第五講　不等式(組)及不等式的應(yīng)用命題點分類集訓(xùn)命題點1　解不等式(組)及其解集表示【命題規(guī)律】1.考查內(nèi)容：①解一次不等式；②解一次不等式并在數(shù)軸上表示解集；③解一次不等式組；④解一次不等式組并在數(shù)軸上表示解集；⑤求一次不等式組的整數(shù)解；⑥通過不等式組的解集確定不等式中未知字母；⑦結(jié)合程序框圖考查不等式的解集.2.解不等式組及其解集在數(shù)軸上的表示考查較多，均在選擇題或解答題中考查，填空題主要考查不等式(組)的解集．【命題預(yù)測】解不等式(組)及其解集在數(shù)軸上表示是全國命題趨勢之一，特別要注意解集在數(shù)軸上的表示方法．1.將不等式3x－2＜1的解集表示在數(shù)軸上，正確的是(　　)1. D2.關(guān)于x的不等式組，其解集在數(shù)軸上表示正確的是(　　)2. D3不等式組的整數(shù)解的個數(shù)為(　　)A. 0個　　　　　B. 2個　　　　　C. 3個　　　　　D. 無數(shù)個3. C　【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式組的解集，再找出整數(shù)解．解不等式組，由①得：x≤1，由②得：x>－2，∴不等式組的解集為－2＜x≤1，∴不等式組的整數(shù)解有－1、0、1三個．4.不等式3(x－1)≤5－x的非負(fù)整數(shù)解有(　　)A. 1個  B. 2個  C. 3個  D. 4個4. C　【解析】將不等式化簡：去括號得，3x－3≤5－x；移項、合并同類項得，4x≤8；系數(shù)化為1得，x≤2，故原不等式的非負(fù)整數(shù)解為0，1，2，共3個，故選C.5.不等式－x＋3＜0的解集是________．5. x＞6　【解析】本題考查了一元一次不等式的解法．移項得，－x＜－3，系數(shù)化為1得，x＞6.6.已知不等式組，在同一條數(shù)軸上表示不等式①，②的解集如圖所示，則b－a的值為________．6. 　【解析】解不等式②得x≤b，由不等式組的解集在數(shù)軸上的表示可得－2≤x≤3，所以得到－a－1＝－2，b＝3，解得a＝1，所以b－a＝3－1＝.7.對一個實數(shù)x按如圖所示的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運行從“輸入一個實數(shù)x”到“結(jié)果是否大于88？”為一次操作，如果操作只進(jìn)行一次就停止，則x的取值范圍是________．7. x＞49　【解析】該操作程序相當(dāng)于是按照2x－10來運算的，如果操作只進(jìn)行一次就停止，則2x－10＞88，解得x＞49.8.解不等式2x－1>，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．8. 解：去分母得4x－2>3x－1，解得x>1. 這個不等式的解集在數(shù)軸上表示如解圖所示： 9.解不等式組：.9. 解：解不等式2x＋5>3(x－1)得x<8，解不等式4x>得x>1，所以不等式組的解集為1<x<8.  10.解不等式組，并寫出它的整數(shù)解．10. 解：解不等式3x＋1≤2(x＋1)，得x≤1，解不等式－x＜5x＋12，得x>－2，∴不等式組的解集是－2<x≤1，∴該不等式組的整數(shù)解是－1，0，1.  11.解不等式組.請結(jié)合題意填空，完成本題的解答．(Ⅰ)解不等式①，得____________；(Ⅱ)解不等式②，得____________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：  (Ⅳ)原不等式組的解集為____________．11. 解：(Ⅰ)x≤4；(Ⅱ)x≥2；(Ⅲ)(Ⅳ)2≤x≤4.命題點2　一次不等式的實際應(yīng)用【命題規(guī)律】1.考查內(nèi)容：①列不等式解決實際問題，常與方程、函數(shù)結(jié)合考查；②不等式建模，并解出最終結(jié)果.2.命題常涉及的不等關(guān)系詞有：大于、小于、超過、至少、至多、最多、不超過等．【命題預(yù)測】一次不等式的實際應(yīng)用常與方程、函數(shù)結(jié)合考查，解題時注意提取題中的關(guān)鍵詞．12.東營市出租車的收費標(biāo)準(zhǔn)是：起步價8元(即行駛距離不超過3千米都需付8元車費)，超過3千米以后，每增加1千米，加收1.5元(不足1千米按1千米計)．某人從甲地到乙地經(jīng)過的路程是x千米，出租車費為15.5元，那么x的最大值是(　　)A. 11  B. 8  C. 7  D. 512. B　【解析】設(shè)他乘此出租車從甲地到乙地行駛的路程是x千米，依題意得8＋1.5(x－3)≤15.5，解得x≤8.即他乘此出租車從甲地到乙地行駛路程不超過8千米，最大值為8.故選B.13.有甲、乙、丙三種糖果混合而成的什錦糖100千克，其中各種糖果的單價和千克數(shù)如下表所示，商家用加權(quán)平均數(shù)來確定什錦糖的單價； 甲種糖果乙種糖果丙種糖果單價(元/千克)152530千克數(shù)404020(1)求該什錦糖的單價；(2)為了使什錦糖的單價每千克至少降低2元，商家計劃在什錦糖中加入甲、丙兩種糖果共100千克，問其中最多可加入丙種糖果多少千克？13. 解：(1)由題意得＝22(元/千克)．答：該什錦糖每千克22元．(2)設(shè)加入丙種糖果x千克，則加入甲種糖果(100－x)千克，由題意得≤20，解得x≤20.答：最多可加入丙種糖果20千克． 命題點3　方程與不等式的實際應(yīng)用【命題規(guī)律】1.考查形式：一般為2～3問，第1問為方程(組) 的實際應(yīng)用，第 2 問會涉及不等關(guān)系式，考查不等式的實際應(yīng)用，若有第3問，一般會涉及方案的選取或求最優(yōu)方案等，題型均為解答題．【命題預(yù)測】方程(組)與不等式的實際應(yīng)用將是全國命題的主流形式之一，利用方程(組)與不等式綜合考查方案設(shè)計問題應(yīng)引起重視．14.某服裝店用4500元購進(jìn)一批襯衫，很快售完．服裝店老板又用2100元購進(jìn)第二批該款式的襯衫，進(jìn)貨量是第一次的一半，但進(jìn)價每件比第一批降低了10元．(1)這兩次各購進(jìn)這種襯衫多少件？(2)若第一批襯衫的售價是200元/件，老板想讓這兩批襯衫售完后的總利潤不低于1950元，則第二批襯衫每件至少要售多少元？14. 解：(1)設(shè)第一次購進(jìn)這種襯衫x件，第二次購進(jìn)這種襯衫x件，根據(jù)題意得：＝＋10，解得x＝30，經(jīng)檢驗x＝30是原方程的解，且符合題意，∴x＝×30＝15.答：第一次購進(jìn)這種襯衫30件，第二次購進(jìn)這種襯衫15件．(2)設(shè)第二批襯衫每件銷售a元，根據(jù)題意得：30×(200－)＋15×(a－)≥1950，解得a≥170.答：第二批襯衫每件至少要售170元.   15.早晨，小明步行到離家900米的學(xué)校去上學(xué)，到學(xué)校時發(fā)現(xiàn)眼鏡忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼鏡后立即按原路騎自行車返回學(xué)校. 已知小明步行從學(xué)校到家所用的時間比他騎自行車從家到學(xué)校所用的時間多10分鐘，小明騎自行車速度是步行速度的3倍．(1)求小明步行速度(單位：米/分)是多少；(2)下午放學(xué)后，小明騎自行車回到家，然后步行去圖書館，如果小明騎自行車和步行的速度不變，小明步行從家到圖書館的時間不超過騎自行車從學(xué)校到家時間的2倍，那么小明家與圖書館之間的路程最多是多少米？15. 解：(1)設(shè)小明步行速度為x米/分，則小明騎自行車的速度為3x米/分．根據(jù)題意得，＝＋10，解得x＝60，經(jīng)檢驗x＝60是原分式方程的解，答：小明步行速度是60米/分．(2)設(shè)小明家到圖書館之間的路程為a米，根據(jù)題意得，≤2×，∴a≤600，答：小明家與圖書館的路程最多為600米．     
中考沖刺集訓(xùn)一、選擇題1.已知不等式組的解集是x≥1，則a的取值范圍是(　　)A. a<1　　　　B. a≤1　　　　C. a≥1　　　　D. a>12.不等式組的解集是(　　)A. x＞－2  B. x＜1  C. －1＜x＜2  D. －2＜x＜13.不等式組的解集在數(shù)軸上表示為(　　)4.不等式組的解集是x＞1，則m的取值范圍是(　　)A. m≥1     B. m≤1    C. m≥0     D. m≤05.點A，B在數(shù)軸上的位置如圖所示，其對應(yīng)的數(shù)分別是a和b.對于以下結(jié)論：甲：b－a＜0；乙：a＋b＞0；丙：|a|＜|b|；?。?/span>＞0.其中正確的是(　　)A. 甲乙  B. 丙丁  C. 甲丙  D. 乙丁6.不等式＞－1的正整數(shù)解的個數(shù)是(　　)A. 1個  B. 2個  C. 3個  D. 4個7.某經(jīng)銷商銷售一批電話手表，第一個月以550元/塊的價格售出60塊，第二個月起降價，以500元/塊的價格將這批電話手表全部售出，銷售總額超過了5.5萬元．這批電話手表至少有(　　)A. 103塊  B. 104塊  C. 105塊  D. 106塊二、填空題8.不等式＞＋2的解是________．9.不等式組的解集是________．10.不等式5x－3＜3x＋5的最大整數(shù)解是________．11.不等式組有3個整數(shù)解，則m的取值范圍是________．三、解答題12. x取哪些整數(shù)值時，不等式5x＋2＞3(x－1)與x≤2－x都成立？     13.解不等式組，并寫出該不等式組的最大整數(shù)解．       14.某商場計劃購進(jìn)A、B兩種商品，若購進(jìn)A種商品20件和B種商品15件需380元；若購進(jìn)A種商品15件和B種商品10件需280元．(1)求A、B兩種商品的進(jìn)價分別是多少元？(2)若購進(jìn)A、B兩種商品共100件，總費用不超過900元，問最多能購進(jìn)A種商品多少件？              15.某商場用24000元購入一批空調(diào)，然后以每臺3000元的價格銷售，因天氣炎熱，空調(diào)很快售完；商場又以52000元的價格再次購入該種型號的空調(diào)，數(shù)量是第一次購入的2倍，但購入的單價上調(diào)了200元，售價每臺也上調(diào)了200元．(1)商場第一次購入的空調(diào)每臺進(jìn)價是多少元？(2)商場既要盡快售完第二次購入的空調(diào)，又要在這兩次空調(diào)銷售中獲得的利潤率不低于22%，打算將第二次購入的部分空調(diào)按每臺九五折出售，最多可將多少臺空調(diào)打折出售？           16.某市對初三綜合素質(zhì)測評中的審美與藝術(shù)維度進(jìn)行考核，規(guī)定如下：考核綜合評價得分由測試成績(滿分100分)和平時成績(滿分100分)兩部分組成，其中測試成績占80%，平時成績占20%，并且當(dāng)綜合評價得分大于或等于80分時，該學(xué)生綜合評價評為A等．(1)孔明同學(xué)的測試成績和平時成績兩項得分之和為185分，而綜合評價得分為91分，則孔明同學(xué)測試成績和平時成績各得多少分？(2)某同學(xué)測試成績?yōu)?0分，他的綜合評價得分有可能達(dá)到A等嗎？為什么？(3)如果一個同學(xué)綜合評價得分要達(dá)到A等，他的測試成績至少要多少分？     答案與解析：1. A　2. D　3. C4. D　【解析】，解①得x＞1，解②得x＞1＋m，∵不等式組的解集是x＞1，∴m＋1≤1，∴m≤0，故選D.5. C　【解析】∵由數(shù)軸可知b<－3<0<a<3，∴甲和丙的結(jié)論都正確，故選C.6. D　【解析】解不等式＞－1得，3(x＋1)＞2(2x＋2)－6，3x＋3＞4x＋4－6，x＜5.∵小于5的正整數(shù)有1，2，3，4，∴該不等式的正整數(shù)解有1，2，3，4，共4個，故選D.7. C　【解析】設(shè)這批電話手表有x塊，根據(jù)“銷售總額超過5.5萬元”列不等式得550×60＋500(x－60)＞55000，解得x＞104，所以這批電話手表至少有105塊．8. x＞－3　9. －3<x≤110. 3　【解析】由不等式5x－3＜3x＋5，移項，5x－3x＜5＋3，合并同類項，2x＜8，系數(shù)化為1，x＜4，∴最大整數(shù)解為3.11. 2＜m≤3　【解析】本題主要考查了一元一次不等式組的計算，特別注意最后解集范圍的確定．∵原不等式組有3個整數(shù)解，且解集為：－1＜x＜m，∴三個整數(shù)解為0，1，2，∴2＜m≤3.12. 解：不等式5x＋2＞3(x－1)可化為：x＞－，不等式x≤2－x可化為：x≤1，取公共部分：－＜x≤1，∴滿足條件的整數(shù)為－2，－1，0，1.13. 解：，解不等式①得，x≥－2；解不等式②得，x＜1；∴不等式組的解集為－2≤x＜1，∴不等式組的最大整數(shù)解為x＝0.14. 解：(1)設(shè)A種商品的進(jìn)價為x元，B種商品的進(jìn)價為y元，根據(jù)題意，得，解得，答：A種商品的進(jìn)價為16元，B種商品的進(jìn)價為4元．(2)設(shè)購進(jìn)A種商品a件，則購進(jìn)B種商品(100－a)件，根據(jù)題意，得16a＋4(100－a)≤900，解得a≤＝41，∵a取正整數(shù)，∴a的最大正整數(shù)解為a＝41，答：最多能購進(jìn)A種商品41件．15. (1)【思路分析】根據(jù) “第二次購入空調(diào)的數(shù)量＝第一次購入空調(diào)數(shù)量的2倍”，列方程求解即可．解：設(shè)商場第一次購入的空調(diào)每臺進(jìn)價是x元，根據(jù)題意，得＝2×，解得x＝2400，經(jīng)檢驗，x＝2400是原方程的解且符合實際意義．答：商場第一次購入的空調(diào)每臺進(jìn)價是2400元．(2)【思路分析】先分別計算出每次購入空調(diào)的銷售額，然后再根據(jù)題意列不等式求解即可．解：第一次購入空調(diào)：24000÷2400＝10(臺)，銷售額為：3000×10＝30000(元)；第二次購入空調(diào)：52000÷(2400＋200)＝20(臺)，設(shè)打折出售y臺空調(diào)，則銷售額為：(3000＋200)×(20－y)＋(3000＋200)×0.95y＝64000－160y，兩次共獲得的利潤為：30000＋(64000－160y)－(24000＋52000)＝18000－160y，根據(jù)題意，得18000－160y≥(24000＋52000)×22%，解得y≤8，答：最多可將8臺空調(diào)打折出售．16. 解：(1)設(shè)孔明同學(xué)測試成績?yōu)?/span>x分，平時成績?yōu)?/span>y分，由題意得，解得.答：孔明同學(xué)測試成績?yōu)?/span>90分，平時成績?yōu)?/span>95分．(2)設(shè)該同學(xué)平時成績?yōu)?/span>100分，則他的綜合評價得分為：70×80%＋100×20%＝76＜80，因此他的綜合評價得分不可能達(dá)到A等．(3)設(shè)他的測試成績?yōu)?/span>a分，則a×80%＋100×20%≥80，解得a≥75.答：他的測試成績至少要75分． 

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