?第十六講　圖形的對稱、平移與旋轉(zhuǎn)
命題點分類集訓(xùn)
命題點1　軸對稱圖形與中心對稱圖形的識別
【命題規(guī)律】1.考查內(nèi)容及形式： ①中心對稱圖形或軸對稱圖形的識別；②既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的識別；③已知圖形是軸對稱圖形，判斷對稱軸的條數(shù)；2.考查題型都是選擇題，掌握軸對稱和中心對稱的概念是關(guān)鍵．
【命題預(yù)測】軸對稱圖形與中心對稱圖形的識別是對平面圖形特征的研究，近年命題也頻頻出現(xiàn)，值得關(guān)注．
1.甲骨文是我國的一種古代文字，是漢字的早期形式．下列甲骨文中，不是軸對稱的是(　　)

1. D
2.下列圖形中，可以看作是中心對稱圖形的是(　　)

2. B
3.下列四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　　)

3. B
4.下列幾何圖形：

其中是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的共有(　　)
A. 4個　　　　B. 3個　　　　C. 2個　　　　D. 1個
4. C
5.我國傳統(tǒng)建筑中，窗框(如圖①)的圖案玲瓏剔透、千變?nèi)f化．窗框一部分(如圖②)，它是一個軸對稱圖形，其對稱軸有(　　)
A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條
5. B　【解析】在確定某個圖形是否為軸對稱圖形時，就看其沿某條直線對折之后兩邊是否能夠完全重合，若能完全重合則該直線即為該圖形的一條對稱軸．因此本題圖②中在水平方向上和豎直方向上各有一條對稱軸，即共有2條對稱軸．
命題點2　軸對稱的相關(guān)計算
【命題規(guī)律】軸對稱常用來解決線段和的最小值問題，通過對稱性及兩點之間線段最短來解題，也是常說的“將軍飲馬”模型，也常會用到二次函數(shù)綜合題中求線段和或周長的最小值問題．
【命題預(yù)測】利用軸對稱性解決線段和及周長最小值是常用方法，可與三角形、四邊形、圓、二次函數(shù)等知識結(jié)合，是命題趨勢之一．
6.如圖，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點．下列判斷錯誤的是(　　)
A. AM＝BM B. AP＝BN C. ∠MAP＝∠MBP D. ∠ANM＝∠BNM
6. B　【解析】
∵直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，∴AM＝BM，選項A正確；AN＝BN，選項B錯誤；△AMN≌△BMN，∴∠ANM＝∠BNM，選項D正確；∠AMP＝∠BMP，又∵AM＝BM，MP＝MP，∴△AMP≌△BMP(SAS)，∴∠MAP＝∠MBP，選項C正確．


第6題圖 第7題圖

7.如圖，MN是⊙O的直徑，MN＝4，∠AMN＝40°，點B為弧AN的中點，點P是直徑MN上的一個動點，則PA＋PB的最小值為________．
7. 2　【解析】如解圖，作B點關(guān)于MN的對稱點B′，連接AB′交MN于點P，

AB′的長即為所求．連接AO并延長交圓O于D，連接DB′，∵B為弧AN的中點，∴＝，利用垂徑定理得＝，由∠AMN＝40°，MN＝4，得∠ADB′＝60°，AD＝4，∴AB′＝4×sin60°＝4×＝2.
命題點3　圖形平移的相關(guān)計算
【命題規(guī)律】1.考查內(nèi)容和形式：①圖形的平移變換方法，常與網(wǎng)格作圖結(jié)合考查；②圖形平移的相關(guān)計算；2.解決圖形平移的關(guān)鍵：平移只改變圖形的位置，不改變圖形的大?。眠@一性質(zhì)，平移前和平移后，兩個圖形全等，對應(yīng)點的連線平行且相等，從而可以得出平行四邊形，并根據(jù)平行四邊形知識求解．
【命題預(yù)測】圖形的平移是全國命題趨勢之一，對平移的性質(zhì)應(yīng)做到熟練掌握．
8.已知△ABC頂點坐標(biāo)分別是A(0，6)，B(－3，－3)，C(1，0)，將△ABC平移后頂點A的對應(yīng)點A1的坐標(biāo)是(4，10)，則點B的對應(yīng)點B1的坐標(biāo)為(　　)
A. (7，1) B. (1，7) C. (1，1) D. (2，1)
8. C
9.如圖，將△ABE向右平移2 cm得到△DCF，如果△ABE的周長是16 cm，那么四邊形ABFD的周長是(　　)
A. 16 cm B. 18 cm C. 20 cm D. 21 cm
9. C　【解析】根據(jù)題意，將周長為16 cm的△ABE沿邊BE向右平移2 cm得到△DCF，∴AD＝EF＝2 cm，BF＝BE＋EF＝BE＋2，DF＝AE，又∵AB＋BE＋AE＝16 cm，∴四邊形ABFD的周長＝AD＋AB＋BF＋DF＝AB＋BE＋AE＋EF＋AD＝16＋2＋2＝20 cm.



第9題圖 　　第10題圖
10.如圖，△ABC中，BC＝5 cm，將△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的位置時，A′B′恰好經(jīng)過AC的中點O，則△ABC平移的距離為________ cm.
10. 2.5　【解析】由題意知，射線BC方向是平移方向，D為AC的中點，AB∥A′B′，則B′為BC的中點，所以BB′＝BC＝2.5 cm，∴△ABC平移的距離為2.5 cm.
命題點4　圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)證明與計算
【命題規(guī)律】1.考查內(nèi)容：①圖形的旋轉(zhuǎn)求角度；②與直角坐標(biāo)系結(jié)合求旋轉(zhuǎn)后的點坐標(biāo)；③圖形的旋轉(zhuǎn)求線段長、路徑長；④圖形的旋轉(zhuǎn)求面積；⑤圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)證明；⑥幾何圖形的旋轉(zhuǎn)操作與探究問題；2.對于旋轉(zhuǎn)問題，需要掌握旋轉(zhuǎn)的三要素，即旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角，在計算旋轉(zhuǎn)有關(guān)的計算題時，首先應(yīng)找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)角(一個圖形旋轉(zhuǎn)后，其旋轉(zhuǎn)角不止一個，原圖上的每個點和其對應(yīng)點及旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)成的角就是一個旋轉(zhuǎn)角)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形全等來進(jìn)行求解，常涉及扇形的有關(guān)計算．
【命題預(yù)測】圖形的旋轉(zhuǎn)是全國主流命題趨勢之一，尤其是旋轉(zhuǎn)操作探究題值得關(guān)注．
11.如圖，將線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B′，那么A(－2，5)的對應(yīng)點A′ 的坐標(biāo)是(　　)
A. (2，5) B. (5，2) C. (2，－5) D. (5，－2)
11. B　【解析】如解圖，過點A作AC⊥x軸于點C，過點A′作A′C′⊥x軸于點C′，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知OA⊥OA′，OA＝OA′，∵∠OAC＝∠AOC＝90°，∠AOC＋∠A′OC′＝90°，∴∠OAC＝∠A′OC′，∵∠ACO＝∠A′C′O＝90°，∴△OAC≌△A′OC′(AAS)，∵A(－2，5)，∴OC′＝AC＝5，A′C′＝OC＝|－2|＝2，∴A′(5，2)．


第11題圖 第12題圖 第13題圖

12.如圖，△ABC中，AB＝6，BC＝4，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AEF，使得AF∥BC，延長BC交AE于點D，則線段CD的長為(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
　　
12. B　【解析】如解圖，∵AF∥BC，∴∠1＝∠2，∵△AEF是由△ABC旋轉(zhuǎn)而來，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵∠B為公共角，∴△ABC∽△DBA，∴＝，∴AB2＝BC·BD，即36＝4·BD，∴BD＝9，∴CD＝BD－BC＝9－4＝5.
13.如圖，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使點A′落在BC的延長線上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，則∠ACB′＝________度．
13. 46　【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得△ABC≌△A′B′C，則∠A′＝∠A＝27°，∠B′＝∠B＝40°，∴∠BCB′＝∠A′＋∠B′＝27°＋40°＝67°，∵∠ACB＝180°－∠B－∠A＝180°－40°－27°＝113°，∴∠ACB′＝∠ACB－∠BCB′＝113°－67°＝46°.
14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A′B′C′由△ABC繞點P旋轉(zhuǎn)得到，則點P的坐標(biāo)為________．

14. (1，－1)　【解析】如解圖，連接AA′、CC′，作線段AA′的垂直平分線MN，作線段CC′的垂直平分線EF，直線MN和直線EF的交點P即為旋轉(zhuǎn)中心．由解圖可得，點P的坐標(biāo)為(1，－1)．



第14題圖 第15題圖
15.如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝2，將△ABC沿直線CB向右作無滑動滾動一次，則點C經(jīng)過的路徑長是________．
15. 　【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∴∠A′B′C′＝30°，把△ABC沿著直線CB向右作無滑動滾動一次，點C經(jīng)過的路線是以點B為圓心，BC長為半徑的圓弧，旋轉(zhuǎn)角是150°，易得BC＝AB·sin60°＝2×＝3，∴點C經(jīng)過的路徑長是＝.
注意旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用：旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小(旋轉(zhuǎn)前后圖形是全等形)，確定了旋轉(zhuǎn)中心與半徑后，注意結(jié)合弧長公式計算點C所經(jīng)過的路線長度．半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長為l＝.
16.如圖，將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A1BC1的位置，AB與A1C1相交于點D，AC與A1C1、BC1分別相交于點E、F.
(1)求證：△BCF≌△BA1D；
(2)當(dāng)∠C＝α度時，判定四邊形A1BCE的形狀并請說明理由．
16. (1)證明：∵△ABC旋轉(zhuǎn)α度得到△A1BC1，
∴∠CBF＝∠A1BD,
∵△ABC≌△A1BC1且△ABC為等腰三角形，
∴BC＝A1B＝BC1, ∠C＝∠A1，
∴△BCF≌△BA1D(ASA)．
(2)解：四邊形A1BCE為菱形．理由如下：
∵∠C＝α，△ABC為等腰三角形，
∴∠C1＝∠A＝α ，
∴∠CBF＝∠C1，
∴A1E∥BC，
∵∠A1BD＝∠A，
∴A1B∥EC，
∴四邊形A1BCE為平行四邊形，
由(1)得BC＝A1B，
∴?A1BCE為菱形 .


命題點5　格點中的作圖及其相關(guān)計算
【命題規(guī)律】1.考查形式：利用圖形變換在網(wǎng)格中作圖，并計算坐標(biāo)、面積或路徑長；2.涉及知識：一般都是與對稱、平移、旋轉(zhuǎn)有關(guān)；3.考查題型主要為解答題．
【命題預(yù)測】對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、網(wǎng)格作圖及相關(guān)計算是中考的命題趨勢之一，且題型常為解答題．
17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點A(0，1)，B(3，2)，C(1，4)均在正方形網(wǎng)格的格點上．
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1；
(2)將△A1B1C1沿x軸方向向左平移3個單位后得到△A2B2C2，寫出頂點A2，B2，C2的坐標(biāo)．

17. 解：(1)作圖，如解圖，△A1B1C1即為所求．

(2)作圖，如解圖，△A2B2C2即為所求．
A2(－3，－1)，B2(0，－2)，C2(－2，－4)．

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點分別為A(－1，－1)，B(－3，3)，C(－4，1)．
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點B的對應(yīng)點B1的坐標(biāo)；
(2)畫出△ABC繞點A按逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△AB2C2，并寫出點C的對應(yīng)點C2的坐標(biāo)．
18. (1)【題圖分析】△ABC關(guān)于y軸對稱，各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，分別找出點A、B、C的對應(yīng)點A1、B1、C1，再順次連接即可，并據(jù)此寫出點B1的坐標(biāo)．
解：如解圖，△A1B1C1即為所求；

點B1的坐標(biāo)為(3，3)．
(2)【題圖分析】以點A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向分別作∠B2AB＝∠C2AC ＝90°，且B2A＝BA，C2A＝CA.再順次連接B2、A、C2即可．
解：如解圖，△AB2C2即為所求；
點C2的坐標(biāo)為(－3，－4)．


中考沖刺集訓(xùn)
一、選擇題
1.在一些漢字的美術(shù)字中，有的是軸對稱圖形．下面四個美術(shù)字中可以看作軸對稱圖形的是(　　)

2.以下圖形，對稱軸的數(shù)量小于3的是(　　)

3.下列圖形是中心對稱圖形的是(　　)

4.如圖，若要添加一條線段，使之既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，正確的添加位置是(　　)

5.在圖形：①線段；②等邊三角形；③矩形；④菱形；⑤平行四邊形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的個數(shù)是(　　)
A. 2　　　　　　B. 3　　　　　　C. 4　　　　　　D. 5
6.下面四個幾何體中，其主視圖不是中心對稱圖形的是(　　)

7.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，則B、D兩點間的距離為(　　)
A. B. 2 C. 3 D. 2


第7題圖 第8題圖

8.把一副三角板按如圖放置，其中∠ABC＝∠DEB＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜邊AC＝BD＝10，若將三角板DEB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△D′E′B，則點A在△D′E′B的(　　)
A．內(nèi)部 B．外部 C．邊上 D．以上都有可能
二、填空題
9.如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點C和點E是對應(yīng)點，若∠CAE＝90°，AB＝1，則BD＝________．

第9題圖 第10題圖

10.如圖，在△ACB中，∠BAC＝50°，AC＝2，AB＝3，現(xiàn)將△ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)50°，得到△AC1B1，則陰影部分面積為________．
11.如圖，BD為正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC，交DC于點E，將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，若CE＝1 cm，則BF＝________cm.


第11題圖 第13題圖
12.已知∠AOB＝60°，點P是∠AOB的平分線OC上的動點，點M在邊OA上，且OM＝4，則點P到點M與到邊OA的距離之和的最小值是________．
13.如圖，直線y＝x＋1與x軸交于點A，與y軸交于點B，△BOC與△B′O′C′是以點A為位似中心的位似圖形，且相似比為1∶3，則點B的對應(yīng)點B′的坐標(biāo)為____________．
三、解答題
14.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的12×12網(wǎng)格中，給出了四邊形ABCD的兩條邊AB與BC，且四邊形ABCD是一個軸對稱圖形，其對稱軸為直線AC.
(1)試在圖中標(biāo)出點D，并畫出該四邊形的另兩條邊；
(2)將四邊形ABCD向下平移5個單位，畫出平移后得到的四邊形A′B′C′D′.







15.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的頂點均在格點上，點B的坐標(biāo)為(1，0)．
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1，寫出B1點的坐標(biāo)；
(2)畫出將△ABC繞原點O按逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得的△A2B2C2，請寫出B2點的坐標(biāo)．





16.如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
(1)請畫出將△ABC向左平移4個單位長度后得到的圖形△A1B1C1；
(2)請畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的圖形△A2B2C2；
(3)在x軸上找一點P，使PA＋PB的值最小，請直接寫出點P的坐標(biāo)．














17.如圖，已知，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E、F分別是CA、CB邊的三等分點．將△ECF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角(0°＜α＜90°)，得到△MCN.連接AM，BN.
(1)求證：AM＝BN；
(2)當(dāng)MA∥CN時，試求旋轉(zhuǎn)角α的余弦值．











1. D
2. D　【解析】A. 如圖有4條對稱軸，故A錯誤；B. 如圖有6條對稱軸，故B錯誤；C. 如圖有4條對稱軸，故C錯誤；D. 如圖有2條對稱軸，故D正確．
3. C　4. A　5. B　6. C

第7題解圖
7. A　【解析】如解圖，連接BD，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，由勾股定理可得AB＝＝＝5，又△ADE是由△ABC旋轉(zhuǎn)而得，∴△ADE≌△ABC，∴AE＝AC＝4，DE＝BC＝3，∠AED＝∠ACB＝90°，∴BE＝AB－AE＝5－4＝1，∴BD＝＝＝，∴B、D兩點間的距離為.

第8題解圖
8. C　【解析】根據(jù)題意，兩個三角板的斜邊長度相等，把三角形DEB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△D′E′B，設(shè)BE的延長線交線段D′E′于點M，由于∠E′BE＝45°，所以△E′BM是等腰直角三角形，所以BM＝E′B，而E′B＝BE＝BD＝5，所以BM＝5，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝×10＝5，∴點A、B、M在同一條直線上，即點A與點M 重合，所以點A在△D′E′B的邊D′E′上．
9. 　【解析】由∠CAE＝90°知旋轉(zhuǎn)角是90°，∴∠BAD＝90°，又AB＝AD＝1，∴BD＝.
10. 　【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，S△ABC＝S△AB1C1，∴S陰影＝S扇形ABB1＝＝.

第11題解圖
11. 2＋　【解析】如解圖，過點E作EG⊥BD且交BD于點G，∵BE平分∠DBC，∠EGB＝∠BCE＝90°，∴EG＝EC＝1 cm，∵四邊形ABCD為正方形，BD為對角線，∴∠BDC＝45°，∴△DEG為等腰直角三角形，∴DE＝EG＝ cm，∴CD＝(1＋) cm，即BC＝(1＋) cm.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CF＝CE＝1 cm，∴BF＝(2＋) cm.

第12題解圖
12. 2　【解析】如解圖，取OM′＝OM＝4，過M′作M′N⊥OA于點N，則M′N即為所求．∵∠AOB＝60°，∴M′N＝OM′·sin60°＝4·＝2.
13. (4，3)或(－8，－3)　【解析】如解圖①，∵y＝x＋1，∴當(dāng)y＝0時，x＝－2，∴A(－2，0)．∵△BOC與△B′O′C′的相似比為1∶3，∴AO∶AO′＝1∶3，∵OA＝2，∴AO′＝6，∴OO′＝4，∴B′點的橫坐標(biāo)為4，又點B′在直線AB上，∴y＝×4＋1＝3，∴B′(4，3)；如解圖②，∵△BOC與△B′O′C′的相似比為1∶3，∴AO∶AO′＝1∶3，∵OA＝2，∴AO′＝6，∴OO′＝8，∴B′點的橫坐標(biāo)為－8，又點B′在直線AB上，∴y＝×(－8)＋1＝－3，∴B′(－8，－3)．綜上所述，點B′的坐標(biāo)為(4，3)或(－8，－3)．
解圖①
　解圖②


第13題解圖
14. 解：(1)所求點D及四邊形ABCD的另兩條邊AD、CD如解圖所示；
第14題解圖
(2)所求四邊形A′B′C′D′如解圖所示．
15. 解：(1)如解圖所示，△A1B1C1即為△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形，
B1點的坐標(biāo)是(－1，0)；
第15題解圖
②如解圖所示，△A2B2C2即為△ABC繞原點O按逆時針旋轉(zhuǎn)90°后所得的三角形，B2點的坐標(biāo)是(0，1)．
16. 解：(1)畫出圖形△A1B1C1，如解圖．
第16題解圖
(2)畫出圖形△A2B2C2，如解圖：
(3)點P的坐標(biāo)為(2，0)．
【解法提示】如解圖，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B，交x軸于點P，則P點即為所求．
17. (1)【思路分析】根據(jù)條件可知△ECF和△MCN都是等腰直角三角形，要證明AM＝BN只要證明△AMC≌△BNC，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得．
證明：∵CA＝CB，且E、F分別是CA和CB邊的三等分點，
∴CE＝CF，
∴CM＝CN＝CE＝CF＝AC，
又∵∠MCN＝∠ACB＝90°，
即∠ACM＋∠ECN＝90°，
∠BCN＝∠ECN＝90°，
∴∠ACM＝∠BCN，
又∵CA＝CB，CM＝CN，
∴△AMC≌△BNC(SAS)，
∴AM＝BN.
(2)【思路分析】要求角的三角函數(shù)值，首先考查α所在的△ACM，是否是直角三角形，即證明∠ACM＋∠CAM＝90°是否成立．若AM∥CN，則根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CAM＝∠ACN，而∠ACN＋∠ACM＝90°，據(jù)此即可證得∠AMC＝90°，△ACM是直角三角形，利用三角函數(shù)的定義即可求解．
解：∵AM∥CN，
∴∠CAM＝∠ACN，
又∵∠ACN＋α＝90°，
∴在△ACM中，∠AMC＝180°－(∠CAM＋α)＝180°－(∠ACN＋∠α)＝90°，
∴△ACM是直角三角形，
∵CM＝AC，
設(shè)CM＝a，則AC＝3a，
∴cosα＝＝＝.

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