?第十九講　概 率
命題點(diǎn)分類集訓(xùn)
命題點(diǎn)1　事件的分類
【命題規(guī)律】1.事件的分類主要考查事件的判斷，確定事件分為必然事件(概率為1)和不可能事件(概率為0)，隨機(jī)事件發(fā)生概率介于 0和1 之間.2.考查形式：①下列事件是…事件的是；②下列說(shuō)法正確的是；③…事件是….
【命題預(yù)測(cè)】事件的分類是研究概率知識(shí)的基礎(chǔ)，值得關(guān)注．
1.在1，3，5，7，9中任取出兩個(gè)數(shù)，組成一個(gè)奇數(shù)的兩位數(shù)，這一事件是(　　)
A. 不確定事件　　　B. 不可能事件 C. 可能性大的事件 D. 必然事件
1. D　【解析】在1，3，5，7，9中任取出兩個(gè)數(shù)，組成一個(gè)奇數(shù)的兩位數(shù)，是一定發(fā)生的事件，因而是必然事件，故選D.
2.下列事件中，是必然事件是(　　)
A. 兩條線段可以組成一個(gè)三角形 B. 400人中有兩個(gè)人的生日在同一天
C. 早上的太陽(yáng)從西方升起 D. 打開(kāi)電視機(jī)，它正在播放動(dòng)畫片
2. B　【解析】逐項(xiàng)分析如下：
選項(xiàng)
逐項(xiàng)分析
正誤
A
兩條線段組成一個(gè)三角形是不可能事件
×
B
400人中有兩個(gè)人的生日在同一天，此事件一定發(fā)生，是必然事件
√
C
早上的太陽(yáng)從西方升起是不可能事件
×
D
打開(kāi)電視機(jī)，它正在播放動(dòng)畫片是隨機(jī)事件
×
3.下列說(shuō)法中，正確的是(　　)
A. 不可能事件發(fā)生的概率為0 B. 隨機(jī)事件發(fā)生的概率為
C. 概率很小的事件不可能發(fā)生 D. 投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)一定為50次
3. A　【解析】逐項(xiàng)分析如下：
選項(xiàng)
逐項(xiàng)分析
正誤
A
不可能事件指一定不會(huì)發(fā)生的事件，其發(fā)生的概率為0
√
B
隨機(jī)事件指有可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，發(fā)生的概率為0～1
×
C
概率很小的事情可能發(fā)生也可能不發(fā)生，發(fā)生的可能性較小，但不是不可能發(fā)生
×
D
投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，每一次正面朝上的概率均為，正面朝上的次數(shù)不確定
×
命題點(diǎn)2　一步概率計(jì)算
【命題規(guī)律】1.主要考查概率計(jì)算公式P(A)＝(m 表示滿足事件A的可能結(jié)果數(shù)，n表示所有可能結(jié)果數(shù))的應(yīng)用，只需一步便可解決.2.解決此類問(wèn)題，首先找準(zhǔn)所有可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)，再找準(zhǔn)事件A發(fā)生的可能結(jié)果數(shù)，最后應(yīng)用概率公式直接運(yùn)算，注意事件A的可能結(jié)果數(shù)要不重不漏，避免出錯(cuò)．
【命題趨勢(shì)】一步概率計(jì)算結(jié)合一些簡(jiǎn)單的游戲設(shè)計(jì)進(jìn)行計(jì)算，是?？嫉幕A(chǔ)概率計(jì)算．
4.某個(gè)密碼鎖的密碼由三個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字都是0～9這十個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，只有當(dāng)三個(gè)數(shù)字與所設(shè)定的密碼及順序完全相同時(shí)，才能將鎖打開(kāi)，如果僅忘記了所設(shè)密碼的最后那個(gè)數(shù)字，那么一次就能打開(kāi)該密碼鎖的概率是(　　)
A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
4. A　【解析】隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)字，共有10種等可能結(jié)果，能打開(kāi)密碼鎖的結(jié)果只有一種，所以一次就能打開(kāi)密碼鎖的概率是.
5.已知袋中有若干個(gè)球，其中只有2個(gè)紅球，它們除顏色外其他都相同，若隨機(jī)摸出一個(gè)，摸到紅球的概率是，則袋中球的總個(gè)數(shù)是(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. D　【解析】由概率的意義可知：袋中球的總數(shù)＝紅球的個(gè)數(shù)÷摸到紅球的概率，即袋中球的總個(gè)數(shù)是2÷＝8(個(gè))．
6.如圖，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分別位于格點(diǎn)上，從C、D、E、F四點(diǎn)中任取一點(diǎn)，與點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)作三角形，則所作三角形為等腰三角形的概率是________．
6. 　【解析】由題意知，C，D，F(xiàn)三點(diǎn)可與A，B構(gòu)成等腰三角形，E點(diǎn)不可以，則概率為.


第6題圖 第7題圖
7.小球在如圖所示的地板上自由滾動(dòng)，并隨機(jī)停留在某塊正方形的地磚上，則它停在白色地磚上的概率是________．
7. 　【解析】∵黑色地磚有2塊，白色地磚有3塊，且小球停在每塊地磚上的可能性相同，∴小球停在白色地磚上的概率為.
8.從“線段，等邊三角形，圓，矩形，正六邊形”這五個(gè)圖形中任取一個(gè)，取到既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率是________．
8. 　【解析】從五個(gè)圖形中任取一個(gè)，則共有5種等可能的結(jié)果，取到既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有4種，故其概率為.
命題點(diǎn)3　樹狀圖或列表法計(jì)算概率
【命題規(guī)律】1.這類題的考查與實(shí)際生活比較貼近，命題背景一般有：①摸球游戲(分兩次摸球或從兩個(gè)袋子中分別摸球)；②擲骰子游戲(兩次求點(diǎn)數(shù)之和等)；③抽卡片游戲；④和其他知識(shí)相結(jié)合如物理電路圖.2.試題解法有固定的模式：主要是利用畫樹狀圖或列表法將所有等可能結(jié)果不重不漏地列舉出來(lái)，使所有等可能結(jié)果清晰呈現(xiàn)，進(jìn)而根據(jù)題設(shè)條件選擇滿足要求的事件的可能結(jié)果，最后再運(yùn)用概率公式求解即可．
【命題趨勢(shì)】用樹狀圖或列表法計(jì)算概率主要考查兩步以上概率計(jì)算的方法，是概率計(jì)算命題的一大趨勢(shì)．
9.一個(gè)盒子裝有除顏色外其他均相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，現(xiàn)從中任取2個(gè)球，則取到的是一個(gè)紅球、一個(gè)白球的概率為(　　)
A. B. C. D.
9. C　【解析】畫樹狀圖分析如下：紅1、紅2、白1、白2、白3，

由樹狀圖可知，共有20種均等可能的結(jié)果，其中取到一紅一白的結(jié)果有12種，所以P(一紅一白)＝＝.故選C.
10.有6張看上去無(wú)差別的卡片，上面分別寫著1，2，3，4，5，6.隨機(jī)抽取一張后，放回并混在一起，再隨機(jī)抽取一張，兩次抽取的數(shù)字的積為奇數(shù)的概率是(　　)
A. B. C. D.
10. B　【解析】列表如下：

第一次第二次　　　積
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
共有36種等可能情況，其中積為奇數(shù)的有9種，所以P(積為奇數(shù))＝＝.
11.如圖，隨機(jī)地閉合開(kāi)關(guān)S1，S2，S3，S4，S5中的三個(gè)，能夠使燈泡L1，L2同時(shí)發(fā)光的概率是________．
11. 　【解析】畫樹狀圖如解圖：





共有60種等可能結(jié)果，符合要求的結(jié)果是12種，故概率為＝.
12.從數(shù)－2，－，0，4中任取一個(gè)數(shù)記為m，再?gòu)挠嘞碌娜齻€(gè)數(shù)中，任取一個(gè)數(shù)記為n，若k＝mn，則正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過(guò)第三、第一象限的概率是________．
12. 　【解析】畫樹狀圖如下：
第
由樹狀圖可知共有12種等可能的結(jié)果，其中k＝mn為正的有2種，當(dāng)k＝mn是正數(shù)時(shí)，正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過(guò)第一、第三象限．∴P＝＝.
13.在某電視臺(tái)的一檔選秀節(jié)目中，有三位評(píng)委，每位評(píng)委在選手完成才藝表演后，出示“通過(guò)”(用√表示)或“淘汰”(用表示)的評(píng)定結(jié)果．節(jié)目組規(guī)定：每位選手至少獲得兩位評(píng)委的“通過(guò)”才能晉級(jí)．
(1)請(qǐng)用樹形圖列舉出選手A獲得三位評(píng)委評(píng)定的各種可能的結(jié)果；
(2)求選手A晉級(jí)的概率．
13. 解：(1)用樹狀圖表示選手A獲得三位評(píng)委評(píng)定的各種可能的結(jié)果，如解圖：
　　　　　
由樹形圖可知，選手A一共能獲得8種等可能的結(jié)果，這些結(jié)果的可能性相等．
(2)由(1)中樹狀圖可知，符合晉級(jí)要求的結(jié)果4種，
∴P(A晉級(jí))＝＝.

14.A、B兩組卡片共5張，A中三張分別寫有數(shù)字2、4、6，B中兩張分別寫有3、5.它們除數(shù)字外沒(méi)有任何區(qū)別．
(1)隨機(jī)地從A中抽取一張，求抽到數(shù)字為2的概率；
(2)隨機(jī)地分別從A、B中各抽取一張，請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果．現(xiàn)制定這樣一個(gè)游戲規(guī)則：若所選出的兩數(shù)之積為3的倍數(shù)，則甲獲勝；否則乙獲勝．請(qǐng)問(wèn)這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方公平嗎？為什么？
14. 解：(1)P(抽到數(shù)字為2)＝.
(2)游戲規(guī)則不公平，理由如下．
畫樹狀圖表示所有可能結(jié)果，如解圖：


由圖知共有6種等可能結(jié)果，其中兩數(shù)之積為3的倍數(shù)的有4種．
∴P(甲獲勝)＝＝，P(乙獲勝)＝＝
∴游戲規(guī)則不公平．

15.在四張編號(hào)為A，B，C，D的卡片(除編號(hào)外，其余完全相同)的正面分別寫上如圖所示的正整數(shù)后，背面向上，洗勻放好，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張(不放回)，再?gòu)氖Ｏ碌目ㄆ须S機(jī)抽取一張．

(1)請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法表示兩次抽取卡片的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；(卡片用A，B，C，D表示)
(2)我們知道，滿足a2＋b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù)，求抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的概率．
15. 解：(1)列表法如下：

A
B
C
D
A

AB
AC
AD
B
BA

BC
BD
C
CA
CB

CD
D
DA
DB
DC

或畫樹狀圖如下：

(2)在A中，22＋32≠42；在B中，32＋42＝52；在C中，62＋82＝102；在D中52＋122＝132，
則A中正整數(shù)不是勾股數(shù)，B，C，D中的正整數(shù)是勾股數(shù)．
∴P(抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù))＝＝.
命題點(diǎn)4　統(tǒng)計(jì)與概率結(jié)合
【命題規(guī)律】此類題將概率和統(tǒng)計(jì)結(jié)合，一般為2～3問(wèn)，第1問(wèn)通?？疾榻y(tǒng)計(jì)知識(shí)，最后1問(wèn)涉及列表或樹狀圖法計(jì)算概率，有時(shí)還會(huì)涉及到游戲的公平性.
【命題預(yù)測(cè)】統(tǒng)計(jì)與概率都是與日常生活結(jié)合緊密，聯(lián)系實(shí)驗(yàn)生活，是全國(guó)命題趨勢(shì)之一，值得關(guān)注．
16.為了解市民對(duì)全市創(chuàng)衛(wèi)工作的滿意程度，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在全市甲、乙兩個(gè)區(qū)內(nèi)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，將調(diào)查結(jié)果分為不滿意、一般、滿意、非常滿意四類，回收、整理好全部問(wèn)卷后，得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
請(qǐng)結(jié)合圖中的信息，解決下列問(wèn)題：
(1)求此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)；
(2)求此次調(diào)查中結(jié)果為非常滿意的人數(shù)；
(3)興趣小組準(zhǔn)備從調(diào)查結(jié)果為不滿意的4位市民中隨機(jī)選擇2位進(jìn)行回訪，已知4位市民中有2位來(lái)自甲區(qū)，另2位來(lái)自乙區(qū)，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出選擇的市民均來(lái)自甲區(qū)的概率．
16. 解：(1)由圖知，滿意20人，占調(diào)查人數(shù)的40%.
∴此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為：20÷40%＝50(人)．
(2)∵非常滿意的人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的36%，
∴非常滿意的人數(shù)為：50×36%＝18(人)．
(3)畫樹狀圖如下：


∴市民均來(lái)自甲區(qū)的概率為：＝.


中考沖刺集訓(xùn)
一、選擇題
1.在英文單詞“parallel”(平行)中任意選擇一個(gè)字母“a”的概率為(　　)
A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D.
2.下列說(shuō)法正確的是(　　)
A. 為了審核書稿中的錯(cuò)別字，選擇抽樣調(diào)查
B. 為了了解春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)的收視率，選擇全面調(diào)查
C. “射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心”是隨機(jī)事件
D. “經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈”是必然事件
3.有一枚均勻的正方體骰子，骰子各個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6.若任意拋擲一次骰子，朝上的面的點(diǎn)數(shù)記為x，計(jì)算|x－4|，則其結(jié)果恰為2的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.有5張看上去無(wú)差別的卡片，上面分別寫著1，2，3，4，5.隨機(jī)抽取3張，用抽到的三個(gè)數(shù)字作為邊長(zhǎng)，恰能構(gòu)成三角形的概率是(　　)
A. B. C. D.
5.如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，黑色部分的圖形構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，現(xiàn)在任意選取一個(gè)白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的圖形仍然構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形的概率是(　　)
A. B. C. D.
二、填空題
6.有一枚材質(zhì)均勻的正方體骰子，它的六個(gè)面上分別有1點(diǎn)、2點(diǎn)、…、6點(diǎn)的標(biāo)記．?dāng)S一次骰子，向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的概率是________．
7.已知一包糖果共有五種顏色(糖果僅有顏色差別)，如圖是這包糖果顏色分布百分比的統(tǒng)計(jì)圖，在這包糖果中任取一粒糖果，則取出的糖果的顏色為綠色或棕色的概率是________．
8.不透明袋子中有1個(gè)紅球、2個(gè)黃球，這些球除顏色外無(wú)其他差別．從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球后放回，再隨機(jī)摸出1個(gè)球，兩次摸出的球都是黃球的概率是________．
9.已知四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－1，1)，(2，2)，(，)，(－5，－)，從中隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)，在反比例函數(shù)y＝圖象上的概率是________．
三、解答題
10.已知反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝x＋2的圖象交于點(diǎn)A(－3，m)．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)如果點(diǎn)M的橫、縱坐標(biāo)都是不大于3的正整數(shù)，求點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上的概率．








11.一袋中裝有形狀大小都相同的四個(gè)小球，每個(gè)小球上各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，分別是1，4，7，8.現(xiàn)規(guī)定從袋中任取一個(gè)小球，對(duì)應(yīng)的數(shù)字作為一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)；然后將小球放回袋中并攪拌均勻，再任取一個(gè)小球，對(duì)應(yīng)的數(shù)字作為這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)．
(1)寫出按上述規(guī)定得到所有可能的兩位數(shù)；
(2)從這些兩位數(shù)中任取一個(gè)，求其算術(shù)平方根大于4且小于7的概率．









12.甲、乙兩人利用撲克牌玩“10點(diǎn)”游戲．游戲規(guī)則如下：
①將牌面數(shù)字作為“點(diǎn)數(shù)”，如紅桃6的“點(diǎn)數(shù)”就是6(牌面點(diǎn)數(shù)與牌的花色無(wú)關(guān))；
②兩人摸牌結(jié)束時(shí)，將所摸牌的“點(diǎn)數(shù)”相加，若“點(diǎn)數(shù)”之和小于或等于10，此時(shí)“點(diǎn)數(shù)”之和就是“最終點(diǎn)數(shù)”；若“點(diǎn)數(shù)”之和大于10，則“最終點(diǎn)數(shù)”是0；
③游戲結(jié)束前雙方均不知道對(duì)方“點(diǎn)數(shù)”；
④判定游戲結(jié)果的依據(jù)是：“最終點(diǎn)數(shù)”大的一方獲勝，“最終點(diǎn)數(shù)”相等時(shí)不分勝負(fù)．
現(xiàn)甲、乙均各自摸了兩張牌，數(shù)字之和都是5，這時(shí)桌上還有四張背面朝上的撲克牌，牌面數(shù)字分別是4，5，6，7.
(1)若甲從桌上繼續(xù)摸一張撲克牌，乙不再摸牌，則甲獲勝的概率為_(kāi)_______；
(2)若甲先從桌上繼續(xù)摸一張撲克牌，接著乙從剩下的撲克牌中摸出一張牌，然后雙方不再摸牌．請(qǐng)用樹狀圖或表格表示出這次摸牌后所有可能的結(jié)果，再列表呈現(xiàn)甲、乙的“最終點(diǎn)數(shù)”，并求乙獲勝的概率．







13.今年5月，某大型商業(yè)集團(tuán)隨機(jī)抽取所屬的m家商業(yè)連鎖店進(jìn)行評(píng)估，將各連鎖店按照評(píng)估成績(jī)分成了A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.
評(píng)估成績(jī)n(分)
評(píng)定等級(jí)
頻數(shù)
90≤n≤100
A
2
80≤n

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