?第十二講　銳角三角函數(shù)及其實(shí)際應(yīng)用
命題點(diǎn)分類集訓(xùn)
命題點(diǎn)1　特殊角的三角函數(shù)值
【命題規(guī)律】1.考查內(nèi)容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的識(shí)記、正余弦的轉(zhuǎn)換及由三角函數(shù)值求出角度. 2.考查形式：①三類特殊角的三角函數(shù)值識(shí)記；②與非負(fù)性結(jié)合，通過三角函數(shù)值求角度；③正弦余弦、正切余切之間的相互轉(zhuǎn)化，判斷關(guān)系式是否成立；④在實(shí)數(shù)運(yùn)算中涉及三類特殊角的三角函數(shù)值運(yùn)算(具體試題見實(shí)數(shù)的運(yùn)算部分)．
【命題預(yù)測(cè)】特殊角的三角函數(shù)值作為識(shí)記內(nèi)容在實(shí)數(shù)運(yùn)算中考查的可能性比較大，而單獨(dú)考查也會(huì)出現(xiàn)．
1. sin60°的值等于(　　)
A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D.
1. C
2. 下列式子錯(cuò)誤的是(　　)
A. cos40°＝sin50° B. tan15°·tan75°＝1
C. sin225°＋cos225°＝1 D. sin60°＝2sin30°
2. D　【解析】逐項(xiàng)分析如下：
選項(xiàng)
逐項(xiàng)分析
正誤
A
cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50°
√
B
tan15°·tan75°＝×tan75°＝1
√
C
sin2A＋cos2A＝1
√
D
∵sin60°＝，2sin30°＝2×＝1，∴sin60°≠2sin30°
×
3. 已知α，β均為銳角，且滿足|sinα－|＋＝0，則α＋β＝________．
3. 75°　【解析】由于絕對(duì)值和算術(shù)平方根都是非負(fù)數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)的和又為零，于是它們都為零．根據(jù)題意，得|sinα－|＝0，＝0，則sinα ＝，tanβ ＝1，又因?yàn)棣?、β均為銳角，則α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°.
命題點(diǎn)2　直角三角形的邊角關(guān)系
【命題規(guī)律】1.考查內(nèi)容：在直角三角形中，三邊與兩個(gè)銳角之間關(guān)系的互化.2.考查形式：已知一邊及某銳角的三角函數(shù)值，求其他量，或結(jié)合直角坐標(biāo)系求銳角三角函數(shù)值．
【命題預(yù)測(cè)】直角三角形的邊角關(guān)系是解直角三角形實(shí)際應(yīng)用問題的基礎(chǔ)，值得關(guān)注．
4. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，3)，那么cosα的值是(　　)
A. B. C. D.

4. D　【解析】如解圖，過點(diǎn)A作AB⊥x 軸于點(diǎn)B，∵A(4，3)，∴OB＝4，AB＝3，∴OA＝＝5，∴cosα＝＝.
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6 cm.則BC的長度為(　　)
A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm
5. C　【解析】∵sinA＝＝，∴設(shè)BC＝4a，則AB＝5a，AC＝＝3a，∴3a＝6，即a＝2，故BC＝4a＝8 cm.
6. 已知：如圖，在銳角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中，sin∠B＝，則AD＝csin∠B；
在Rt△ACD中，sin∠C＝________，則AD＝________．
所以csin∠B＝bsin∠C，即＝，
進(jìn)一步即得正弦定理：
＝＝.(此定理適合任意銳角三角形)
參照利用正弦定理解答下題：
在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的長．
　　　　
6. 解：∵sinC＝＝，
∴AD＝bsinC，
由正弦定理得：＝，
∵∠B＝75°， ∠C＝45°，
∴∠A＝60°，
∴＝，
∴AB＝2×÷＝.




命題點(diǎn)3　銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
【命題規(guī)律】1.考查內(nèi)容：主要考查利用幾何建模思想，將實(shí)際問題抽象為幾何中的直角三角形的有關(guān)問題，并根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系解決實(shí)際問題.2.考查形式：①仰角、俯角問題；②方位角問題；③坡度、坡角問題；④測(cè)量問題等．
【命題預(yù)測(cè)】銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題并加以解決的數(shù)學(xué)建模題型，是全國命題的趨勢(shì)．
7. 小明利用測(cè)角儀和旗桿的拉繩測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等，小明將PB拉到PB′的位置，測(cè)得∠PB′C＝α(B′C為水平線)，測(cè)角儀B′D的高度為1米，則旗桿PA的高度為(　　)
A. B. C. D.
7. A　【解析】在Rt△PCB′中，sinα＝，∴PC＝PB′·sinα，又∵B′D＝AC＝1，則PB′·sinα＋1＝PA，而PB′＝PA，∴PA＝.
8. 如圖①是小志同學(xué)書桌上的一個(gè)電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖②所示的幾何圖形，已知BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，則點(diǎn)B到CD的距離為________cm(參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.結(jié)果精確到0.1 cm，可用科學(xué)計(jì)算器)．

8. 14.1　【解析】如解圖 ，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，∵BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，∴∠CBE＝20°，在Rt△CBE中，BE＝BC·cos∠CBE≈15×0.940＝14.1(cm)．





第8題圖 第9題圖 第10題圖
9. 如圖，一艘漁船位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔18海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東55°方向上的B處，此時(shí)漁船與燈塔P的距離約為________海里．(結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)
9. 11　【解析】∵∠A＝30°，∴PM＝PA＝9海里．∵∠B＝55°， sinB＝，∴0.8＝，∴PB≈11海里．
10. 如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小聰在距離旗桿10 m的A處測(cè)得旗桿頂端B的仰角為60°，測(cè)角儀高AD為1 m，則旗桿高BC為__________m．(結(jié)果保留根號(hào))

10. 10＋1　【解析】如解圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，則AE＝CD＝10 m，在Rt△AEB中，BE＝AE·tan60°＝10×＝10 m，∴BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(10＋1)m.
11. 如圖，大樓AB右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測(cè)得障礙物邊緣點(diǎn)C的俯角為30°，測(cè)得大樓頂端A的仰角為45°(點(diǎn)B、C、E在同一水平直線上)，已知AB＝80 m，DE＝10 m，求障礙物B、C兩點(diǎn)間的距離．(結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732)

11. 解：如解圖，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，則四邊形FBED為矩形，
∴FD＝BE，BF＝DE＝10，F(xiàn)D∥BE，

由題意得：∠FDC＝30°，∠ADF＝45°，∵FD∥BE，
∴∠DCE＝∠FDC＝30°，
在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，DE＝10，∠DCE＝30°，
∵tan∠DCE＝，
∴CE＝＝10，
在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，∠ADF＝∠FAD＝45°，
∴FD＝AF，
又∵AB＝80，BF＝10，
∴FD＝AF＝AB－BF＝80－10＝70，
∴BC＝BE－CE＝FD－CE＝70－10≈52.7(m)．
答：障礙物B、C兩點(diǎn)間的距離約為52.7 m．


12.某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1∶1，為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面AC的坡度為1∶.
(1)求新坡面的坡角α；
(2)天橋底部的正前方8米處(PB的長)的文化墻PM是否需要拆除？請(qǐng)說明理由．




12. 解：(1)∵新坡面AC的坡度為1∶，
∴tanα＝＝，
∴α＝30°.
答：新坡面的坡角α的度數(shù)為30°.
(2)原天橋底部正前方8米處的文化墻PM不需要拆除．
理由如下：
如解圖所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，
∵坡面BC的坡度為1∶1，
∴BD＝CD＝6米，

∵新坡面AC的坡度為1∶，
∴CD∶AD＝1∶，
∴AD＝6米，
∴AB＝AD－BD＝(6－6)米＜8米，故正前方的文化墻PM不需拆除．
答：原天橋底部正前方8米處的文化墻PM不需要拆除．


13.如圖，某無人機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)B，D，從無人機(jī)A上看目標(biāo)B，D的俯角分別為30°，60°，此時(shí)無人機(jī)的飛行高度AC為 60 m，隨后無人機(jī)從A處繼續(xù)水平飛行30 m到達(dá)A′處．
(1)求A，B之間的距離；
(2)求從無人機(jī)A′上看目標(biāo)D的俯角的正切值．

13. 解：(1)如解圖，過點(diǎn)D作DE⊥AA′于點(diǎn)E，由題意得，

AA′∥BC，
∴∠B＝∠FAB＝30°，
又∵AC＝60 m，
在Rt△ABC中，sinB＝，即＝，
∴AB＝120 m.
答：A，B之間的距離為120 m．
(2)如解圖，連接A′D，作A′E⊥BC交BC延長線于E，
∵AA′∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠A′AC＝90°，
∴四邊形AA′EC為矩形，
∴A′E＝AC＝60 m，
又∵∠ADC＝∠FAD＝60°，
在Rt△ADC中，
tan∠ADC＝，即＝，
∴CD＝20 m，
∴DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝30＋20＝50 m，
∴tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝＝＝，
答：從無人機(jī)A′上看目標(biāo)D的俯角的正切值為.













中考沖刺集訓(xùn)
一、選擇題
1.一個(gè)公共房門前的臺(tái)階高出地面1.2米，臺(tái)階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數(shù)據(jù)如圖所示，則下列關(guān)系或說法正確的是(　　)
A. 斜坡AB的坡度是10° 　　　　　B. 斜坡AB的坡度是tan10°
C. AC＝1.2tan10° 米 D. AB＝ 米


第1題圖 第2題圖 第3題圖
2.如圖，以O(shè)為圓心，半徑為1的弧交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，P是上一點(diǎn)(不與A，B重合)，連接OP，設(shè)∠POB＝α，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(　　)
A. (sinα，sinα) B. (cosα，cosα) C. (cosα，sinα) D. (sinα，cosα)
3.一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為θ.現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA＝4米，樓梯寬度1米，則地毯的面積至少需要(　　)
A. 米2 B. 米2 C. (4＋) 米2 D. (4＋4tanθ) 米2
4.如圖是由邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，P，Q四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，線段AB，PQ相交于點(diǎn)M，則圖中∠QMB的正切值是(　　)
A. 　　　　　　B. 1　　　　　　C. 　　　　　　D. 2



第4題圖 第5題圖 第6題圖
5.如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公大樓頂端A測(cè)得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i＝1∶，則大樓AB的高度約為(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45)(　　)
A. 30.6 B. 32.1 C. 37.9 D. 39.4
6. 如圖，釣魚竿AC長6 m，露在水面上的魚線BC長3 m，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)到AC′的位置，此時(shí)露在水面上的魚線B′C′為3 m，則魚竿轉(zhuǎn)過的角度是(　　)
A. 60° B. 45° C. 15° D. 90°
二、填空題
7. 如圖，點(diǎn)A(3，t)在第一象限，射線OA與x軸所夾的銳角為α，tanα＝，則t的值是________．


第7題圖 第8題圖 第9題圖
8. 如圖是矗立在高速公路邊水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，則警示牌的高CD為______米．(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)
9. 如圖，航拍無人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測(cè)得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC約為________米．(精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73)
三、解答題
10. 如圖，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，小敏為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿CD的高度，先在教學(xué)樓的底端A點(diǎn)處，觀測(cè)到旗桿頂端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教學(xué)樓上的B處，觀測(cè)到旗桿底端D的俯角是30°. 已知教學(xué)樓AB高4米．
(1)求教學(xué)樓與旗桿的水平距離AD；(結(jié)果保留根號(hào))
(2)求旗桿CD的高度．













11. 圖為放置在水平桌面上的臺(tái)燈的平面示意圖，燈臂AO長為40 cm，與水平面所形成的夾角∠OAM為75°，由光源O射出的邊緣光線OC，OB與水平面所形成的夾角∠OCA，∠OBA分別為90°和30°，求該臺(tái)燈照亮水平面的寬度BC(不考慮其他因素，結(jié)果精確到0.1 cm.溫馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73)．









12. 閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式：
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ　　　tan(α±β)＝
利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，
例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋
根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓接?jì)算下列問題：
(1)計(jì)算sin15°；
(2)某校在開展愛國主義教育活動(dòng)中，來到烈士紀(jì)念碑前緬懷和紀(jì)念為國捐軀的紅軍戰(zhàn)士．李三同學(xué)想用所學(xué)知識(shí)來測(cè)量如圖紀(jì)念碑的高度，已知李三站在離紀(jì)念碑底7米的C處，在D點(diǎn)測(cè)得紀(jì)念碑碑頂?shù)难鼋菫?5°，DC為 米，請(qǐng)你幫助李三求出紀(jì)念碑的高度．






答案與解析：

1. B

第2題解圖
2. C　【解析】如解圖，過點(diǎn)P作PC⊥OB于點(diǎn)C，則在Rt△OPC中，OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα＝cosα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosα，sinα)．
3. D　【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝θ，CA＝4米，∴BC＝CA·tanθ＝4tanθ.地毯長為(4＋4tanθ)米，寬為1米，其面積為(4＋4tanθ)×1＝(4＋4tanθ)米2.
4. D　【解析】如解圖，將AB平移到PE位置，連接QE, 則PQ＝2，PE＝2，QE＝4，∵△PEQ中，PE2＋QE2＝PQ2，則∠PEQ＝90°，∴tan∠QMB ＝tan∠P＝＝2.
第4題解圖
　　　　第5題解圖
5. D　【解析】如解圖，設(shè)AB與DC的延長線交于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BH⊥ED于點(diǎn)H，則可得四邊形GDEF為矩形．在Rt△BCG中，∵BC＝12，iBC＝＝，∴∠BCG＝30°，∴BG＝6，CG＝6，∴BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∵∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝6＋20，∴AB＝BF＋AF＝9＋20＋6≈39.4(米)．
6. C　【解析】∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB′＝45°，∵sin∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即魚竿轉(zhuǎn)過的角度是15°.

第7題解圖
7. 　【解析】如解圖，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B.∵點(diǎn)A(3，t)在第一象限，∴OB＝3，AB＝t，在Rt△ABO中，tanα＝＝＝，解得t＝.
8. 2.9　【解析】在Rt△AMD中，DM＝tan∠DAM×AM＝tan45°×4＝4米，在Rt△BMC中，CM＝tan∠MBC×BM＝tan30°×12＝4 米，故CD＝CM－DM＝4－4≈2.9米．
9. 208　【解析】在Rt△ABD中，BD＝AD·tan∠BAD＝90×tan30°＝30，在Rt△ACD中，CD＝AD·tan∠CAD＝90×tan60°＝90，BC＝BD＋CD＝30＋90＝120≈208(米)．
10. 解：(1)∵在教學(xué)樓B點(diǎn)處觀測(cè)旗桿底端D處的俯角是30°，
∴∠ADB＝30°，
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4(米)，
∴AD＝＝＝4(米)．
答：教學(xué)樓與旗桿的水平距離是4 米．
(也可先求∠ABD＝60°，利用tan60°去計(jì)算得到結(jié)論)
(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4 米，
∴CD＝AD·tan60°＝4×＝12(米)．
答：旗桿CD的高度是12米．
11. 解：∵tan∠OBC＝tan30°＝＝，
∴OC＝BC，
∵sin∠OAC＝sin75°＝≈0.97，
∴≈0.97，
∴BC≈67.1(cm)．
12. 解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)
＝sin45°cos30°－cos45°sin30°
＝×－×
＝.
(2)在Rt△BDE中，
∠BDE＝75°，DE＝CA＝7，
tan∠BDE＝，即tan75°＝＝2＋，
∴ BE＝14＋7，
又∵AE＝DC＝，
∴AB＝BE＋AE＝14＋7＋＝14＋8(米)，
答：紀(jì)念碑的高度是(14＋8)米．

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