一、單選題
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）
A．甲與丙相互獨立B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立D．丙與丁相互獨立
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）某物理量的測量結果服從正態(tài)分布，下列結論中不正確的是（ ）
A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大
B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
4．（2018·全國·高考真題）某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則
A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
5．（2019·浙江·高考真題）設，則隨機變量的分布列是：
則當在內增大時
A．增大B．減小
C．先增大后減小D．先減小后增大
二、多選題
6．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）信息熵是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（ ）
A．若n=1，則H(X)=0
B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大
C．若，則H(X)隨著n的增大而增大
D．若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)
三、填空題
7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．
8．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_________；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為_________．
9．（2019·全國·高考真題）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．
四、解答題
10．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：
(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．
（?。┳C明：；
（ⅱ）利用該調查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y果給出R的估計值．
附，
11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總人口的.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
13．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；
(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）
14．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．
（1）已知，求；
（2）設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；
（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結論的實際含義．
15．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.
（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.
16．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在核酸檢測中, “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.
現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.
（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數(shù)，求X的
分布列與數(shù)學期望E(X).
(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)
17．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
18．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設計了相應的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設所有學生對活動方案是否支持相互獨立．
（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）將該校學生支持方案二的概率估計值記為，假設該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為，試比較與 的大小．（結論不要求證明）
19．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系式和Xn的數(shù)學期望E(Xn)(用 n表示) ．
20．（2019·全國·高考真題）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.
21．（2019·全國·高考真題）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．
(i)證明：為等比數(shù)列；
(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．
22．（2018·全國·高考真題）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立．
（1）記件產品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；
（2）現(xiàn)對一箱產品檢驗了件，結果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用．
（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;
（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？
23．（2019·天津·高考真題）設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.
（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.
24．（2018·天津·高考真題）已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查.
（I）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望；
（ii）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.
25．（2019·北京·高考真題）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：
（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．
五、雙空題
26．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．
27．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為____________；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為____________
28．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則___________，___________.
29．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為____________，3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為______________．
30．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）盒子里有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數(shù)為，則_______；______．
不夠良好
良好
病例組
40
60
對照組
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
交付金額（元）
支付方式
（0,1000]
（1000,2000]
大于2000
僅使用A
18人
9人
3人
僅使用B
10人
14人
1人
參考答案：
1．D
【分析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率.并對三者進行比較即可解決
【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，
記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為，
則此時連勝兩盤的概率為
則
；
記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，
則
記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為
則
則
即，，
則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；
與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關.選項A判斷錯誤.
故選：D
2．B
【分析】根據(jù)獨立事件概率關系逐一判斷
【詳解】 ，
故選：B
【點睛】判斷事件是否獨立，先計算對應概率，再判斷是否成立
3．D
【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項判斷即可得解.
【詳解】對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測量結果落在內的概率越大，故A正確；
對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；
對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；
對于D，因為該物理量一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.
故選：D.
4．B
【詳解】分析：判斷出為二項分布，利用公式進行計算即可．
或
，
,可知
故答案選B.
點睛：本題主要考查二項分布相關知識，屬于中檔題．
5．D
【分析】研究方差隨變化的增大或減小規(guī)律，常用方法就是將方差用參數(shù)表示，應用函數(shù)知識求解.本題根據(jù)方差與期望的關系，將方差表示為的二次函數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質解題.題目有一定綜合性，注重重要知識、基礎知識、運算求解能力的考查.
【詳解】方法1：由分布列得，則
，則當在內增大時，先減小后增大.
方法2：則
故選D.
【點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是數(shù)學期望、方差以及二者之間的關系掌握不熟，無從著手；二是計算能力差，不能正確得到二次函數(shù)表達式.
6．AC
【分析】對于A選項，求得，由此判斷出A選項；對于B選項，利用特殊值法進行排除；對于C選項，計算出，利用對數(shù)函數(shù)的性質可判斷出C選項；對于D選項，計算出 ，利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質判斷出D選項.
【詳解】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.
對于B選項，若，則，，
所以，
當時，，
當時，，
兩者相等，所以B選項錯誤.
對于C選項，若，則
，
則隨著的增大而增大，所以C選項正確.
對于D選項，若，隨機變量的所有可能的取值為，且 （ ）.
.
由于，所以 ，所以 ，
所以，
所以，所以D選項錯誤.
故選：AC
【點睛】本小題主要考查對新定義“信息熵”的理解和運用，考查分析、思考和解決問題的能力，涉及對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質的運用，屬于難題.
7．##．
【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質即可解出．
【詳解】因為，所以，因此．
故答案為：．
8．
【分析】根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率關系，即可求出兩球都落入盒子的概率；同理可求兩球都不落入盒子的概率，進而求出至少一球落入盒子的概率.
【詳解】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，
且兩球是否落入盒子互不影響，
所以甲、乙都落入盒子的概率為，
甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，
所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.
故答案為：；.
【點睛】本題主要考查獨立事件同時發(fā)生的概率，以及利用對立事件求概率，屬于基礎題.
9．0.18
【分析】本題應注意分情況討論，即前五場甲隊獲勝的兩種情況，應用獨立事件的概率的計算公式求解．題目有一定的難度，注重了基礎知識、基本計算能力及分類討論思想的考查．
【詳解】前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是
前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是
綜上所述，甲隊以獲勝的概率是
【點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊以獲勝的兩種情況；易錯點之三是是否能夠準確計算．
10．(1)答案見解析
(2)（i）證明見解析；(ii)；
【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異；(2)(i) 根據(jù)定義結合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結合已知數(shù)據(jù)求.
【詳解】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.
（2）(i)因為，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
11．(1)；
(2)分布列見解析，.
【分析】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；
（2）依題可知，的可能取值為，再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望．
【詳解】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為
．
（2）依題可知，的可能取值為，所以，
,
，
，
.
即的分布列為
期望.
12．(1)歲；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應區(qū)間的中點值的和即可求出；
（2）設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；
（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．
【詳解】（1）平均年齡
（歲）．
（2）設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以
．
（3）設“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：
,
則由條件概率公式可得
從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．
13．(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由頻率估計概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可計算出X的數(shù)學期望.
(3) 計算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.
【詳解】（1）由頻率估計概率可得
甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，
故答案為0.4
（2）設甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列為
∴
（3）丙奪冠概率估計值最大.
因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.
14．（1）1；（2）見解析；（3）見解析.
【分析】（1）利用公式計算可得.
（2）利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，結合及極值點的范圍可得的最小正零點.
（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應的理解說明.
【詳解】（1）.
（2）設，
因為，故，
若，則，故.
，
因為，，
故有兩個不同零點，且，
且時，；時，；
故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
若，因為在為增函數(shù)且，
而當時，因為在上為減函數(shù)，故，
故為的一個最小正實根，
若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，
綜上，若，則.
若，則，故.
此時，，
故有兩個不同零點，且，
且時，；時，；
故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
而，故，
又，故在存在一個零點，且.
所以為的一個最小正實根，此時，
故當時，.
（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.
15．（1）見解析；（2）類．
【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學期望，比較兩個期望的大小即可．
【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．
；
；
．
所以的分布列為
（2）由（1）知，．
若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．
；
；
．
所以．
因為，所以小明應選擇先回答類問題．
16．（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．
【分析】（1）①由題設條件還原情境，即可得解；
②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出兩名感染者在一組的概率，進而求出，即可得解.
【詳解】（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次；
所以總檢測次數(shù)為20次；
②由題意，可以取20，30，
，，
則的分布列:
所以；
（2）由題意，可以取25，30，
兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，
則.
17．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；
（2）計算出四局以內結束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列舉出甲贏的基本事件，結合獨立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.
【詳解】（1）記事件甲連勝四場，則；
（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，
則四局內結束比賽的概率為
，
所以，需要進行第五場比賽的概率為；
（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，
記事件甲贏，記事件丙贏，
則甲贏的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲贏的概率為.
由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，
所以丙贏的概率為.
【點睛】本題考查獨立事件概率的計算，解答的關鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計算能力，屬于中等題.
18．（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；
（Ⅱ）,（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率估計概率，即得結果；
（Ⅱ）先分類，再根據(jù)獨立事件概率乘法公式以及分類計數(shù)加法公式求結果；
（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計概率，即得大小.
【詳解】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，
該校女生支持方案一的概率為；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個男生支持方案一，（2）僅有一個男生支持方案一，一個女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;
（Ⅲ）
【點睛】本題考查利用頻率估計概率、獨立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
19．（1）（2）
【分析】（1）直接根據(jù)操作，根據(jù)古典概型概率公式可得結果；
（2）根據(jù)操作，依次求，即得遞推關系，構造等比數(shù)列求得，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求結果.
【詳解】（1），
，
.
（2），
，
因此，
從而，
即.
又的分布列為
故.
【點睛】本題考查古典概型概率、概率中遞推關系、構造法求數(shù)列通項、數(shù)學期望公式，考查綜合分析求解能力，屬難題.
20．（1）；（2）0.1
【分析】(1)本題首先可以通過題意推導出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結果；
(2)本題首先可以通過題意推導出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結果．
【詳解】(1)由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”
所以
(2)由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”
所以
【點睛】本題考查古典概型的相關性質，能否通過題意得出以及所包含的事件是解決本題的關鍵，考查推理能力，考查學生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題．
21．（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.
【分析】（1）首先確定所有可能的取值，再來計算出每個取值對應的概率，從而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，從而整理出符合等比數(shù)列定義的形式，問題得證；（ii）列出證得的等比數(shù)列的通項公式，采用累加的方式，結合和的值可求得；再次利用累加法可求出.
【詳解】（1）由題意可知所有可能的取值為：，，
；；
則的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以為首項，為公比的等比數(shù)列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最終認為甲藥更有效的.由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.
【點睛】本題考查離散型隨機變量分布列的求解、利用遞推關系式證明等比數(shù)列、累加法求解數(shù)列通項公式和數(shù)列中的項的問題.本題綜合性較強，要求學生能夠熟練掌握數(shù)列通項求解、概率求解的相關知識，對學生分析和解決問題能力要求較高.
22．（1）；（2）（i）；（ii）應該對余下的產品作檢驗.
【分析】（1）方法一：利用獨立重復實驗成功次數(shù)對應的概率，求得，之后對其求導，利用導數(shù)在相應區(qū)間上的符號，確定其單調性，從而得到其最大值點，這里要注意的條件；
（2）方法一：先根據(jù)第一問的條件，確定出，在解（i）的時候,先求件數(shù)對應的期望，之后應用變量之間的關系，求得賠償費用的期望；在解（ii）的時候，就通過比較兩個期望的大小，得到結果.
【詳解】（1）［方法一］：【通性通法】利用導數(shù)求最值
件產品中恰有件不合格品的概率為.
因此.
令，得.當時，；當時，.
所以的最大值點為；
［方法二］：【最優(yōu)解】均值不等式
由題可知，20件產品中恰有2件不合格品的概率為．
，當且僅當，即可得所求．
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的件產品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.
（ii）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.
由于，故應該對余下的產品作檢驗.
【整體點評】（1）方法一：利用導數(shù)求最值，是求函數(shù)最值的通性通法；
方法二：根據(jù)所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本題的最優(yōu)解．
23．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
【分析】(Ⅰ)由題意可知分布列為二項分布，結合二項分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項分布的期望公式求解數(shù)學期望即可；
(Ⅱ)由題意結合獨立事件概率公式計算可得滿足題意的概率值.
【詳解】(Ⅰ)因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為，
故，從面.
所以，隨機變量的分布列為：
隨機變量的數(shù)學期望.
(Ⅱ)設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.
且.
由題意知事件與互斥，
且事件與，事件與均相互獨立，
從而由(Ⅰ)知：
.
【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.
24．（Ⅰ）從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見解析；（ii）．
【詳解】分析：（Ⅰ）由分層抽樣的概念可知應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．且分布列為超幾何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．據(jù)此求解分布列即可，計算相應的數(shù)學期望為．
（ii）由題意結合題意和互斥事件概率公式可得事件A發(fā)生的概率為．
詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，
由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，
因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，隨機變量X的分布列為
隨機變量X的數(shù)學期望．
（ii）設事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；
事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，
則A=B∪C，且B與C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A發(fā)生的概率為．
點睛：本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型．進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下關系式巧解：(1) ；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．
25．(Ⅰ) ；
(Ⅱ)見解析；
(Ⅲ)見解析.
【分析】(Ⅰ)由題意利用古典概型計算公式可得滿足題意的概率值；
(Ⅱ)首先確定X可能的取值，然后求得相應的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學期望即可.
(Ⅲ)由題意結合概率的定義給出結論即可.
【詳解】(Ⅰ)由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：人，則：
該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率.
(Ⅱ)由題意可知，
僅使用A支付方法的學生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，
僅使用B支付方法的學生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，
且X可能的取值為0,1,2.
，，，
X的分布列為：
其數(shù)學期望：.
(Ⅲ)我們不認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.理由如下：
隨機事件在一次隨機實驗中是否發(fā)生是隨機的，是不能預知的，隨著試驗次數(shù)的增多，頻率越來越穩(wěn)定于概率．
學校是一個相對消費穩(wěn)定的地方，每個學生根據(jù)自己的實際情況每個月的消費應該相對固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”.
【點睛】本題以支付方式相關調查來設置問題，考查概率統(tǒng)計在生活中的應用，考查概率的定義和分布列的應用，使學生體會到數(shù)學與現(xiàn)實生活息息相關.
26． ， ##
【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.
【詳解】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
所以,
故答案為：，.
27．
【分析】由題意結合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.
【詳解】由題意，設第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,
則.
故答案為：；.
28． 1
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根據(jù)隨機變量的分布列即可求出．
【詳解】，所以，
, 所以, 則．
由于
．
故答案為：1；．
29．
【分析】根據(jù)甲猜對乙沒有猜對可求出一次活動中，甲獲勝的概率；在3次活動中，甲至少獲勝2次分為甲獲勝2次和3次都獲勝求解.
【詳解】由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為；
則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為.
故答案為：；.
30．
【分析】先確定對應事件，再求對應概率得結果；第二空，先確定隨機變量，再求對應概率，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求結果.
【詳解】因為對應事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，
所以，
隨機變量，
，
，
所以.
故答案為：.
【點睛】本題考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、數(shù)學期望，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
X
0
1
2
3
P

0
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2




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1
2
3
X
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1
2
3
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X
0
1
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