2022-2023學(xué)年五年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列之第三單元：復(fù)雜的表面積增減變化問題專項練習(xí)（解析版）一、填空題。1．把4個大小相同的小正方體拼成一個長方體（如圖所示），表面積減少了200cm2，這個長方體的表面積是(        )cm2。【答案】400【分析】通過觀察可知，表面積減少了200cm2，減少的是小正方體的8個面的面積，據(jù)此可以用總減少的面積除以8得出正方體一個面的面積，拼成的長方體的表面積等于小正方體的16個面的面積，再用求出的一個面的面積乘16即可。【詳解】200÷8×16＝25×16＝400（cm2）綜上所述：把4個大小相同的小正方體拼成一個長方體（如圖所示），表面積減少了200cm2，這個長方體的表面積是400cm2。【點睛】本題考查的目的是理解掌握正方體拼成長方體的方法以及應(yīng)用，同時需要掌握正方體、長方體表面積的意義和應(yīng)用。2．把一根長5m的長方體木料鋸成3段，表面積增加了160cm2，這根木料的體積是(      )dm3。【答案】20【分析】把這個長方體平均鋸成3段，需要鋸2次，每鋸一次就會多出2個長方體的橫截面，由此可得鋸成3段后表面積是增加了4個橫截面的面積，由此可以求出橫截面的面積是160÷4＝40cm2，再利用長方體的體積公式即可解答。【詳解】5m＝500cm160÷4×500＝40×500＝20000（cm3）20000cm3＝20dm3這根木料的體積是20dm3。【點睛】利用長方體的切割方法得到切割后增加的表面積情況，是解決此類問題的關(guān)鍵。3．將一根長方體木條平均截成3段，每段長8分米，表面積增加了72平方分米。這根木條原來的體積是(        )立方分米。【答案】432【分析】根據(jù)題意可知，把這根長方體木條橫截成3段后，表面積比原來增加4個截面的面積據(jù)此可以求出長方體的底面積，再根據(jù)長方體的體積公式：V＝Sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】72÷4×（8×3）＝18×24＝432（立方分米）所以：這根木條原來的體積是432立方分米。【點睛】此題主要考查長方體的表面積公式、體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。4．一個長方體木塊的長是12厘米，寬是8厘米，高是10厘米，如果它的高增加了5厘米，它的表面積增加(          )平方厘米，它的體積增加(          )立方厘米。【答案】     200     480【分析】由題可知：增加的表面積相當(dāng)于長是12厘米，寬是8厘米，高是5厘米的長方體四個側(cè)面的面積，增加的體積相當(dāng)于長是12厘米，寬是8厘米，高是5厘米的長方體的體積；根據(jù)長方體的側(cè)面積＝（長×高＋寬×高）×2，長方體的體積＝長×寬×高，據(jù)此代入數(shù)據(jù)解答即可。【詳解】增加的表面積：（12×5＋8×5）×2＝（60＋40）×2＝100×2＝200（平方厘米）增加的體積：12×8×5＝96×5＝480（立方厘米）【點睛】本題主要考查立體圖形的切拼問題。明確增加部分的面積及體積指的是哪一部分，同時掌握長方體的表面積和體積公式，并靈活運用是解題的關(guān)鍵。5．一塊長方體木料，截去一個高8cm的長方體后，表面積比原來減少，剩下的部分是一個正方體。原來這塊長方體木料的體積是(        )。【答案】504【分析】截去一個高8cm的長方體后，表面積減少的是長方體4個側(cè)面的面積，用192除以4即可計算出1個面的面積為48cm2，根據(jù)長方形的面積公式，48除以8即可計算出長方形的寬為6cm，即正方體的棱長。所以原來長方體的長和寬都為6cm，高為（6＋8）cm，利用長方體的體積公式即可得解。【詳解】192÷4÷8＝48÷8＝6（cm）6×6×（6＋8）＝36×14＝504（cm3）【點睛】此題的解題關(guān)鍵是掌握立體圖形切拼后表面積的變化情況，靈活運用長方體的體積公式求解。6．把長方體的高增加2cm就成正方體，且表面積會增加80cm2，原來長方體的體積是(      )dm3。【答案】0.8【分析】根據(jù)題意，長方體的高增加2cm就成正方體，說明長方體的長、寬相等；增加的表面積是4個側(cè)面的面積之和，每個面都是長方形，長是原來長方體的長，寬是2厘米；先用增加的表面積除以4，求出一個側(cè)面的面積，再除以2，即可求出正方體的棱長，即原來長方體的長、寬，再用正方體的棱長減去2cm得到原來長方體的高；最后根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)計算求出原來長方體的體積。注意單位的換算：1dm3＝1000cm3。【詳解】80÷4÷2＝20÷2＝10（cm）10－2＝8（cm）10×10×8＝100×8＝800（cm3）800cm3＝0.8dm3【點睛】明確長方體的高增加，表面積增加的是哪些面的面積，以此為突破口，求出原來長方體的長、寬、高是解題的關(guān)鍵。7．一個長5分米，高10分米的長方體木塊，削去2分米高后，表面積減少了36平方分米，這個長方體木塊原來的體積是(        )立方分米。【答案】200【分析】根據(jù)題意可知，把長方體的高削去2分米，表面積減少的是高為2分米的4個側(cè)面的面積，即2個長×高與2個寬×高；先用減少的表面積除以2，得到1個長×高與1個寬×高的面積之和；然后除以高2分米，得到1個長與寬的和，再減去長，就是寬；最后根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)計算即可。【詳解】36÷2＝18（平方分米）18÷2－5＝9－5＝4（分米）5×4×10＝20×10＝200（立方分米）【點睛】掌握長方體切割的特點，明確減少的表面積是哪些面的面積。8．如圖所示，將一個長方體分割成兩個小長方體，如果按下面三種不同的方式分割，表面積分別增加了14平方厘米、32平方厘米、22平方厘米，原來這個長方體的表面積是(      )平方厘米。【答案】68【分析】通過觀察圖形可知，用三種不同的方式把這個長方體分割成兩個小長方體，每切割一次就增加兩個切面的面積；從左往右，圖一是平行于左右面切，增加2個寬×高的面積；圖二是平行于前后面切，增加2個長×高的面積；圖三是平行于上下面切，增加2個長×寬的面積；根據(jù)長方體的表面積＝長×寬×2＋長×高×2＋寬×高×2，三種方式切割增加的表面積之和就是原來長方體的表面積。【詳解】14＋32＋22＝46＋22＝68（平方厘米）【點睛】明確立體圖形切割時，增加的表面積是哪些面的面積。9．用8個棱長1cm的小正方體可以拼成一個大正方體，大正方體的表面積是(      )cm2；也可以拼成一個長方體，長方體的表面積可能是(      )cm2。【答案】     24     28或34【分析】用8個棱長1cm的小正方體可以拼成一個大正方體，大正方體的棱長為2厘米，用正方體的表面積公式求出大大正方體的表面積即可；拼成一個長方體，長方體的長寬高可能是4厘米、2厘米、1厘米，也可能是8厘米、1厘米、1厘米，再改根據(jù)長方體的表面積公式求解即可。【詳解】正方體表面積：2×2×6＝4×6＝24（平方厘米）長方體表面積：（4×2＋4×1＋2×1）×2＝14×2＝28（平方厘米）（8×1＋8×1＋1×1）×2＝17×2＝34（平方厘米）【點睛】本題考查長方體、正方體的表面積，解答本題的關(guān)鍵是掌握長方體、正方體的表面積公式。 二、解答題。10．把一個長20cm，寬3cm，高6cm的長方體平均截成5段，木塊的表面積增加了多少平方厘米？【答案】80平方厘米或960平方厘米或144平方厘米【詳解】試題分析：可以沿平行于原來長方體的面20cm×3cm，面20cm×6cm，面3cm×6cm進行切割，這樣切割后，表面積都比原來增加了8個對應(yīng)面的面積，由此即可解答問題．解：沿平行于原來長方體的面20cm×3cm進行切割，表面積增加：8×20×3=480（平方厘米）；沿平行于原來長方體的面20cm×6cm進行切割，表面積增加：8×20×6=960（平方厘米）；沿平行于原來長方體的面3cm×6cm進行切割，表面積增加：8×3×6=144（平方厘米）；答：表面積增加了480平方厘米或960平方厘米或144平方厘米．點評：考查了長方體的表面積，抓住切割特點，得出增加的切割面是解決此類問題的關(guān)鍵．11．一個長方體，如果高減少3厘米就變成了一個正方體，表面積就減少了96平方厘米，現(xiàn)在這個正方體的體積與原來長方體的體積相差多少立方厘米？【答案】192立方厘米【分析】根據(jù)題意，長方體的高減少3厘米變成了一個正方體，說明長方體的長和寬都等于正方體的棱長；正方體比原來長方體減少的表面積是4個長為正方體的棱長，寬為3厘米的長方形的面積；先用減少的表面積除以4，求出一個長方形的面積，再除以3，即可求出正方體的棱長，也是長方體的長和寬；那么正方體與原來長方體相差的體積是一個長、寬等于正方體的棱長，高為3厘米的小長方體的體積，根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)計算即可。【詳解】96÷4＝24（平方厘米）24÷3＝8（厘米）8×8×3＝64×3＝192（立方厘米）答：現(xiàn)在這個正方體的體積與原來長方體的體積相差192立方厘米。【點睛】本題考查立體圖形的切拼以及長方體體積公式的應(yīng)用，明確表面積減少的是哪些面的面積，以此為突破口，求出正方體的棱長是解題的關(guān)鍵。12．用3個完全一樣的正方體拼成一個長方體，這個長方體的棱長總和是160厘米，這個長方體的表面積是多少平方厘米？【答案】896平方厘米【分析】通過觀察圖形可知，拼成的長方體的棱長總和比原來3個正方體的棱長總和減少了正方體的16條棱的長度，據(jù)此可以求出正方體的棱長；這個長方體的表面積比3個正方體的表面積之和減少了正方體的4個面的面積，根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】160÷（12×3﹣16）＝160÷（36﹣16）＝160÷20＝8（厘米）8×8×6×3﹣8×8×4＝64×6×3﹣64×4＝384×3﹣256＝1152﹣256＝896（平方厘米）答：這個長方體的表面積是896平方厘米。【點睛】此題主要考查長方體、正方體的棱長總和公式、表面積公式的靈活運用，求出正方體的棱長是解題的關(guān)鍵。13．兩個完全相同的長方體，長是12厘米，寬是7厘米，高是4厘米，現(xiàn)在把它們拼成一個表面積最大的長方體后，則表面積比原來減少了多少平方厘米？。【答案】56平方厘米【分析】將兩個完全的長方體拼成一個大長方體，要使大長方體面積最大，則拼接的一面為小長方體面積最小的一面，根據(jù)題意可得面積最小的一面是寬和高所對應(yīng)的面。此時，大長方體表面積比原來減少了2個這樣的面，據(jù)此可得出答案。【詳解】拼接后要使大長方體表面積最大，則拼接面為面積最小的一面。故表面積比原來減少：7×4×2＝28×2＝56（平方厘米）。答：表面積比原來減少了56平方厘米。【點睛】本題主要考查的是長方體表面積及拼接，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意中得出拼接的面為面積最小的面，進而得出答案。14．一個長方體，如果高減少5厘米，就成了一個正方體，這時表面積會比原來少120平方厘米，原來長方體的體積是多少？【答案】396立方厘米【分析】根據(jù)長方體的特征，6個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對的面的面積相等。由題意可知：高減少5厘米，這時表面積比原來減少了120平方厘米。表面積減少的是高為5厘米的長方體的4個側(cè)面的面積。先求出減少部分的1個側(cè)面的面積，120÷4＝30（平方厘米）；根據(jù)長方形的面積公式S＝ab，求出原來長方體的底面邊長就是6厘米。原來的高是6＋5＝11（厘米），再根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】原來長方體的底面邊長是：120÷4÷5＝30÷5＝6（厘米）高是：6＋5＝11（厘米）原來長方體的體積是：6×6×11＝36×11＝396（立方厘米）答：原來長方體的體積是396立方厘米。【點睛】此題解答關(guān)鍵是求出原來長方體的底面邊長，進而求出高，再根據(jù)長方體的體積公式解答即可。15．一個長方體如果高縮短3cm就變成一個正方體，這時體積比原來縮小75cm3，原長方體的體積是多少cm3？【答案】200cm3【分析】根據(jù)長方體的體積公式V＝Sh可知，長方體的底面積S＝V÷h，用減少的體積除以減少的高求出原來長方體的底面積；由“長方體的高縮短3cm就變成一個正方體”可知，長方體的底面是一個正方形，根據(jù)正方形的面積公式S＝a2，可推出底面邊長，底面邊長加上3cm就是原來長方體的高，最后根據(jù)長方體的體積公式計算出原來長方體的體積。【詳解】原來長方體的底面積：75÷3＝25（cm2）因為5×5＝25，所以原來長方體的底面邊長是5cm；長方體的高：5＋3＝8（cm）原來長方體的體積：25×8＝200（cm3）答：原來長方體的體積是200 cm3。【點睛】掌握正方體的特征以及靈活運用長方體的體積公式是解題的關(guān)鍵。16．一個長方體按以下三種方法分割成了兩個長方體，表面積分別增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原來長方體的表面積是多少平方厘米，體積是多少立方厘米？ 【答案】94平方厘米；60立方厘米【分析】表面積分別增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面積和就是原來長方體的面積；根據(jù)長×高×2＝40，長×寬×2＝30，寬×高×2＝24，由此求出長方體的體積。【詳解】40＋30＋24＝70＋24＝94（平方厘米）答：原來長方體的表面積是94平方厘米。長×高×2＝40，即長×高＝20＝5×4，長×寬×2＝30，即長×寬＝15＝5×3，寬×高×2＝24，即寬×高＝12＝4×3，即長、寬、高分別是5厘米、4厘米、3厘米。5×4×3＝20×3＝60（立方厘米）答：體積是60立方厘米。【點睛】考查了立體圖形的切拼，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分解質(zhì)因數(shù)求出長、寬、高。17．一個長方體，如果長減少2厘米，就變成一個正方體。這時表面積比原來減少64平方厘米。原來長方體的體積是多少立方厘米？【答案】640立方厘米【分析】根據(jù)長減少2厘米，就剩下一個正方體可知，這個正方體比原長方體表面積減少的4個面是相同的，根據(jù)已知表面積減少64平方厘米，64÷4÷2＝8厘米，求出減少面的長，也就是剩下的正方體的棱長，然后8＋2＝10厘米求出原長方體的高，再計算原長方體的體積即可。【詳解】64÷4÷2＝16÷2＝8（厘米）；8×8×（8＋2）＝64×10＝640（立方厘米）答：原來長方體的體積是640立方厘米。【點睛】根據(jù)截去后剩下是正方體，可知減少的部分是寬為2厘米的4個面，從而可以分別求出長方體的長、寬、高，進而利用長方體的表面積和體積的計算方法即可求解。18．一個高為8厘米的長方體木塊，如果縱向把它切成兩個小長方體，表面積就增加80平方厘米；如果橫向把它切成兩個小長方體，表面積就增加60平方厘米，這個長方體木塊的表面積是多少？【答案】236平方厘米【分析】切一次增加兩個面，縱向切，增加了兩個側(cè)面，用一個側(cè)面積÷高＝寬，橫向切增加了兩個上下面，用一個上下面÷寬＝長，據(jù)此根據(jù)長方體表面積公式列式解答即可。【詳解】80÷2÷8＝5（厘米）60÷2÷5＝6（厘米）（6×5＋6×8＋5×8）×2＝（30＋48＋40）×2＝118×2＝236（平方厘米）答：這個長方體木塊的表面積是236平方厘米。【點睛】本題考查了長方體表面積，長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2。19．一個長方體的高增加3分米后，就變成了一個正方體。這個正方體的表面積比原來長方體的表面積增加了60平方分米，原來長方體的表面積是多少平方分米？【答案】90平方分米【分析】根據(jù)題意可知，一個長方體如果高增加3分米，就變成了一個正方體，說明長和寬相等且比高大3厘米，因此增加的60平方分米是4個同樣的長方形的面積和；由此可以求長方體的長：（60÷4）÷3＝5（厘米），由于長比高多3厘米，那么高：5－3＝2（厘米），由此解答。【詳解】60÷4＝15（平方分米），15÷3＝5（分米），5－3＝2（厘米），5×5×2＋5×2×4＝50＋40＝90（平方分米）答：原來長方體的表面積是90平方分米。20．把若干個大小相同的小正方體堆成一個大正方體，然后在大正方體的六個面上涂上紅色，已知兩面被涂上紅色的小正方體有36個，這些小正方體一共有多少個？其中一面涂紅色、三面涂紅色和六個面都沒有涂紅色的小正方體各有多少個？【答案】125個；54個；8個；27個【分析】因為兩面涂色的小正方體位于12條棱的中間，所以每條棱的中間有小正方體：36÷12＝3（個），那么每條棱上有小正方體：3＋2＝5（個），利用大正方體的體積公式V＝a3，即可求出這些小正方體的總個數(shù)；一面涂色的位于正方體每個面的中間部分，先求出一個面中間有多少個小正方體一面涂色，用（5－2）×（5－2）＝9（個），然后乘6即可得到一面涂色的小正方體總個數(shù)；三面都涂色的位于8個頂點處，據(jù)此解答；六個面都沒有涂紅色的，用小正方體的總個數(shù)－一面涂色的－兩面涂色的－三面涂色的＝六個面都沒有涂色的，據(jù)此列式解答。【詳解】36÷12＋2＝55×5×5＝125（個）；一面涂紅色：（5－2）×（5－2）×6＝3×3×6＝54（個）；三面涂紅色：8個；六個面都沒涂紅色：125－8－36－54＝27（個）或（5－2）×（5－2）×（5－2）＝3×3×3＝27（個）。答：這些小正方體一共有125個，其中一面涂紅色的小正方體有54個，三面涂紅色的小正方體有8個，六個面都沒有涂紅色的小正方體有27個。  

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