?2022-2023學(xué)年五年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列之
第三單元長方體和正方體體積篇（解析版）
【考點一】體積及容積單位的認(rèn)識。
【方法點撥】
1.容積：
容積是指物體所能容納物體的體積大小，常見的容積單位有：升（L）、毫升（mL）。
2.體積：
體積是指物體本身所占空間的大小，常見的體積單位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相當(dāng)于一個手指尖的體積。
3.由于測量方法的不同，體積一般大于容積。
【典型例題】
在下面的橫線上填上合適的單位名稱。
工地上一堆沙子的體積約是8( )
一個水杯大約能盛水350( )
燒水壺能裝水3( )
空調(diào)外機的體積約為420( )
解析：立方米；毫升；升；立方分米
【對應(yīng)練習(xí)1】
在括號里填上合適的單位。
一個水杯的容積約是300( )，一塊橡皮的體積約6( )，一間教室大約占地60( )。
解析：毫升；立方厘米；平方米
【對應(yīng)練習(xí)2】
在括號里填上合適的單位。
一臺冰箱容積約為240( )；???
一間教室的面積約為50( )；
一個集裝箱的體積約是45( )；
一個文具盒的體積約是0.4( )。
解析：升；平方米；立方米；立方分米
【對應(yīng)練習(xí)3】
在括號里填上合適的單位。
一輛汽車的油箱可裝汽油60( )；一個眼藥水藥盒的體積約是20( )；
神舟飛船返回艙的內(nèi)部容積約6( )；粉筆盒的表面積約是6( )。
解析：升；立方厘米；立方米；平方分米
【考點二】體積及容積單位換算。
【方法點撥】
1.體積及容積單位進(jìn)率：
1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3；。
2.單位換算：
高級單位換算為低級單位乘進(jìn)率，低級單位換算成高級單位除以進(jìn)率。
【典型例題】
單位換算。
( )m2＝520dm2＝( )cm2?????
3.6L＝( )mL＝( )cm3=( )dm3
解析：5.2；52000；3600；3600；3.6
【對應(yīng)練習(xí)1】
單位換算。
200cm2＝( )dm2??1.6m3＝( )dm3????150mL＝( )L
解析：2；1600；0.15
【對應(yīng)練習(xí)2】
單位換算。
( )????( )????( )
解析：0.65；3200；0.46
【對應(yīng)練習(xí)3】
單位換算。
4.5立方分米＝( )立方厘米????????350升＝( )立方米
解析：4500；0.35
【考點三】長方體體積的實際應(yīng)用及反求。
【方法點撥】
1.長方體的體積=長×寬×高，用字母表示V=abh。
2.長=體積÷寬÷高，a=V÷b÷h。
3.寬=體積÷長÷高，b=V÷a÷h。
4.高=體積÷長÷寬，h= V÷a÷b。
【典型例題1】
某工地運來9.6立方米的沙子，鋪在一個長6米、寬2.5米的沙坑里，可以鋪多厚？
解析：
9.6÷6÷2.5＝0.64（米）
答：可以鋪0.64米。
【典型例題2】
學(xué)校要砌一道長20米、寬2.4分米、高2米的墻，每立方米需要525塊磚，學(xué)校需要買多少塊磚？
解析：
2.4分米＝0.24米
20×0.24×2
＝4.8×2
＝9.6（立方米）
525×9.6＝5040（塊）
答：學(xué)校需要買5040塊磚。
【對應(yīng)練習(xí)1】
一個沙池長5米，寬3米，深50厘米。一輛汽車每次最多能運2.5立方米的沙子，至少需要運多少次才能把這個沙池填滿？
解析：
50厘米＝0.5米
5×3×0.5÷2.5
＝7.5÷2.5
＝3（次）
答：至少需要運3次才能把這個沙池填滿。
【對應(yīng)練習(xí)2】
一種汽車上的油箱是長方體，長5分米，寬4分米，高3分米。如果每升汽油6.5元，給這個油箱加滿油要花多少元？
解析：
5×4×3×6.5
＝20×3×6.5
＝60×6.5
＝390（元）
答：給這個油箱加滿油要花390元。
【對應(yīng)練習(xí)3】
學(xué)校操場有一個占地形狀為長方形的沙坑，沙坑長6米，寬2.5米，在沙坑里填上40厘米厚的沙子。每立方米的沙子重1.5噸，需要沙子多少噸？
解析：
40厘米＝0.4米
6×2.5×0.4×1.5
＝6×1.5
＝9（噸）
答：需要沙子9噸。
【對應(yīng)練習(xí)4】
一個無蓋的長方體玻璃魚缸，高為10分米，底面是邊長為6分米的正方形。如果向空魚缸倒入180升水，魚缸的水深多少分米？

解析：
180升＝180立方分米
180÷（6×6）
＝180÷36
＝5（分米）
答：魚缸的水深5分米。
【考點四】正方體體積的實際應(yīng)用及反求。
【方法點撥】
正方體的體積=棱長×棱長×棱長，用字母表示V=a×a×a = a3，讀作“a的立方”表示3個a相乘。
【典型例題】
一個正方體玻璃容器的棱長是15厘米，體積是多少立方厘米？
解析：
15×15×15
＝225×15
＝3375（立方厘米）
答：體積是3375立方厘米。
【對應(yīng)練習(xí)1】
某紙盒廠生產(chǎn)一種正方體紙板箱，棱長40厘米，它的體積是多少立方分米？
解析：
40厘米＝4分米
4×4×4
＝16×4
＝64（立方分米）
答：它的體積是64立方分米。
【對應(yīng)練習(xí)2】
一個正方體形狀的油箱，從里面測量其棱長為8分米，這個油箱可以裝汽油多少升？
解析：
8×8×8＝512（立方分米）
512立方分米＝512升
答：這個油箱可以裝汽油512升。
【對應(yīng)練習(xí)3】
一塊棱長20厘米的冰塊，它的體積是多少立方分米？
解析：
20×20×20＝8000（立方厘米）
8000立方厘米＝8立方分米
答：它的體積是8立方分米。
【考點五】體積的擴(kuò)倍問題。
【方法點撥】
長方體或正方體的長、寬、高同時擴(kuò)大幾倍，體積就會擴(kuò)大倍數(shù)的立方倍。
【典型例題】
長、寬、高各擴(kuò)大2倍，體積就會擴(kuò)大到原來的（ 8 ）倍。
正方體的棱長擴(kuò)大2倍，則體積擴(kuò)大（ 8）倍。
【對應(yīng)練習(xí)1】
正方體的棱長擴(kuò)大3倍，它的體積就擴(kuò)大（ 27 ）倍。
【對應(yīng)練習(xí)2】
一個長方體的長、寬、高都擴(kuò)大到原來的2倍，表面積就擴(kuò)大到原來的( )倍，體積擴(kuò)大到原來的( )倍。
解析：4；8



【考點六】長方形折疊問題。
【方法點撥】
求出對應(yīng)的長、寬、高即可。
【典型例題】
一塊長、寬的長方形鐵皮（如下圖），從四個角各切掉一個邊長的正方形，然后做成盒子。

（1）這個盒子用了多少平方厘米的鐵皮？
（2）它的容積是多少？
解析：
（1）80×40－10×10×4
＝3200－400
＝2800（平方厘米）
答：這個盒子用了2800平方厘米的鐵皮。
（2）

（立方厘米）
答：它的容積是12000立方厘米。
【對應(yīng)練習(xí)1】
在一張長 25 分米、寬 20 分米的長方形鐵皮的四個角上各剪去一個邊長是 5 分米的正方形，然后折成一個長方體無蓋鐵盒，這個鐵盒的容積是多少？（鐵皮厚度忽略不計）
解析：
長：25-5×2=15（分米）
寬：20-5×2=10（分米）
高：5分米
答：略。
【對應(yīng)練習(xí)2】
一塊長方形鐵皮（如圖），從四個角各切掉一個邊長為3cm的正方形，然后做成盒子．這個盒子用了多少鐵皮？它的容積有多少？

解析：表面積：26×21-3×3×4=510（平方厘米）
體積：（26-3×2）×（21-3×2）×3=900（立方厘米）
答：略。
【對應(yīng)練習(xí)3】
在如圖所示的長方形鐵皮四角分別剪去一個邊長為的正方形后，正好可以折成一個無蓋的鐵盒，這個鐵盒的表面積是多少？

解析：40×30-4×4×4=1136（平方厘米）
答：略。
【考點七】等積變化問題一：熔鑄問題。
【方法點撥】
長方體和正方體之間經(jīng)過熔鑄、鍛造，其形狀發(fā)生了改變，但是體積是不變的。
【典型例題】
一個正方體實心鐵塊的棱長總和是48分米，現(xiàn)將它熔鑄成一個底面積是32平方分米的實心長方體鐵塊，熔鑄成的實心長方體鐵塊的高是多少分米？
解析：
48÷12＝4（分米）
4×4×4÷32
＝16×4÷32
＝64÷32
＝2（分米）
答：熔鑄成的實心長方體鐵塊的高是2分米。
【對應(yīng)練習(xí)1】
把一塊棱長為10厘米的正方體鋼坯，鍛造成一個長2.5分米，寬2分米的長方體鋼板，這塊鋼板有多厚？（損耗不計）
解析：
10×10×10＝1000（立方厘米）＝1（立方分米）
1÷（2.5×2）
＝1÷5
＝0.2（分米）
答：這塊鋼板有0.2分米厚。
【對應(yīng)練習(xí)2】
因為需要，工廠把一個棱長為6分米的正方體鋼坯鍛造成了一個長18分米、寬4分米的長方體鋼坯，這個新鋼坯的高是多少分米？
解析：
6×6×6÷18÷4
＝216÷18÷4
＝3（分米）
答：這個新鋼坯的高是3分米。
【對應(yīng)練習(xí)3】
把一塊棱長為10厘米的正方體鋼坯，鍛造成一個長2.5分米，寬2分米的長方體鋼板，這塊鋼板有多厚？（損耗不計）
解析：
10×10×10＝1000（立方厘米）＝1（立方分米）
1÷（2.5×2）
＝1÷5
＝0.2（分米）
答：這塊鋼板有0.2分米厚。
【考點八】等積變化問題二：倒水問題。
【方法點撥】
長方體和正方體中水的互相轉(zhuǎn)移，其形狀發(fā)生了改變，但是體積是不變的。
【典型例題】
一個正方體玻璃缸，棱長6分米，用它裝滿水，再把水全部倒入一個底面積為30平方分米，高為10分米的長方體水槽中，水深多少？
解析：
6×6×6÷30
＝216÷30
＝7.2（分米）
答：水深7.2分米。
【對應(yīng)練習(xí)】
一個棱長是12分米的正方體魚缸，里面裝滿水，把水倒入一個長為18分米，寬為10分米，高為12分米的長方體魚缸里，水有多深？（魚缸厚度忽略不計）
解析：
12×12×12÷（18×10）
＝1728÷180
＝9.6（分米）
答：水深9.6分米。
【考點九】等積變化問題三：底面變化問題。
【方法點撥】
水在長方體中不同位置的放置，底面在改變，但體積始終不變。
【典型例題】
如下圖所示，密閉的容器中裝有5厘米深的水。如果以這個容器的右側(cè)面為底面把容器豎起來，這時水深多少厘米？

解析：
30×10×5÷（10×15）
＝300×5÷150
＝1500÷150
＝10（厘米）
答：這時水深10厘米。
【對應(yīng)練習(xí)1】
有一個長方體容器，長40厘米，寬20厘米，高15厘米，里面的水深6厘米。如果把這個容器蓋緊，再朝左豎起來放置，這時水深是多少厘米？

解析：
40×20×6
＝800×6
＝4800（立方厘米）
4800÷20÷15
＝240÷15
＝16（厘米）
答：豎起來后水深是16厘米。
【對應(yīng)練習(xí)2】
一個長方體的容器（如圖），里面的水深8厘米。把這個容器蓋緊后豎放，現(xiàn)在的底面長10厘米、寬8厘米，這時里面的水深是多少厘米？

解析：
20×10×8÷（10×8）
＝200×8÷80
＝1600÷80
＝20（厘米）
答：這時里面的水深是20厘米。
【考點十】表面積增減變化問題中的體積：拼切問題。
【方法點撥】
1.切片問題：
（1）切一刀增加兩個切面，沿著不同的方向切，多出的表面積一般是不一樣的，其中正方體比較特殊，它的表面積的增減變化都是都是正方形在進(jìn)行變化，相對比較簡單。
（2）刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。
2.拼接問題：
（1）長方體或正方體的拼接會使表面積減少，兩個正方體的拼接，有兩個重合面，會減少兩個正方形的面積，同理，三個正方體的拼接會減少四個正方形的面積，與切片問題類似，可以先判斷刀數(shù)，再根據(jù)刀數(shù)去推正方形的個數(shù)，但是長方體的拼接要根據(jù)不同的拼接面來判斷具體減少的面積。
（2）段數(shù)-1=刀數(shù)；刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。
【典型例題】
一根長1米的長方體木料鋸成2段后，表面積增加了6平方分米。這根木料的體積是多少立方分米？如果每立方分米木料重1.5千克，這根木料重多少千克？
解析：
1米＝10分米
6÷2×10
＝3×10
＝30（立方分米）
1.5×30＝45（千克）
答：這根木料的體積是30立方分米，這根木料重45千克。
【對應(yīng)練習(xí)1】
城關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)將四個大小相同的正方體粘成一個長方體（如圖）后，表面積減少54平方厘米，求長方體的表面積和體積。

解析：
54÷6＝9（平方厘米）
3×3＝9（平方厘米）
所以，正方體棱長是3厘米，那么有：
長方體長：4×3＝12（厘米）
長方體表面積：12×3×4＋3×3×2
＝144＋18
＝162（平方厘米）
長方體體積：12×3×3＝108（立方厘米）
答：它的表面積是162平方厘米，體積是108立方厘米。
【對應(yīng)練習(xí)2】
一根長12分米的木料，按下圖橫截成3段后表面積增加了100平方分米。原來這根木料的體積是多少立方分米？

解析：
（3－1）×2
＝2×2
＝4（個）
100÷4×12
＝25×12
＝300（立方分米）
答：原來這根木料的體積是300立方分米。
【考點十一】表面積增減變化問題中的體積：高的變化。
【方法點撥】
1.正方體高的變化，即棱長的增減變化，會引起正方體側(cè)面積的增減變化。
2.長方體高的變化，會引起長方體側(cè)面積的增減變化，長方體的側(cè)面指的是前后左右四個面。
【典型例題1】
一個長方體（如圖），如果高增加4厘米，就變成了棱長是10厘米的正方體。體積增加了多少立方厘米？

解析：
10×10×10－10×10×（10－4）
＝1000－100×6
＝1000－600
＝400（立方厘米）
答：體積增加了400立方厘米。
【典型例題2】
一個長方體，如果高減少3厘米就成了一個正方體，表面積比原來減少84平方厘米。原來長方體的體積是多少立方厘米？
解析：
84÷4÷3
＝21÷3
＝7（厘米）
7＋3＝10（厘米）
7×7×10
＝49×10
＝490（立方厘米）
答：原長方體的體積是490立方厘米。
【對應(yīng)練習(xí)1】
一個正方體的高增加了3厘米，得到一個新的長方體，這個長方體的表面積比原正方體的表面積增加了72平方厘米。新長方體的體積是多少？
解析：
72÷3＝24（厘米）
24÷4＝6（厘米）
6＋3＝9（厘米）
6×6×9＝324（立方厘米）
答：新長方體的體積是324立方厘米。
【對應(yīng)練習(xí)2】
一個長方體，如果高增加3厘米，那么就變成一個正方體。這時表面積比原來增加84平方厘米。原來長方體的體積是多少立方厘米？

解析：
根據(jù)分析得，84÷4＝21（平方厘米）
21÷3＝7（厘米）
7－3＝4（厘米）
7×7×4＝196（立方厘米）
答：原來長方體的體積是196立方厘米。



【考點十二】排水法一：基礎(chǔ)問題。
【方法點撥】
形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積：
排水法的公式：V物體 =V現(xiàn)在－V原來
也可以 V物體 =S×(h現(xiàn)在- h原來)
V物體 = S×h升高
【典型例題】
在一個底面長20厘米，寬15厘米的長方體水箱中，水面高度為10厘米，一塊石頭后水面上升到14厘米。這塊石頭的體積是多少？
解析：
20×15×（14－10）
＝300×4
＝1200（立方厘米）
答：這塊石頭的體積是1200立方厘米。
【對應(yīng)練習(xí)1】
一個長方體玻璃容器，從里面量長、寬都是2分米，向容器中倒入6升水，再把一個土豆放入水中，這時量得容器中的水深18厘米，這個土豆的體積是多少？
解析：
6升＝6立方分米
18厘米＝1.8分米
2×2×1.8
＝4×1.8
＝7.2（立方分米）
7.2－6＝1.2（立方分米）
答：這個土豆的體積是1.2立方分米。
【對應(yīng)練習(xí)2】
一個正方體玻璃容器，從內(nèi)部測量棱長是20厘米，向容器中倒入一定的水，水面高度恰好是15厘米。再向容器中放入一個形狀不規(guī)則的鐵塊，鐵塊完全浸沒于水中，發(fā)現(xiàn)水面高度變成了18厘米。求這個鐵塊的體積。
解析：
20×20×（18－15）
＝400×3
＝1200（立方厘米）
答：這個鐵塊的體積是1200立方厘米。
【對應(yīng)練習(xí)3】
在一個長16厘米，寬16厘米，高10厘米的玻璃缸里放一個鐵球后再注滿水淹沒它，然后取出鐵球，這時水面下降了3厘米。鐵球的體積是多少？
解析：
16×16×3
＝256×3
＝768（立方厘米）
答：鐵球的體積是768立方厘米。
【考點十三】排水法二：反求水深。
【方法點撥】
形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積：
排水法的公式：V物體 =V現(xiàn)在－V原來
也可以 V物體 =S×(h現(xiàn)在- h原來)
V物體 = S×h升高
【典型例題】
一個長為25厘米，寬為18厘米的長方形玻璃缸，水深20厘米，水下有一個棱長為3厘米的正方體鐵塊，若取出鐵塊，現(xiàn)在水深多少厘米？
解析：
現(xiàn)在水的體積：25×18×20=9000（立方厘米）
正方體鐵塊的體積：3×3×3=27（立方厘米）
取出鐵塊后的體積：9000-27=8973（立方厘米）
現(xiàn)在水深：8973÷25÷18=19.94（厘米）
答：略。

【對應(yīng)練習(xí)1】
在一個長16分米、寬8分米、高7分米的長方體玻璃缸里放水，水深5分米。如果在里面浸沒一塊棱長是4分米的正方體鐵塊，水面上升多少分米？
解析：
4×4×4÷（16×8）=0.5（分米）
答：略。
【對應(yīng)練習(xí)2】
一個長方體水族箱從里面量長，寬。如果每條金魚的體積是，向水族箱中放入條金魚(水沒有溢出)后，水族箱中的水位上升了多少厘米？
解析：
640×3÷（32×25）=2.4（厘米）
答：略。
【考點十四】排水法三：溢水問題。
【方法點撥】
物體完全浸沒在水中，如果物體的體積超過空白部分的體積，就會溢出，求溢出部分的體積需要用物體的體積減去空白部分的體積。
【典型例題】
科學(xué)實驗課上，樂樂先往一個棱長為2分米的正方體玻璃容器中倒入7升的水，再往容器中放入一塊長15厘米、寬10厘米，高8厘米的鐵塊。請問。放入鐵塊后，玻璃容器里的水會溢出嗎？如果會，溢出的水有多少升？
解析：
2×2×2＝8（立方分米）
7升＝7立方分米
15×10×8
＝150×8
＝1200（立方厘米）
1200立方厘米＝1.2立方分米
7＋1.2＝8.2（立方分米）
8.2立方分米＞8立方分米
8.2－8＝0.2（立方分米）
0.2立方分米＝0.2升
答：玻璃容器里的水會溢出，溢出的水有0.2升。
【對應(yīng)練習(xí)1】
一個長方體的玻璃水箱，長9分米，寬4分米，高5分米，水深3分米。如果放入一個棱長4分米的正方體鐵塊，水箱里的水會溢出來嗎？為什么？

解析：
4×4×4
＝16×4
＝64（立方分米）
9×4×（5－3）
＝36×2
＝72（立方分米）
64＜72
答：水箱里的水不會溢出來，因為鐵塊的體積小于無水部分的體積。
【對應(yīng)練習(xí)2】
一個長方體玻璃缸（如圖），水深6分米。如果投入一塊邊長5分米的正方體鐵塊，缸里的水會溢出多少升？

解析：
5×5×5－9×6×（8－6）
＝25×5－54×2
＝125－108
＝17（立方分米）
＝17（升）
答：缸里的水會溢出17升。
【對應(yīng)練習(xí)3】
一個長方體的玻璃缸，長8分米，寬7分米，高6分米，水深5.5分米。如果投入一塊棱長為4分米的正方形鐵塊，缸里的水溢出多少升？
解析：
4×4×4－8×7×（6－5.5）
＝64－56×0.5
＝64－28
＝36（立方分米）
36立方分米＝36升
答：缸里的水溢出36升。
【對應(yīng)練習(xí)4】
一個長方體玻璃缸，長5分米，寬4.5分米，高4分米，水深3分米，如果投入一塊棱長為3分米的正方體鐵塊后，缸里的水會溢出來嗎？溢出了多少水？
解析：
5×4.5×4－5×4.5×3
＝90－67.5
＝22.5（立方分米）
3×3×3＝27（立方分米）
27＞22.5，說明缸里的水會溢出來。
3×3×3＋5×4.5×3－5×4.5×4
＝27＋67.5－90
＝4.5（立方分米）
答：缸里的水會溢出來，溢出了4.5立方分米的水。


【考點十五】不規(guī)則及組合立體圖形的體積。
【方法點撥】
求不規(guī)則及組合立體圖形的體積，往往采用加法或減法的方式解決，即將各部分立體圖形的體積相加或用圖形整體的體積減去空白部分的體積。
【典型例題1】
工程隊要澆筑一個建筑構(gòu)件（如圖），這個建筑構(gòu)件的體積是多少？

解析：
如圖所示：

6×10×2＋2×（4－2）×10
＝60×2＋2×2×10
＝120＋40
＝160（立方米）
答：這個建筑構(gòu)件的體積是160立方米。
【對應(yīng)練習(xí)1】
如圖所示，一個長方體物體的底面是正方形，中間是空心的正方形。求這個物體的體積。（請寫出主要過程）

解析：
10×10×20－5×5×20
＝100×20－25×20
＝2000－500
＝1500（cm3）
答：這個物體的體積是1500cm3。
【對應(yīng)練習(xí)2】
計算下面幾何體的體積。

解析：
2×2×2＋8×2×5
＝8＋80
＝88（cm3）
【對應(yīng)練習(xí)3】
如圖，在棱長是8dm的正方體的上面挖去一個棱長4dm的正方體，求挖去以后圖形的表面積和體積。

解析：
表面積：4×4×4+8×8×6=448（平方分米）
體積：8×8×8-4×4×4=448（立方分米）
【對應(yīng)練習(xí)4】
如圖，求下面零件的體積。（單位：厘米）

解析：8×12×4-4×4×4
=384-64
=320（立方厘米）






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