?第八講　反比例函數(shù)
命題點(diǎn)分類集訓(xùn)
命題點(diǎn)1　反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【命題規(guī)律】考查內(nèi)容：①函數(shù)圖象所在象限與 k 之間的關(guān)系；②函數(shù)增減性與 k 之間的關(guān)系；③函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)條件來確定解析式或求k值；④函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)值比較大??；⑤寫出函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)；⑥判斷函數(shù)的圖象．
【命題預(yù)測】反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)作為反比例函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，是命題的一大趨勢，掌握函數(shù)圖象與k之間的關(guān)系是解決問題之關(guān)鍵．
1.點(diǎn)(2，－4)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則下列各點(diǎn)在此函數(shù)圖象上的是(　　)
A. (2，4)　　B. (－1，－8)　　C. (－2，－4)　　D. (4，－2)
1. D
2.姜老師給出一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，甲、乙、丙三位同學(xué)分別正確指出了這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)．甲：函數(shù)圖象經(jīng)過第一象限；乙：函數(shù)圖象經(jīng)過第三象限；丙：在每一個(gè)象限內(nèi)，y值隨x值的增大而減?。鶕?jù)他們的敘述，姜老師給出的這個(gè)函數(shù)表達(dá)式可能是(　　)
A. y＝3x B. y＝ C. y＝－ D. y＝x2
2. B
3.函數(shù)y＝的圖象可能是(　　)

3. C
4.我們把直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．反比例函數(shù)y＝－的圖象上有一些整點(diǎn)，請(qǐng)寫出其中一個(gè)整點(diǎn)的坐標(biāo)________．
4. (1，－3)(答案不唯一，合理即可) 　【解析】對(duì)于y＝－，依題意，說明只要x是3的約數(shù)即可，如(1，－3)，(－1，3)．
5.已知反比例函數(shù)y＝(k≠0)，如果在這個(gè)函數(shù)圖象所在的每一個(gè)象限內(nèi)，y的值隨著x的值增大而減小，那么k的取值范圍是________．
5. k>0　【解析】∵反比例函數(shù)y＝(k≠0)，圖象所在的每一個(gè)象限內(nèi)，y的值隨著x的值增大而減小，∴k的取值范圍是：k＞0.
6.已知點(diǎn)(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函數(shù)y＝(m”或“＝”或“0時(shí)，反比例函數(shù)y＝圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，直線y＝kx＋k2經(jīng)過第一、二、三象限，沒有符合題意的選項(xiàng)；當(dāng)k0)交于點(diǎn)A(1，a)，則y1>y2的解集為________．
13. x＞1 　【解析】當(dāng)x＞1時(shí)，直線的圖象在雙曲線圖象的上方，即y1＞y2.因此，y1＞y2的解集為x＞1.
14.如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b(ky2時(shí)x的取值范圍．













12.如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝(x>0)的圖象交于A(2，－1)，B(，n)兩點(diǎn)，直線y＝2與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
(2)求△ABC的面積．












13.環(huán)保局對(duì)某企業(yè)排污情況進(jìn)行檢測，結(jié)果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標(biāo)，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0 mg/L.環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天以內(nèi)(含15天)排污達(dá)標(biāo)．整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y(mg/L)與時(shí)間x(天)的變化規(guī)律如圖所示．其中線段AB表示前3天的變化規(guī)律，從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時(shí)間x成反比例關(guān)系．
(1)求整改過程中硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度，能否在15天以內(nèi)不超過最高允許的1.0mg/L？為什么？









1. D　【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)或者利用特殊值法即可作出選擇．方法一：∵反比例函數(shù)y＝－中k＝－1＜0，∴當(dāng)x＜0時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，y＜0.又∵x1＜0＜x2，∴y1＞0＞y2.故選D.方法二：令x1＝－1，則y1＝1，令x2＝1，則y2＝－1，∴y1＞0＞y2.
2. B　【解析】∵由題意可得路程s＝80×4＝320，∴v＝.

第3題解圖
3. A　【解析】如解圖，根據(jù)題意，兩個(gè)函數(shù)的圖象在第一象限有公共點(diǎn)，則關(guān)于x的方程＝mx＋6有實(shí)數(shù)根，方程化簡為：mx2＋6x－n＝0，顯然m≠0，Δ＝36＋4mn≥0，所以mn≥－9，由于一次函數(shù)與反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象有公共點(diǎn)，所以n＞0，顯然當(dāng)一次函數(shù)y隨x的增大而增大時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象在第一象限有交點(diǎn)，即mn≥－9符合題意．

第4題解圖
4. D　【解析】如解圖所示，過點(diǎn)A作AG⊥OB，垂足為G，設(shè)A點(diǎn)縱坐標(biāo)為4m，∵sin∠AOB＝，∴OA＝5m，根據(jù)勾股定理可得OG＝3m，又∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝上，∴3m×4m＝48，∴m1＝2，m2＝－2(不合題意，舍去)，∴AG＝8，OG＝6，OA＝OB＝10，∵四邊形OBCA是菱形，∴BC∥OA，∴S△AOF＝S菱形OBCA＝×AG×OB＝×8×10＝40.故選D.
5. 2＋4　【解析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得，xy＝4，在Rt△ABO中，由勾股定理得，OB2＋AB2＝OA2，∴x2＋y2＝16，∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝16＋8＝24，又∵x＋y>0，∴x＋y＝2，∴△ABC的周長＝2＋4.
6. －2(答案不唯一)　【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，則k＜0，如k＝－2(答案不唯一)．

第7題解圖
7. 2　【解析】由題意可知，D點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，如解圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，作DF⊥y軸于點(diǎn)F，則k＝xD·yD＝DF·DE＝S矩形OEDF，又D為對(duì)角線AC中點(diǎn)，所以S矩形OEDF＝S矩形OABC＝2，∴k＝2.
8. m＜1　【解析】∵在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨x的增大而增大，∴雙曲線在二、四象限內(nèi)，∴在函數(shù)y＝中，m－1＜0，即m＜1.

第9題解圖
9. －6　【解析】如解圖，連接AC交y軸于點(diǎn)D，因?yàn)樗倪呅蜛BCO是菱形，且面積為12，則△OCD的面積為3，利用反比例函數(shù)k的幾何意義可得k＝－6.
10. 6　【解析】 設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，)，直線OA的解析式為y＝kx，于是有＝ka，∴k＝，直線為y＝x，聯(lián)立得方程組，解得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，∵AO＝AC，A(a，)，∴C(2a，0)，∴S△ABC＝S△AOC－S△BOC＝×2a×－×2a×＝9－3＝6.
11. 解：(1)把點(diǎn)A(2，5)代入反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)＝，
∴k＝xy＝10，
把(2，5)代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x＋b，
∴5＝2＋b，
∴b＝3.
(2)由(1)知k＝10，b＝3，
∴反比例函數(shù)的解析式是y＝，
一次函數(shù)的解析式是y＝x＋3.
解方程x＋3＝，
∴x2＋3x－10＝0，
解得x1＝2(舍去)，x2＝－5，
∴點(diǎn)B 坐標(biāo)是(－5，－2)，
∵反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)值，即反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)圖象上方時(shí)，x的取值范圍，
∴根據(jù)圖象可得不等式的解集是x＜－5或0＜x＜2.
12. 解：(1)∵點(diǎn)A(2，－1)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴－1＝，即m＝－2.
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝－.
∵點(diǎn)B(，n)在反比例函數(shù)y＝－的圖象上，
∴n＝－＝－4，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，－4)．
將點(diǎn)A(2，－1)和點(diǎn)B(，－4)分別代入y＝kx＋b，得

第12題解圖

，解得，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝2x－5.
(2)如解圖，設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)D.
令y＝2x－5中x＝0，得y＝－5，即點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0，－5)，
∴OD＝5.
∵直線y＝2與y軸交于點(diǎn)C，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，2)，
∴CD＝OC＋OD＝7.
∴S△ABC＝S△ACD－S△BCD＝×7×2－×7×＝7－＝.
13. 解：(1)當(dāng)0≤x≤3時(shí)，設(shè)線段AB的解析式為y＝kx＋b，
代入點(diǎn)A(0，10)，B(3，4)，得：，
解得，
∴線段AB的解析式為y＝－2x＋10.
當(dāng)x>3時(shí)，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝，代入點(diǎn)B(3，4)，得m＝12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝.
(2)能．理由如下：
當(dāng)x＝15時(shí)，代入y＝，得y＝0.8

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