一、單選題
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，若對(duì)任意，則（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
3．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為_(kāi)__________.
三、解答題
4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：
(1)；
(2)；
5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：
(1)；
(2)若，則．
6．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范圍．
7．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．
（1）畫(huà)出和的圖像；
（2）若，求a的取值范圍．
8．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）畫(huà)出的圖像；
（2）求不等式的解集．
9．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范圍.
10．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）求，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
11．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，解不等式．
12．（2019·全國(guó)·高考真題）已知
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）若時(shí)，，求的取值范圍.
13．（2019·全國(guó)·高考真題）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：
（1）；
（2）．
14．（2019·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，證明：或.
15．（2018·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范圍.
16．（2018·全國(guó)·高考真題）已知.
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）若時(shí)不等式成立，求的取值范圍.
17．（2018·全國(guó)·高考真題）
設(shè)函數(shù)．
（1）畫(huà)出的圖像；
（2）當(dāng)，，求的最小值．
參考答案：
1．B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【詳解】[方法一]：直接法
因?yàn)椋?，故選：B.
[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法
代入集合，可得，不滿足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿足，排除C.
故選：B.
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；
方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解．
2．D
【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為，再結(jié)合畫(huà)圖求解．
【詳解】由題意有：對(duì)任意的，有恒成立．
設(shè)，，
即的圖像恒在的上方（可重合），如下圖所示：
由圖可知，，，或，，
故選：D．
3．
【分析】設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，再結(jié)合柯西不等式即可得解.
【詳解】由題意，設(shè)，
則，即，
又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
解決本題的關(guān)鍵是由平面向量的知識(shí)轉(zhuǎn)化出之間的等量關(guān)系，再結(jié)合柯西不等式變形即可求得最小值.
4．(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用三元均值不等式即可證明；
（2）利用基本不等式及不等式的性質(zhì)證明即可．
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，則，，，
所以，
即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
（2）證明：因?yàn)椋?，?br>所以，，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
5．(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）方法一：根據(jù)，利用柯西不等式即可得證；
（2）由（1）結(jié)合已知可得，即可得到，再根據(jù)權(quán)方和不等式即可得證.
【詳解】（1）[方法一]：【最優(yōu)解】柯西不等式
由柯西不等式有，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以.
[方法二]：基本不等式
由，，， ，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以.
（2）證明：因?yàn)?，，，，由?）得，
即，所以，
由權(quán)方和不等式知，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
所以.
【點(diǎn)睛】（1）方法一：利用柯西不等式證明，簡(jiǎn)潔高效，是該題的最優(yōu)解；
方法二：對(duì)于柯西不等式不作為必須掌握內(nèi)容的地區(qū)同學(xué)，采用基本不等式累加，也是不錯(cuò)的方法．
6．（1）.（2）.
【分析】（1）利用絕對(duì)值的幾何意義求得不等式的解集.
（2）利用絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)，由此求得的取值范圍.
【詳解】（1）[方法一]：絕對(duì)值的幾何意義法
當(dāng)時(shí)，，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和，
則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于，
當(dāng)或時(shí)所對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6，
∴數(shù)軸上到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于大于等于6得到所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或，
所以的解集為.
[方法二]【最優(yōu)解】：零點(diǎn)分段求解法
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，，解得．
綜上，的解集為．
（2）[方法一]：絕對(duì)值不等式的性質(zhì)法求最小值
依題意，即恒成立，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
,
故，
所以或，
解得.
所以的取值范圍是.
[方法二]【最優(yōu)解】：絕對(duì)值的幾何意義法求最小值
由是數(shù)軸上數(shù)x表示的點(diǎn)到數(shù)a表示的點(diǎn)的距離，得，故，下同解法一.
[方法三]：分類討論+分段函數(shù)法
當(dāng)時(shí)，
則，此時(shí)，無(wú)解．
當(dāng)時(shí)，
則，此時(shí)，由得，．
綜上，a的取值范圍為．
[方法四]：函數(shù)圖象法解不等式
由方法一求得后，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)和，
即和，
如圖，兩個(gè)函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
由圖易知，則．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）解絕對(duì)值不等式的方法有幾何意義法，零點(diǎn)分段法．
方法一采用幾何意義方法，適用于絕對(duì)值部分的系數(shù)為1的情況，
方法二使用零點(diǎn)分段求解法，適用于更廣泛的情況，為最優(yōu)解；
（2）方法一，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求得，利用不等式恒成立的意義得到關(guān)于的不等式，然后利用絕對(duì)值的意義轉(zhuǎn)化求解；
方法二與方法一不同的是利用絕對(duì)值的幾何意義求得的最小值，最有簡(jiǎn)潔快速，為最優(yōu)解法
方法三利用零點(diǎn)分區(qū)間轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最小值，要注意函數(shù)中的各絕對(duì)值的零點(diǎn)的大小關(guān)系，采用分類討論方法，使用與更廣泛的情況；
方法四與方法一的不同在于得到函數(shù)的最小值后，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解關(guān)于的不等式.
7．（1）圖像見(jiàn)解析；（2）
【分析】（1）分段去絕對(duì)值即可畫(huà)出圖像；
（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將向左平移可滿足同角，求得過(guò)時(shí)的值可求.
【詳解】（1）可得，畫(huà)出圖像如下：
，畫(huà)出函數(shù)圖像如下：
（2），
如圖，在同一個(gè)坐標(biāo)系里畫(huà)出圖像，
是平移了個(gè)單位得到，
則要使，需將向左平移，即，
當(dāng)過(guò)時(shí)，，解得或（舍去），
則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個(gè)單位，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.
8．（1）詳解解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)分段討論法，即可寫(xiě)出函數(shù)的解析式，作出圖象；
（2）作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)椋鞒鰣D象，如圖所示：
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：
由，解得．
所以不等式的解集為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查畫(huà)分段函數(shù)的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，屬于基礎(chǔ)題．
9．（1）或；（2）.
【分析】（1）分別在、和三種情況下解不等式求得結(jié)果；
（2）利用絕對(duì)值三角不等式可得到，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，解得：；
當(dāng)時(shí)，，無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，，解得：；
綜上所述：的解集為或.
（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，解得：或，
的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求解、利用絕對(duì)值三角不等式求解最值的問(wèn)題，屬于?？碱}型.
10．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入計(jì)算即可；
（2）先判斷的取值范圍，再代入分段函數(shù)解析式，得到的具體不等式寫(xiě)法，解不等式即可.
【詳解】解：（1）因?yàn)椋?br>所以，因?yàn)椋?br>所以.
（2）因?yàn)椋?br>則，
因?yàn)?，所以?br>即，解得.
11．
【分析】根據(jù)絕對(duì)值定義化為三個(gè)方程組，解得結(jié)果
【詳解】或或
或或
所以解集為：
【點(diǎn)睛】本題考查分類討論解含絕對(duì)值不等式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
12．（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)，將原不等式化為，分別討論，，三種情況，即可求出結(jié)果；
（2）分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為；
當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，即，顯然成立，
此時(shí)解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，此時(shí)解集為空集；
當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，即，顯然不成立；此時(shí)解集為空集；
綜上，原不等式的解集為；
（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以由可得?br>即，顯然恒成立；所以滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)， 顯然不能成立，所以不滿足題意；
綜上，的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于?？碱}型.
13．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）利用將所證不等式可變?yōu)樽C明：，利用基本不等式可證得，從而得到結(jié)論；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可將式轉(zhuǎn)化為，在取等條件一致的情況下，可得結(jié)論.
【詳解】（1）
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
，即：
（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
又，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)同時(shí)成立）
又
【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式進(jìn)行不等式的證明問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)于基本不等式的變形和應(yīng)用能力，需要注意的是在利用基本不等式時(shí)需注意取等條件能否成立.
14．(1) ；(2)見(jiàn)詳解.
【分析】(1)根據(jù)條件，和柯西不等式得到，再討論是否可以達(dá)到等號(hào)成立的條件.
(2)恒成立問(wèn)題，柯西不等式等號(hào)成立時(shí)構(gòu)造的代入原不等式，便可得到參數(shù)的取值范圍.
【詳解】(1) [方法一]【利用函數(shù)的凹凸性和琴生不等式求最值】
構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)槭巧习己瘮?shù)，利用琴生不等式有，
所以，變形即得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)，等號(hào)成立．
[方法二]【建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的幾何意義求最值】
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)．由知，動(dòng)點(diǎn)在平面上，又的幾何意義表示動(dòng)點(diǎn)與空間點(diǎn)的距離的平方，且平面的一個(gè)法向量為．所以當(dāng)平面時(shí)，取得最小值，其最小值為．
[方法三]【利用基本不等式求最值】
，且．令，則．所以．
當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)．
[方法四]【最優(yōu)解，利用基本不等式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】
設(shè)．
因?yàn)椋?br>所以．
設(shè)，則，此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，取得最小值．
(2)因?yàn)椋?br>所以.
根據(jù)柯西不等式等號(hào)成立條件，當(dāng)，
即時(shí)有：
成立.
所以成立，所以有或.
【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：琴生不等式和函數(shù)的凹凸性體現(xiàn)了整體性的思想的應(yīng)用；
方法二：利用空間向量的方法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的方法；
方法三：基本不等式求最值要求變形的技巧較高；
方法四：基本不等式+二次函數(shù)的方法求最值是常見(jiàn)的求最值的方法.
15．(1)；(2) .
【詳解】分析：（1）先根據(jù)絕對(duì)值幾何意義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡(jiǎn)不等式為，再根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍．
詳解：（1）當(dāng)時(shí)，
可得的解集為．
（2）等價(jià)于．
而，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故等價(jià)于．
由可得或，所以的取值范圍是．
點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向．
16．（1）；（2）．
【分析】（1）方法一：將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點(diǎn)分段法將解析式化為，分類討論即可求得不等式的解集；
（2）方法一：根據(jù)題中所給的，其中一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)可以去掉，不等式可以化為時(shí)，分情況討論即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）［方法一］：【通性通法】零點(diǎn)分段法
當(dāng)時(shí)，，即，所以不等式等價(jià)于或或，解得：．
故不等式的解集為．
［方法二］：【最優(yōu)解】數(shù)形結(jié)合法
如圖，當(dāng)時(shí)，不等式即為．
由絕對(duì)值的幾何意義可知，表示x軸上的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離減去到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離．結(jié)合數(shù)軸可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故不等式的解集為．
（2）［方法一］：【通性通法】分類討論
當(dāng)時(shí)，成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)，成立．
若，則當(dāng)時(shí)，；
若，由得，，解得：，所以，故．
綜上，的取值范圍為．
［方法二］：平方法
當(dāng)時(shí)，不等式成立，等價(jià)于時(shí)，成立，即成立，整理得．
當(dāng)時(shí)，不等式不成立；
當(dāng)時(shí)，，不等式解集為空集；
當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得．
由，解得．故a的取值范圍為．
［方法三］：【最優(yōu)解】分離參數(shù)法
當(dāng)時(shí)，不等式成立，等價(jià)于時(shí)，成立，
即，解得：，而，所以．故a的取值范圍為．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：利用零點(diǎn)分段法是解決含有兩個(gè)以及以上絕對(duì)值不等式的常用解法，是通性通法；
方法二：利用絕對(duì)值的幾何意義解決特殊類型的絕對(duì)值不等式，直觀簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解．
（2）方法一：分類討論解出絕對(duì)值不等式，利用是不等式解集的子集求出，是通性通法；
方法二：本題將絕對(duì)值不等式平方，轉(zhuǎn)化為解含參的不等式，利用是不等式解集的子集求出，雖可解出，但是增加了題目的難度；
方法三：利用分離參數(shù)，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立最值問(wèn)題，思想簡(jiǎn)單常見(jiàn)，是該題的最優(yōu)解．
17．（1）見(jiàn)解析
（2）
【詳解】分析：（1）將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，再畫(huà)出在各自定義域的圖像即可．
（2）結(jié)合（1）問(wèn)可得a，b范圍，進(jìn)而得到a+b的最小值
詳解：（1） 的圖像如圖所示．
（2）由（1）知，的圖像與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，在成立，因此的最小值為．
點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)圖像的畫(huà)法，考查由不等式求參數(shù)的范圍，屬于中檔題．

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五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編13-等式與不等式（含解析）

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編13-等式與不等式（含解析）
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