14-空間幾何體-五年（2018-2022）高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編

這是一份14-空間幾何體-五年（2018-2022）高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編，共66頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題，雙空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編14-空間幾何體（含解析）

一、單選題
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（????）
A． B． C． D．
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（????）
A． B． C． D．
4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（????）
A． B． C． D．
5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（????）
A． B． C． D．
6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為（????）

A．8 B．12 C．16 D．20
7．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（????）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（????）

A． B． C． D．
9．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（????）
A．23 B．24 C．26 D．27
10．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（????）
A． B． C． D．
11．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（????）
A． B． C． D．
12．（2021·全國(guó)·高考真題）在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（ ）

A． B． C． D．
13．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（????）
A． B． C． D．
14．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（????）
A．26% B．34% C．42% D．50%
15．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（????）
A． B． C． D．
16．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（????）

A． B．3 C． D．
17．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（????）

A． B． C． D．
18．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級(jí)劃分如下：

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200 mm，高為300 mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過(guò)程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級(jí)是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
19．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（????）
A． B． C． D．
20．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（????）


A． B． C． D．
21．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（????）
A． B． C．1 D．
22．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（????）

A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
23．（2020·海南·高考真題）日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（????）


A．20° B．40°
C．50° D．90°
24．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（????）

A． B． C． D．
25．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（????）
A． B． C． D．
26．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（ ）

A． B． C．3 D．6
27．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（????）．

A． B． C． D．
28．（2019·全國(guó)·高考真題）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為
A． B． C． D．
29．（2018·全國(guó)·高考真題）設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為
A． B． C． D．
30．（2018·全國(guó)·高考真題）某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為

A． B． C． D．2
31．（2018·全國(guó)·高考真題）在長(zhǎng)方體中，，與平面所成的角為，則該長(zhǎng)方體的體積為
A． B． C． D．
32．（2018·全國(guó)·高考真題）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為
A． B． C． D．
33．（2018·全國(guó)·高考真題）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為
A． B． C． D．
34．（2018·全國(guó)·高考真題）中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是

A． B． C． D．
35．（2018·北京·高考真題）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為

A．1 B．2
C．3 D．4
36．（2018·浙江·高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（????）

A． B． C． D．

二、多選題
37．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（????）

A． B．
C． D．

三、填空題
38．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_(kāi)________（寫(xiě)出符合要求的一組答案即可）．

39．（2021·全國(guó)·高考真題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.
40．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_(kāi)________．
41．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.

42．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)_______．
43．（2020·海南·高考真題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn)，則三棱錐A-NMD1的體積為_(kāi)___________
44．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是 ____ cm3.

45．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知球的直徑為2，則該球的體積是______.
46．（2019·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長(zhǎng)方體的中心，分別為所在棱的中點(diǎn)，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)__________.

47．（2018·全國(guó)·高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_________．
48．（2018·全國(guó)·高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為_(kāi)_________．
49．（2019·天津·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi)_________.
50．（2019·北京·高考真題）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么該幾何體的體積為_(kāi)_________．

51．（2019·江蘇·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是_____.

52．（2018·天津·高考真題）如圖，已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐A1–BB1D1D的體積為_(kāi)_________．

53．（2018·天津·高考真題）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為_(kāi)_________.


四、解答題
54．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面ACD；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．
55．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．

(1)證明：平面；
(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．
56．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).

（1）證明：；
（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
57．（2021·全國(guó)·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.

（1）求三棱錐的體積；
（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.
58．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．

（1）證明：平面平面；
（2）若，求四棱錐的體積．
59．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．

（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.
60．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．
61．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．
62．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．
（1）證明：平面平面；
（2）為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，求三棱錐的體積．


五、雙空題
63．（2019·全國(guó)·高考真題）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)________．


參考答案：
1．C
【分析】方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.
【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式
設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，
設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為，
則
（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）
即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為
又設(shè)四棱錐的高為，則，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
故選：C
[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式
由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，

(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立)
所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高.
故選：C．
[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)求最值
由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設(shè)，則，
，，單調(diào)遞增， ，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．
故選：C.
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；
方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問(wèn)題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通性通法．

2．C
【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,

[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時(shí)，，時(shí)，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，
當(dāng)時(shí)，得，則
當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是

3．C
【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.
【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，
則，
所以，
又，
則，
所以，
所以甲圓錐的高，
乙圓錐的高，
所以.
故選：C.

4．C
【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出．
【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積．
棱臺(tái)上底面積，下底面積，
∴
．

故選：C．

5．A
【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．
【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A．


6．B
【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.
【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積.
故選：B.

7．B
【分析】求出以為球心，5為半徑的球與底面的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.
【詳解】
設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，
且，故.
因?yàn)?，故?br /> 故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，
而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，
故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為
故選：B

8．C
【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體可知，原幾何體是一個(gè)半球，一個(gè)圓柱，一個(gè)圓臺(tái)組合成的幾何體，即可根據(jù)球，圓柱，圓臺(tái)的體積公式求出．
【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半球，一個(gè)圓柱，一個(gè)圓臺(tái)組合成的幾何體，球的半徑，圓柱的底面半徑，圓臺(tái)的上底面半徑都為，圓臺(tái)的下底面半徑為，所以該幾何體的體積．

故選：C．

9．D
【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.
【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，則,
由可得平面，
設(shè)重疊后的EG與交點(diǎn)為

則
則該幾何體的體積為.
故選：D.
10．B
【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，根據(jù)圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)可求得的值，即為所求.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則，解得.
故選：B.
11．A
【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進(jìn)而求得體積.
【詳解】，為等腰直角三角形，，
則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，
設(shè)到平面的距離為，
則，
所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.
12．D
【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結(jié)合直觀圖進(jìn)行判斷.
【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，

所以其側(cè)視圖為

故選：D



13．D
【分析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.
【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，

因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，
所以該棱臺(tái)的高，
下底面面積，上底面面積，
所以該棱臺(tái)的體積.
故選：D.
14．C
【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.
【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：
.
故選：C.
15．B
【分析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，
設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，

設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，
所以，，，
，則，所以，，
又因?yàn)?，所以，?br /> 所以，，，
因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為.
故選：B.
16．A
【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.
【詳解】幾何體為如圖所示的四棱柱，其高為1，底面為等腰梯形，
該等腰梯形的上底為，下底為，腰長(zhǎng)為1，故梯形的高為，
故，
故選：A.




17．A
【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計(jì)算該幾何體的表面積.
【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐，
其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，
由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，
故其表面積為，
故選：A.

18．B
【分析】計(jì)算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.
【詳解】由題意，一個(gè)半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為，高為的圓錐，
所以積水厚度，屬于中雨.
故選：B.

19．A
【分析】由已知可得等邊的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長(zhǎng)，得出的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，
得，為等邊三角形，
由正弦定理可得，
，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，
，
球的表面積.
故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
20．C
【分析】設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.
【詳解】如圖，設(shè)，則，
由題意，即，化簡(jiǎn)得，
解得（負(fù)值舍去）.
故選：C.

【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.
21．C
【分析】根據(jù)球的表面積和的面積可求得球的半徑和外接圓半徑，由球的性質(zhì)可知所求距離.
【詳解】
設(shè)球的半徑為，則，解得：.
設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，
是面積為的等邊三角形，
，解得：，，
球心到平面的距離.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問(wèn)題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.
22．C
【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個(gè)面的面積，即可求得其表面積.
【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形

根據(jù)立體圖形可得：
根據(jù)勾股定理可得：
是邊長(zhǎng)為的等邊三角形
根據(jù)三角形面積公式可得：

該幾何體的表面積是：.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫(huà)出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.
23．B
【分析】畫(huà)出過(guò)球心和晷針?biāo)_定的平面截地球和晷面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)處的緯度，計(jì)算出晷針與點(diǎn)處的水平面所成角.
【詳解】畫(huà)出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點(diǎn)處的水平面的截線，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，
根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得..
由于，所以，
由于，
所以，也即晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為.
故選：B

【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計(jì)算，涉及平面平行，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.
24．A
【分析】根據(jù)三視圖，畫(huà)出多面體立體圖形，即可求得點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn).
【詳解】根據(jù)三視圖，畫(huà)出多面體立體圖形，

上的點(diǎn)在正視圖中都對(duì)應(yīng)點(diǎn)M,直線上的點(diǎn)在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,
∴在正視圖中對(duì)應(yīng),在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是,線段,上的所有點(diǎn)在側(cè)試圖中都對(duì)應(yīng),∴點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷點(diǎn)的位置，解題關(guān)鍵是掌握三視圖的基礎(chǔ)知識(shí)和根據(jù)三視圖能還原立體圖形的方法，考查了分析能力和空間想象，屬于基礎(chǔ)題.
25．C
【分析】求出正方體的體對(duì)角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.
【詳解】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，
即，
所以，這個(gè)球的表面積為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.求多面體的外接球的面積和體積問(wèn)題，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過(guò)兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心.
26．A
【分析】根據(jù)三視圖還原原圖，然后根據(jù)柱體和錐體體積計(jì)算公式，計(jì)算出幾何體的體積.
【詳解】由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，
且三棱錐的一個(gè)側(cè)面垂直于底面，且棱錐的高為1，
棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2，
所以幾何體的體積為：
.
故選：A

【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三視圖計(jì)算幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題.
27．D
【分析】首先確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.
【詳解】由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)面為三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，
則其表面積為：.
故選：D.
【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．
(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．
(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．
28．D
【分析】先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進(jìn)而知正方體的體對(duì)角線即為球直徑，從而得解.
【詳解】解法一:為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為正三棱錐，
，又，分別為、中點(diǎn)，
，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即 ，故選D．

解法二:
設(shè)，分別為中點(diǎn)，
，且，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
又
中余弦定理，作于，，
為中點(diǎn)，，，
，，又，兩兩垂直，，，，故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生空間想象能力，補(bǔ)體法解決外接球問(wèn)題．可通過(guò)線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決．
29．B
【詳解】分析：作圖，D為MO 與球的交點(diǎn)，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計(jì)算可得．
詳解：如圖所示，

點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn)，
當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大
此時(shí)，

,
點(diǎn)M為三角形ABC的中心

中，有


故選B.
點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計(jì)算得到，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型．
30．B
【分析】首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪，點(diǎn)M、N在其四分之一的矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，
將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪,
可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬，圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，
所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為，故選B.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短，所以處理方法就是將面切開(kāi)平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.
31．C
【分析】首先畫(huà)出長(zhǎng)方體，利用題中條件，得到，根據(jù)，求得，可以確定，之后利用長(zhǎng)方體的體積公式求出長(zhǎng)方體的體積.
【詳解】在長(zhǎng)方體中，連接，

根據(jù)線面角的定義可知，
因?yàn)?，所以，從而求得?br /> 所以該長(zhǎng)方體的體積為，故選C.
【點(diǎn)睛】該題考查的是長(zhǎng)方體的體積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確長(zhǎng)方體的體積公式為長(zhǎng)寬高的乘積，而題中的條件只有兩個(gè)值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長(zhǎng)就顯得尤為重要，此時(shí)就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而求得結(jié)果.
32．B
【詳解】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長(zhǎng)，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積.
詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長(zhǎng)為的正方形，
結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，
所以其表面積為，故選B.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時(shí)候，一定要注意是兩個(gè)底面圓與側(cè)面積的和.
33．A
【分析】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個(gè)正六邊形，且邊長(zhǎng)是面的對(duì)角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，
所以在正方體中，
平面與線所成的角是相等的，
所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，
同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，
要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，
且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，
所以其面積為，故選A.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問(wèn)題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過(guò)六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.
34．A
【詳解】詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯視圖中應(yīng)有一不可見(jiàn)的長(zhǎng)方形，
且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱圖形
故俯視圖為
故選A.
點(diǎn)睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．
35．C
【詳解】分析：根據(jù)三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長(zhǎng)，再利用勾股定理逆定理判斷直角三角形的個(gè)數(shù).
詳解：由三視圖可得四棱錐，在四棱錐中，，
由勾股定理可知：，則在四棱錐中，直角三角形有：共三個(gè)，故選C.

點(diǎn)睛：此題考查三視圖相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)可將簡(jiǎn)單幾何體放在正方體或長(zhǎng)方體中進(jìn)行還原，分析線面、線線垂直關(guān)系，利用勾股定理求出每條棱長(zhǎng)，進(jìn)而可進(jìn)行棱長(zhǎng)、表面積、體積等相關(guān)問(wèn)題的求解.
36．C
【分析】先還原幾何體為一直四棱柱，再根據(jù)柱體體積公式求結(jié)果.
【詳解】根據(jù)三視圖可得幾何體為一個(gè)直四棱柱，高為，底面為直角梯形，上下底分別為、，梯形的高為，因此幾何體的體積為，選C.
【點(diǎn)睛】先由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀，再在具體幾何體中求體積或表面積等.
37．CD
【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】
設(shè)，因?yàn)槠矫?，，則，
，連接交于點(diǎn)，連接，易得，
又平面，平面，則，又，平面，則平面，
又，過(guò)作于，易得四邊形為矩形，則，
則，，
，則，，，
則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.
故選：CD.

38．③④（答案不唯一）
【分析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.
【詳解】選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，

如圖所示，長(zhǎng)方體中，，
分別為棱的中點(diǎn)，
則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐.
故答案為：③④.
【點(diǎn)睛】三視圖問(wèn)題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.



39．
【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長(zhǎng)，最終利用側(cè)面積公式求出答案.
【詳解】∵
∴
∴
∴.
故答案為：.

40．
【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問(wèn)題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.
【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，
其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，
設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，

由于，故，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：

，
解得：，其體積：.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.
41．
【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計(jì)算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.
【詳解】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
42．.
【分析】根據(jù)已知條件易得，側(cè)面，可得側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，可得側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.
【詳解】如圖：

取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，
因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，所以△為等邊三角形，所以，，
又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，
因?yàn)椋詡?cè)面，
設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，
因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以?br /> 所以側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，
因?yàn)?，所以?cè)面與球面的交線是扇形的弧，
因?yàn)?，所以?br /> 所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定，考查了立體幾何中的軌跡問(wèn)題，考查了扇形中的弧長(zhǎng)公式，屬于中檔題.
43．
【分析】利用計(jì)算即可.
【詳解】
因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn)
所以
故答案為：
【點(diǎn)睛】在求解三棱錐的體積時(shí)，要注意觀察圖形的特點(diǎn)，看把哪個(gè)當(dāng)成頂點(diǎn)好計(jì)算一些.
44．
【分析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結(jié)果.
【詳解】正六棱柱體積為
圓柱體積為
所求幾何體體積為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
45．
【分析】根據(jù)公式即可求解.
【詳解】解：球的體積為：,
故答案為：
46．118．8
【分析】根據(jù)題意可知模型的體積為長(zhǎng)方體體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量.
【詳解】由題意得， ，
四棱錐O?EFG的高3cm， ∴．
又長(zhǎng)方體的體積為，
所以該模型體積為，
其質(zhì)量為．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積問(wèn)題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解．
47．
【分析】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長(zhǎng),再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槟妇€，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)母線長(zhǎng)為所以，
因?yàn)榕c圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為，
因此圓錐的側(cè)面積為．
【整體點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角形面積公式先求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)線面角求出底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出側(cè)面積，思路直接自然，是該題的最優(yōu)解．
48．8π
【詳解】分析：作出示意圖，根據(jù)條件分別求出圓錐的母線，高，底面圓半徑的長(zhǎng)，代入公式計(jì)算即可.
詳解：如下圖所示，
又，
解得，所以，
所以該圓錐的體積為.

點(diǎn)睛：此題為填空題的壓軸題，實(shí)際上并不難，關(guān)鍵在于根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形，利用平面幾何知識(shí)求解相應(yīng)線段長(zhǎng)，代入圓錐體積公式即可.
49．.
【分析】根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定所求的圓柱的高和底面半徑．
【詳解】由題意四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為，.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，圓柱的底面半徑為，一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，故圓柱的體積為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱與四棱錐的組合，考查了空間想象力，屬于基礎(chǔ)題.
50．40.
【分析】本題首先根據(jù)三視圖,還原得到幾何體,根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù),計(jì)算幾何體的體積.屬于中等題.
【詳解】如圖所示,在棱長(zhǎng)為4的正方體中,三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為正方體去掉棱柱之后余下的幾何體,

幾何體的體積.
【點(diǎn)睛】(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．
51．10.
【分析】由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積.
【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積為120，
所以，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，
由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知底面，
所以是三棱錐的底面上的高，
所以三棱錐的體積.
【點(diǎn)睛】本題蘊(yùn)含“整體和局部”的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計(jì)算問(wèn)題中，往往需要注意理清整體和局部的關(guān)系，靈活利用“割”與“補(bǔ)”的方法解題.
52．
【分析】由題意分別求得底面積和高，然后求解其體積即可.
【詳解】
如圖所示，連結(jié)，交于點(diǎn)，很明顯平面，
則是四棱錐的高，且，
，
結(jié)合四棱錐體積公式可得其體積為
，
故答案為.
點(diǎn)睛：本題主要考查棱錐體積的計(jì)算，空間想象能力等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
53．
【分析】由題意首先求解底面積，然后結(jié)合四棱錐的高即可求得四棱錐的體積.
【詳解】由題意可得，底面四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形，其面積，
頂點(diǎn)到底面四邊形的距離為，
由四棱錐的體積公式可得：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查四棱錐的體積計(jì)算，空間想象能力等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
54．(1)證明詳見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）通過(guò)證明平面來(lái)證得平面平面.
（2）首先判斷出三角形的面積最小時(shí)點(diǎn)的位置，然后求得到平面的距離，從而求得三棱錐的體積.
【詳解】（1）由于，是的中點(diǎn)，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）[方法一]：判別幾何關(guān)系
依題意，，三角形是等邊三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三角形的面積最小
過(guò)作，垂足為，
在中，，解得，
所以，
所以
過(guò)作，垂足為，則，所以平面，且，
所以，
所以.

[方法二]：等體積轉(zhuǎn)換
，，
是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

連接






55．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)．

【分析】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，由平面知識(shí)可知，，依題從而可證平面，平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，即可知四邊形為平行四邊形，于是，最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；
（2）再分別取中點(diǎn)，由（1）知，該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍，即可解出．
【詳解】（1）如圖所示：

分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槿鹊恼切?，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根?jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）[方法一]：分割法一
如圖所示：

分別取中點(diǎn)，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識(shí)可知，，，，所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍．
因?yàn)?，，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離，，所以該幾何體的體積
．
[方法二]：分割法二
如圖所示：

連接AC,BD,交于O，連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積等于四棱錐O-EFGH的體積加上三棱錐A-OEH的倍,再加上三棱錐E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點(diǎn)P，連接AP,OP.則EH垂直平面APO.由圖可知，三角形APO,四棱錐O-EFGH與三棱錐E-OAB的高均為EM的長(zhǎng).所以該幾何體的體積


56．(1)證明見(jiàn)解析；(2).
【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；
(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計(jì)算三棱錐的體積即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，O是中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，平面平面?br /> 且平面平面，所以平面．
因?yàn)槠矫妫?
（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法
如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為y軸，垂直且過(guò)O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè),

所以，
設(shè)為平面的法向量，
則由可求得平面的一個(gè)法向量為．
又平面的一個(gè)法向量為，
所以，解得．
又點(diǎn)C到平面的距離為，所以，
所以三棱錐的體積為．
[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角
如圖所示，作，垂足為點(diǎn)G．
作，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)，則．

因?yàn)槠矫?，所以平面?br /> 為二面角的平面角．
因?yàn)?，所以?br /> 由已知得，故．
又，所以．
因?yàn)椋?br /> ．
[方法三]：三面角公式
考慮三面角，記為，為，，
記二面角為．據(jù)題意，得．
對(duì)使用三面角的余弦公式，可得，
化簡(jiǎn)可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．②
將①②兩式平方后相加，可得，
由此得，從而可得．

如圖可知，即有，
根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為的三等分點(diǎn)，即可得，
結(jié)合的正切值，
可得從而可得三棱錐的體積為．
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問(wèn)題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；
方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時(shí)可以對(duì)幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識(shí)，該法為本題的最優(yōu)解.
方法三：三面角公式是一個(gè)優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問(wèn)題更加簡(jiǎn)單、直觀、迅速.
57．(1)；(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）先證明為等腰直角三角形，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；
（2）將所給的幾何體進(jìn)行補(bǔ)形，從而把線線垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結(jié)論.
【詳解】（1）由于，，所以，
又AB⊥BB1，，故平面，
則，為等腰直角三角形，
，.
（2）由（1）的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，如圖所示，取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，

正方形中，為中點(diǎn)，則，
又，
故平面，而平面，
從而.
【點(diǎn)睛】求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來(lái)求體積．對(duì)于空間中垂直關(guān)系（線線、線面、面面）的證明經(jīng)常進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
58．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；
（2）由（1）可知，，由平面知識(shí)可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出．
【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，平面?br /> 所以，
又，，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
（2）[方法一]：相似三角形法
由（1）可知．
于是，故．
因?yàn)?，所以，即?br /> 故四棱錐的體積．
[方法二]：平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法
???由（2）知,所以．
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)．

因?yàn)?，所以，，，?br /> 從而．
所以，即．下同方法一.
[方法三]【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法
??建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，所以，，，，．
所以，，．
所以．
所以，即．下同方法一.
[方法四]：空間向量法
???由，得．
所以．
即．
又底面，在平面內(nèi)，
因此，所以．
所以，
由于四邊形是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，
得，即．
所以，即．下同方法一.
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；
方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；
方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng),為最常用的通性通法，為最優(yōu)解；
方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長(zhǎng).
59．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)已知可得，進(jìn)而有≌，可得
，即，從而證得平面，即可證得結(jié)論；
（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為母線和底面半徑的關(guān)系，進(jìn)而求出底面半徑，由正弦定理，求出正三角形邊長(zhǎng)，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出結(jié)論.
【詳解】（1）連接，為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓心，平面，
在上，，
是圓內(nèi)接正三角形，，≌，
，即，
平面平面，平面平面；
（2）設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，
，解得，，
在等腰直角三角形中，，
在中，，
三棱錐的體積為.

【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，求錐體的體積，注意空間垂直間的相互轉(zhuǎn)化，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.
60．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）由分別為，的中點(diǎn)，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；
（2）根據(jù)已知條件求得和到的距離，根據(jù)椎體體積公式，即可求得.
【詳解】（1）分別為，的中點(diǎn)，

又

在等邊中，為中點(diǎn)，則
又側(cè)面為矩形，



由，平面
平面
又，且平面，平面，
平面
又平面，且平面平面


又平面
平面
平面
平面平面
（2）過(guò)作垂線，交點(diǎn)為，
畫(huà)出圖形，如圖

平面
平面，平面平面

又

為的中心.

故：，則，
平面平面，平面平面，
平面
平面
又在等邊中
即
由（1）知，四邊形為梯形
四邊形的面積為：
，
為到的距離，
.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其求四棱錐的體積，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證線面垂直的證法和棱錐的體積公式，考查了分析能力和空間想象能力，屬于中檔題.
61．（1）見(jiàn)詳解；（2）18
【分析】（1）先由長(zhǎng)方體得，平面，得到，再由，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；
（2）先設(shè)長(zhǎng)方體側(cè)棱長(zhǎng)為，根據(jù)題中條件求出；再取中點(diǎn)，連結(jié)，證明平面，根據(jù)四棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，平面；
平面，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面；????
（2）[方法一]【利用體積公式計(jì)算體積】
如圖6，設(shè)長(zhǎng)方體的側(cè)棱長(zhǎng)為，則．
由（1）可得．所以，即．
又，所以，即，解得．
取中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)，因?yàn)?，則，所以平面，
從而四棱錐的體積：
．

[方法二]【最優(yōu)解：利用不同幾何體之間體積的比例關(guān)系計(jì)算體積】
取的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)．由（Ⅰ）可知，
所以．故．
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：利用體積公式計(jì)算體積需要同時(shí)計(jì)算底面積和高，是計(jì)算體積的傳統(tǒng)方法；
方法二：利用不同幾何體之間的比例關(guān)系計(jì)算體積是一種方便有效快速的計(jì)算體積的方法，核心思想為等價(jià)轉(zhuǎn)化.
62．(1)證明見(jiàn)解析；(2)1.
【分析】(1)根據(jù)題意可得，又 BA⊥AD，利用線面垂直的判定定理證得AB⊥平面ACD，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證得；
(2)方法一：根據(jù)平面知識(shí)求出，再求得三棱錐的高，即可根據(jù)三棱錐的體積公式求出.
【詳解】（1）由已知可得，=90°，．
又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD．
又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．

（2）［方法一］：定義法
由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．又，所以．
作QE⊥AC，垂足為E，則．
由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．
因此，三棱錐的體積為
．
［方法二］：轉(zhuǎn)化法
由（1）知，，又，所以平面，則．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以?br /> 【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：根據(jù)三棱錐的體積公式求底面積和高，是求三棱錐體積的通性通法；
方法二：根據(jù)題目的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為求易求的三棱錐體積，也是求三棱錐體積的通性通法．
63．???? 共26個(gè)面.???? 棱長(zhǎng)為.
【分析】第一問(wèn)可按題目數(shù)出來(lái)，第二問(wèn)需在正方體中簡(jiǎn)單還原出物體位置，利用對(duì)稱性，平面幾何解決．
【詳解】由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面．
如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交正方體棱于，由半正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，
，
，即該半正多面體棱長(zhǎng)為．

【點(diǎn)睛】本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實(shí)很簡(jiǎn)單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵．立體幾何平面化，無(wú)論多難都不怕，強(qiáng)大空間想象能力，快速還原圖形．