?第十七講　圖形的相似
命題點(diǎn)分類(lèi)集訓(xùn)
命題點(diǎn)1　平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例
【命題規(guī)律】考查內(nèi)容：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例．
【命題預(yù)測(cè)】平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例在平行線(xiàn)的性質(zhì)方面作用很大，它可以不用確定相似三角形就能得到線(xiàn)段的比例關(guān)系，是命題的方式之一．
1.在△ABC中，DE∥BC，若＝，則＝(　　)
A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D.
1. C　【解析】∵DE∥BC，∴＝＝.



第1題圖 第2題圖

2.如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于________．
2. 　【解析】∵AB∥CD∥EF，∴＝，而AD＝AG＋GD＝3，DF＝5，∴的值為.
命題點(diǎn)2　相似三角形的有關(guān)證明與計(jì)算
【命題規(guī)律】1.考查內(nèi)容：①相似三角形的性質(zhì)；②相似三角形的判定；③相似三角形的判定及性質(zhì)運(yùn)用；2.相似三角形可與多個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，如在四邊形、函數(shù)的相關(guān)計(jì)算題中常會(huì)涉及，另外也會(huì)在二次函數(shù)綜合題中探究相似三角形的存在性問(wèn)題．
【命題預(yù)測(cè)】相似三角形是研究?jī)蓚€(gè)三角形關(guān)系的重要模板，也是命題人命制試題的重要知識(shí)點(diǎn)．
3.△ABC與△DEF的相似比為1∶4，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為(　　)
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶16
3. C
4.如圖，點(diǎn)F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線(xiàn)CF交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，在不添加輔助線(xiàn)的情況下，與△AEF相似的三角形有(　　)
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
4. C

第4題圖 第5題圖 第6題圖

5.如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，下列說(shuō)法中不正確的是(　　)
A. DE＝BC B. ＝ C. △ADE∽△ABC D. S△ADE∶S△ABC＝1∶2
5. D　【解析】∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DE＝BC且DE∥BC，故A正確；∵DE∥BC，＝＝，故B正確；∵＝＝，∠A＝∠A ，∴ △ADE∽△ABC，故C正確；∵△ADE∽△ABC，∴＝()2＝，故D不正確．
6.如圖，△ABC中，AD是中線(xiàn)，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線(xiàn)段AC的長(zhǎng)為(　　)
A. 4 B. 4 C. 6 D. 4
6. B　【解析】∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴＝，即AC2＝BC·DC，∵AD是中線(xiàn)，BC＝8，∴DC＝BC＝4，∴AC2＝8×4，∴AC＝4.
7.如圖，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在菱形ABCD的邊AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BF交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，若＝2，則的值為(　　)
A. B. C. D.

7. B　【解析】設(shè)AF＝2x，則DF＝x＝AE，BE＝2x.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AB∥CD，所以△DHF∽△ABF，＝＝＝，解得HD＝AB＝1.5x，BF＝2HF.同理△DHG∽△EBG，所以＝＝＝＝，所以＝，如解圖所示，過(guò)E作EM∥BH，交AD于M，則＝＝，＝＝，所以BF＝3ME＝7FG，則BG＝6FG，HF＝BF＝3.5FG，所以＝＝.
8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B，射線(xiàn)AG分別交線(xiàn)段DE，BC于點(diǎn)F，G，且＝.
(1)求證：△ADF∽△ACG;
(2)若＝，求的值．
8. (1)證明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE，
∴∠ADF＝∠C，
又∵＝，∴△ADF∽△ACG.
(2)解：∵△ADF∽△ACG，
∴＝，
又∵＝，
∴＝，
∴＝1.

9.如圖，在菱形ABCD中，G是BD上一點(diǎn)，連接CG并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) F，交AD于點(diǎn)E.
(1)求證：AG＝CG；
(2)求證：AG2＝GE·GF.
9. 證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG(SAS)，
∴AG＝CG.
(2)∵△ADG≌△CDG，
∴∠DAG＝∠DCG，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AF∥CD，
∴∠F＝∠DCG，
∴∠EAG＝∠F，
∵∠AGE＝∠FGA，∴△GAE∽△GFA，
∴＝，
∴AG2＝GE·GF.


命題點(diǎn)3　相似的實(shí)際應(yīng)用
【命題規(guī)律】1.命題背景一般會(huì)涉及光源、投影等；2.解決此類(lèi)問(wèn)題，需要將題中的已知條件與所給圖形結(jié)合起來(lái)，確立相似模型，求出要求的量．
【命題預(yù)測(cè)】相似的實(shí)際應(yīng)用和我們的生活息息相關(guān)，與解直角三角形一樣，是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相似三角形問(wèn)題，近年來(lái)也倍受命題人青睞．
10.如圖，小軍、小珠之間的距離為2.7 m，他們?cè)谕槐K路燈下的影長(zhǎng)分別為1.8 m, 1.5 m, 已知小軍、小珠的身高分別為1.8 m, 1.5 m，則路燈的高為_(kāi)_______m.
10. 3　【解析】 根據(jù)題意，畫(huà)出如解圖所示的圖形，易得BC＝AB＝1.8，EF＝ED＝1.5，則PO＝AO，PO＝DO，因?yàn)锽E＝2.7，所以2PO－1.8－1.5＝2.7，解得PO＝3.

11.如圖是一位學(xué)生設(shè)計(jì)的用手電筒來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖．點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線(xiàn)從點(diǎn)A發(fā)出經(jīng)平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD.測(cè)得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么該古城墻的高度CD是________米．
11. 8　【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，由“入射角等于反射角”可推出：∠APB＝∠CPD，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∴CD＝·AB＝×2＝8(米)．
12.某市為了打造森林城市，樹(shù)立城市新地標(biāo)，實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念，在城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園．小亮、小芳等同學(xué)想用一些測(cè)量工具和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量“望月閣”的高度，來(lái)檢驗(yàn)自己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力．他們經(jīng)過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，觀(guān)測(cè)點(diǎn)與“望月閣”底部間的距離不易測(cè)得，因此經(jīng)過(guò)研究需要兩次測(cè)量．于是他們首先用平面鏡進(jìn)行測(cè)量，方法如下：如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線(xiàn)BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線(xiàn)BM上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)C.鏡子不動(dòng)，小亮看著鏡面上的標(biāo)記，他來(lái)回走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)，看到“望月閣”頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合．這時(shí)，測(cè)得小亮眼睛與地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在陽(yáng)光下，他們用測(cè)影長(zhǎng)的方法進(jìn)行了第二次測(cè)量，方法如下：如圖，小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了16米，到達(dá)“望月閣”影子的末端F點(diǎn)處，此時(shí)，測(cè)得小亮身高FG的影長(zhǎng)FH＝2.5米，F(xiàn)G＝1.65米．
如圖，已知：AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì)．請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出“望月閣”的高AB的長(zhǎng)度．
12. 解：由題意得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，
∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF，
∴△ABC∽△EDC，
△ABF∽△GFH，
∴＝，＝，
又∵CF＝CD＋DF＝2＋16＝18，
即＝，＝，
解得AB＝99(米)．


命題點(diǎn)4　圖形的位似
【命題規(guī)律】1.此命題點(diǎn)主要考查根據(jù)位似圖形的性質(zhì)來(lái)求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)或面積比，也常與網(wǎng)格作圖結(jié)合，通過(guò)已知相似比，畫(huà)出位似圖形；2.解決此類(lèi)問(wèn)題，最主要是掌握位似的性質(zhì)，它是相似的特殊形式，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，位似比等于對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的相似比．利用位似比求點(diǎn)坐標(biāo)，其實(shí)質(zhì)是利用三角形相似確定線(xiàn)段長(zhǎng)．
【命題預(yù)測(cè)】位似是相似的一種特殊形式，也是圖形變換的一種形式，近年對(duì)此知識(shí)點(diǎn)的命題也不斷涌現(xiàn)，值得關(guān)注．
13.如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′.已知OB＝3OB′，則△A′B′C′與△ABC的面積比為(　　)
A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶9
13. D　【解析】∵OB＝3OB′，∴＝，∵以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴＝＝.∴＝()2＝.
14.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－3，－1)、B(－2，－4)、C(－6，－5)，以原點(diǎn)為位似中心將△ABC縮小，位似比為1∶2，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
14. (－1，－2)或(1，2)　【解析】根據(jù)位似圖形性質(zhì)，△ABC縮小后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之比等于位似比，即＝＝或＝＝－，解得x＝－1，y＝－2或x＝1，y＝2，故答案為(－1，－2)或(1，2)．
15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O(0，0)，A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，將矩形OABC放大為原圖形的2倍，記所得矩形為OA1B1C1.B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B1，且B1在OB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則B1的坐標(biāo)為_(kāi)_______．

15. (4，2)　【解析】如解圖，∵矩形OA1B1C1與矩形OABC位似，∴＝＝2，∵AB＝1，OA＝BC＝2，∴OA1＝B1C1＝4，A1B1＝2，∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(4，2)．
16.已知：如圖△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)．(正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1個(gè)單位長(zhǎng)度)
(1)畫(huà)出△ABC向上平移6個(gè)單位得到的△A1B1C1；
(2)以點(diǎn)C為位似中心，在網(wǎng)格中畫(huà)出△A2B2C，使△A2B2C與△ABC位似，且△A2B2C與△ABC的位似比為2∶1，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A2的坐標(biāo)．
16. 解：(1)畫(huà)出△ABC向上平移6個(gè)單位得到的△A1B1C1如解圖．

(2)如解圖，以點(diǎn)C為位似中心，在網(wǎng)格中畫(huà)出△A2B2C，使△A2B2C與△ABC位似，且△A2B2C與△ABC的位似比為2∶1.
答：點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(－2，－2)．




中考沖刺集訓(xùn)
一、選擇題
1.已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為，則△ABC與△DEF對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比為(　　)
A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D.
2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長(zhǎng)為6，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)
A. (3，2) B. (3，1) C. (2，2) D. (4，2)


第2題圖 第3題圖

3.如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，BE與CD相交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的(　　)
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
4.如圖，D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B.如果△ABD的面積為15，那么△ACD的面積為(　　)
A. 15 B. 10 C. D. 5

第4題圖 第5題圖 第6題圖

5.如圖，直線(xiàn)l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于點(diǎn)D.已知l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，則的值為(　　)
A. B. C. D.
6.如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，則S△BDE與S△CDE的比是(　　)
A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶5 D. 1∶25
二、填空題
7.如圖，△ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD∶AB＝1∶3，則△ADE與△ABC的面積之比為_(kāi)_______．


第7題圖 第8題圖
8.如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)P，則的值＝________；tan∠APD的值＝________．
9.如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，若△ADE與△ABC的周長(zhǎng)之比為2∶3，AD＝4，則DB＝________.


第9題圖 第10題圖

10.太原市公共自行車(chē)的建設(shè)速度、單日租騎量等四項(xiàng)指標(biāo)穩(wěn)居全國(guó)首位．公共自行車(chē)車(chē)樁的截面示意圖如圖所示，AB⊥AD，AD⊥DC，點(diǎn)B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80 cm，AD＝24 cm，BC＝25 cm，EH＝4 cm，則點(diǎn)A到地面的距離是________cm.
11.如圖，已知△ABC和△DEC的面積相等，點(diǎn)E在BC邊上，DE∥AB交AC于點(diǎn)F，AB＝12，EF＝9，則DF的長(zhǎng)是________．
三、解答題
12.已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－1，2)、B(－2，1)、C(1，1)(正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1個(gè)單位長(zhǎng)度)．
(1)△A1B1C是△ABC繞點(diǎn)________逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)________度得到的，B1的坐標(biāo)是________；
(2)求出線(xiàn)段AC在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積(結(jié)果保留π)．







13.如圖，M、N為山兩側(cè)的兩個(gè)村莊，為了兩村交通方便，根據(jù)國(guó)家的惠民政策，政府決定打一直線(xiàn)涵洞．工程人員為了計(jì)算工程量，必須計(jì)算M、N兩點(diǎn)之間的直線(xiàn)距離，選擇測(cè)量點(diǎn)A、B、C，點(diǎn)B、C分別在AM、AN上，現(xiàn)測(cè)得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N兩點(diǎn)之間的直線(xiàn)距離．









14.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點(diǎn)F.
(1)求證：△ACD∽△BFD；
(2)當(dāng)tan∠ABD＝1，AC＝3時(shí)，求BF的長(zhǎng)．










15.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC邊上截取AD＝BC，連接BD.
(1)通過(guò)計(jì)算，判斷AD2與AC·CD的大小關(guān)系；
(2)求∠ABD的度數(shù)．















1. A　2. A　3. A
4. D　【解析】本題考查相似三角形性質(zhì)中的面積比與相似比的關(guān)系．∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△CDA∽△CAB，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴S△CDA＝5.


第5題解圖
5. A　【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥l3于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥l3于點(diǎn)F，則AE＝4，DF＝3，AE∥DF，∴CD∶CA＝DF∶AE＝3∶4，∴CD＝CA，在Rt△BCD中，BD＝＝＝AC，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴＝＝.
6. B　【解析】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE∶S△COA＝1∶25，∴＝，∵DE∥AC，∴＝＝，∴＝，∴S△BDE∶S△CDE＝1∶4.
7. 1∶9　【解析】∵ DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝()2＝()2＝.

第8題解圖
8. 3；2　【解析】∵BD//AC，∴△PAC∽△PBD，∴＝＝3，平移CD至BE，連接AE，如解圖，則有∠AEB＝90°，∠APD＝∠ABE，∴tan∠APD＝tan∠ABE＝＝＝2.
9. 2　【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AD＝4.∴AB＝6，∴DB＝6－4＝2.

第10題解圖
10. 80.8(或)　【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥HG于M，交EF于P，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥AB于Q.此時(shí)有△CQB∽△APB，∴＝，又∵CQ＝AD＝24 cm，∴＝，∴AP＝76.8 cm，又∵PM＝EH＝4 cm，∴AM＝AP＋PM＝76.8＋4＝80.8 cm.
11. 7　【解析】∵△ABC與△DEC的面積相等，∴△CDF與四邊形AFEB的面積相等，∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF＝9，AB＝12，∴＝＝，∴＝.設(shè)△CEF的面積為9k，則四邊形AFEB的面積為7k，∵△CDF與四邊形AFEB的面積相等，∴S△CDF＝7k，∵△CDF與△CEF是同高不同底的三角形，∴它們的面積比等于底之比，∴＝，∴DF＝7.
12. 解：(1)C；90；(1，－2)；
【解法提示】研究對(duì)應(yīng)點(diǎn)B和B1，發(fā)現(xiàn)BC⊥B1C，即可得到旋轉(zhuǎn)角為90°，固定不變的點(diǎn)是點(diǎn)C，從而點(diǎn)C是對(duì)稱(chēng)中心．對(duì)于點(diǎn)B1的坐標(biāo)，可以在直角坐標(biāo)系中直接讀出．
(2)由勾股定理易得AC的長(zhǎng)為，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，線(xiàn)段AC掃過(guò)的面積是扇形ACA1的面積，則S＝＝.
13. 解：在△ABC與△AMN中，
＝＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ANM，
∴＝，即＝，
解得MN＝1500(米)，
答：M、N兩點(diǎn)之間的直線(xiàn)距離是1500米．
14. (1)證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠CAD＝∠FBD，
∴△ACD∽△BFD.
(2)解：∵tan∠ABD＝1，
∴＝1，即AD＝BD.
又∵△ACD∽△BFD，
∴△ACD≌△BFD，
∴AC＝BF，
又∵AC＝3，
∴BF＝3.
15. 解：(1)∵AD＝BC＝，
∴AD2＝()2＝，
∵AC＝1，
∴CD＝AC－AD＝1－＝，
∴AD2＝AC·CD.
(2)∵AD2＝AC·CD，
∴BC2＝AC·CD，即＝，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴＝，
又∵AB＝AC，
∴BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC，
設(shè)∠A＝∠ABD＝x，則∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.
解得x＝36°，
∴∠ABD＝36°.


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中考數(shù)學(xué)全面突破：第二講 整式及其運(yùn)算 含解析答案

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