我們求的那條邊，所以我們就知道，△EB'D就是我們要找的三角形，
BD≤ED-EB 當(dāng)B在ED上時(shí)，BD最小
BD的最小值為-2




【鞏固練習(xí)】
1、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是_______________.

2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a>0），點(diǎn)P在以D（4，4）為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足∠BPC=90°，則a的最大值_______________.

3、如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P，Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，則PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是_____________.


4、如圖，已知直線y=x-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB.則△PAB面積的最大值是________________.


5、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△BCP，連接BA，則BA長(zhǎng)度的最小值是________________.

6、如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△AMN，連接AC，則AC長(zhǎng)度的最小值是____________.


7、如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是____________.


8、如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E、F分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF=2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為_(kāi)_____________.

9、如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，以A為圓心，1為半徑作，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放置在（不包括端點(diǎn)B、D）上滑動(dòng)，一條直角邊通過(guò)頂點(diǎn)A，另一條直角邊與邊BC相交于點(diǎn)Q，連接PC，則△CPQ周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___________.








10、問(wèn)題情境：如圖1，P是⊙0外的一點(diǎn)，直線PO分別交⊙0于點(diǎn)A、B，則PA是點(diǎn)P到⊙0上的點(diǎn)的最短距離.


（1）探究：
如圖2，在⊙0上任取一點(diǎn)C（不為點(diǎn)A、B重合），連接PC、OC.試證明：PA

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