第二單元因數(shù)與倍數(shù)——2022-2023學(xué)年五年級下冊數(shù)學(xué)人教版知識點總結(jié)+練習(xí)學(xué)案（教師版+學(xué)生版）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

?人教版數(shù)學(xué)五年級下冊

第二單元因數(shù)與倍數(shù)

知識點01：因數(shù)和倍數(shù)
1. 整除：被除數(shù)、除數(shù)和商都是自然數(shù)，并且沒有余數(shù)。
整數(shù)與自然數(shù)的關(guān)系：整數(shù)包括自然數(shù)。
2. 因數(shù)、倍數(shù)：大數(shù)能被小數(shù)整除時，大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，小數(shù)是大數(shù)的因數(shù)。
（1）數(shù) a 能被 b 整除，那么 a 就是 b 的倍數(shù)，b 就是 a 的因數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能單獨存在。
（2）一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是 1，最大的因數(shù)是它
本身。一個數(shù)的因數(shù)的求法：成對地按順序找。
（3）一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身。一個數(shù)的倍數(shù)的求法：依次乘以自然數(shù)。
知識點02：2、3、5 的倍數(shù)特征
1. 個位上是 0，2，4，6，8 的數(shù)都是2的倍數(shù)。
2. 一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。
3. 個位上是0或5的數(shù)，是5的倍數(shù)。
4. 能同時被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍數(shù)）的最大的兩位數(shù)是90，最小的三位數(shù)是120。
同時滿足2、3、5的倍數(shù)，實際是求 2×3×5=30的倍數(shù)。
5. 如果一個數(shù)同時是2和5的倍數(shù)，那它的個位上的數(shù)字一定是0。
6. 完全數(shù)：除了它本身以外所有的因數(shù)的和等于它本身的數(shù)叫做完全數(shù)。
如：6 的因數(shù)有：1、2、3（6 除外），剛好 1+2+3=6，所以 6 是完全數(shù)，小的完全數(shù)有 6、28 等。
7. 自然數(shù)按能不能被2整除來分：奇數(shù)、偶數(shù)。
奇數(shù)：不能被2整除的數(shù)。叫奇數(shù)。也就是個位上是1、3、5、7、9的數(shù)。
偶數(shù)：能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)（0也是偶數(shù)），也就是個位上是 0、2、4、6、8的數(shù)。
最小的奇數(shù)是1，最小的偶數(shù)是0。
關(guān)系：奇數(shù)+、- 偶數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)+、- 奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)+、-偶數(shù)=偶數(shù)。
知識點03：質(zhì)數(shù)和合數(shù)
1. 自然數(shù)按因數(shù)的個數(shù)來分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1、0 四類。
質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）：只有1和它本身兩個因數(shù)。
合數(shù)：除了1和它本身還有別的因數(shù)（至少有三個因數(shù)：1、它本身、別的因數(shù)）。
①只有 1 個因數(shù)?！?”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。
②最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4，連續(xù)的兩個質(zhì)數(shù)是 2、3。
③每個合數(shù)都可以由幾個質(zhì)數(shù)相乘得到，質(zhì)數(shù)相乘一定得合數(shù)。
20 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：有 8 個（2、3、5、7、11、13、17、19）
100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有 25 個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100 以內(nèi)找質(zhì)數(shù)、合數(shù)的技巧：看是否是 2、3、5、7、11、13…的倍數(shù)，是的就是合數(shù)，不是的就是質(zhì)數(shù)。
關(guān)系：奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)；質(zhì)數(shù)×質(zhì)數(shù)=合數(shù)。
2. 最大、最小
A 的最小因數(shù)是：1；A 的最大因數(shù)是：A；A 的最小倍數(shù)是：A；最小的自然數(shù)是：0；最小的奇數(shù)是：1；最小的偶數(shù)是：0；最小的質(zhì)數(shù)是：2；最小的合數(shù)是：4；
3. 分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)分解成多個質(zhì)數(shù)相乘的形式。
用短除法分解質(zhì)因數(shù)（一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式）。
比如：30分解質(zhì)因數(shù)是：（30=2×3×5）。
4. 互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。
兩個質(zhì)數(shù)的互質(zhì)數(shù)：5 和 7；兩個合數(shù)的互質(zhì)數(shù)：8 和 9；一質(zhì)一合的互質(zhì)數(shù)：7 和 8。
兩數(shù)互質(zhì)的特殊情況：
①1和任何自然數(shù)互質(zhì)；②相鄰兩個自然數(shù)互質(zhì)；③兩個質(zhì)數(shù)一定互質(zhì)；④2和所有奇數(shù)互質(zhì)；⑤質(zhì)數(shù)與比它小的合數(shù)互質(zhì)。
5. 公因數(shù)、最大公因數(shù)
幾個數(shù)公有的因數(shù)叫這些數(shù)的公因數(shù)。其中最大的那個就叫它們的最大公因數(shù)。
用短除法求兩個數(shù)或三個數(shù)的最大公因數(shù)（除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)連乘起來），幾個數(shù)的公因數(shù)只有1，就說這幾個數(shù)互質(zhì)。
如果兩數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，那么較小的數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。如果兩數(shù)互質(zhì)時，那么1就是它們的最大公因數(shù)。
6. 公倍數(shù)、最小公倍數(shù)
幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫這些數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的那個就叫它們的最小公倍數(shù)。
用短除法求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)（除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)和商連乘起來），
用短除法求三個數(shù)的最小公倍數(shù)（除到兩兩互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)和商連乘起來）。
如果兩數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，那么較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。如果兩數(shù)互質(zhì)時，那么它們的積就是它們的最小公倍數(shù)。
7. 求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)方法（用 12 和 16 來舉例）
①求法一：（列舉求同法）
最大公因數(shù)的求法：
12 的因數(shù)有：1、12、2、6、3、4；16 的因數(shù)有：1、16、2、8、4。最大公因數(shù)是 4。
最小公倍數(shù)的求法：12 的倍數(shù)有：12、24、36、48、… 16 的倍數(shù)有：16、32、48、…
最小公倍數(shù)是 48。
②求法二：（分解質(zhì)因數(shù)法）
12=2×2×3；16=2×2×2×2，最大公因數(shù)是：2×2=4（相同乘）
最小公倍數(shù)是：2×2×3×2×2= 48（相同乘×不同乘）

考點01：因數(shù)和倍數(shù)

【典例分析01】實驗小學(xué)學(xué)校植物園里種植了若干行的月季花，每行的月季花的棵數(shù)是相同的。如表是幾位一年級同學(xué)數(shù)出的月季花總棵數(shù)，其中只有一位同學(xué)數(shù)對了，聰明的你知道他是誰嗎？說明理由。
陳明
王一
許強
張雪
41棵
43棵
45棵
47棵
【分析】根據(jù)找一個數(shù)的倍數(shù)的方法：找一個數(shù)的倍數(shù)，直接把這個數(shù)分別乘以1、2、3、4、5、6……，一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的。
【解答】解：經(jīng)過查找，只有45÷5＝9，表示共5行，每行植9棵；或共9行，每行植5棵，故這位同學(xué)是許強。
答：這位同學(xué)是許強。
【點評】此題考查了找一個數(shù)的倍數(shù)的方法的應(yīng)用。

【變式訓(xùn)練01】將下列數(shù)填在合適的圈內(nèi)。

【分析】根據(jù)整數(shù)除法的計算方法解答，看看題目所給的數(shù)據(jù)，哪些可以被5整除就是5的倍數(shù)，末尾有0和5的數(shù)是5的倍數(shù)；被7整除的數(shù)就是7的倍數(shù)，即可被5整除也可被7整除就同時是5和7的倍數(shù)，據(jù)此解答。
【解答】解：如圖：

【點評】本題考查了求一個數(shù)的倍數(shù)的方法。
【變式訓(xùn)練02】兩個自然數(shù)的各位數(shù)字都只用了1，4，6，9這四個數(shù)字，有可能其中的一個自然數(shù)恰好是另一個自然數(shù)的17倍嗎？
【分析】一個自然數(shù)恰好是另一個自然數(shù)的17倍，則這樣的兩個數(shù)存在，則其中一個數(shù)的個位數(shù)字是另一個數(shù)個位數(shù)字與17乘積的個位數(shù)字。
【解答】解：假設(shè)組成的兩個自然數(shù)中有這么兩個數(shù)字能使其中的一個自然數(shù)恰好是另一個自然數(shù)的17倍，
則1×17＝17，4×17＝68，6×17＝102，9×17＝153；觀察這幾個數(shù)字的個位為7、8、2、3，沒有題中給定的數(shù)字，則不存在這樣的兩個數(shù)滿足題目的要求。
故不可能使其中的一個自然數(shù)恰好是另一個自然數(shù)的17倍。
【點評】本題是一道有關(guān)因數(shù)和倍數(shù)的意義的題目。
【變式訓(xùn)練03】把64個球平均裝在一些盒子里，剛好裝完．盒子的個數(shù)可能是多少？如果有67個球呢？
【分析】首先根據(jù)題意，要求盒子的個數(shù)可能是多少，也就是求64、67的因數(shù)各有多少個；然后根據(jù)找一個數(shù)的因數(shù)，可以一對一對的找，把64、67寫成兩個數(shù)的乘積，那么每一個乘積中的因數(shù)都是64、67的因數(shù)，然后從小到大依次寫出，判斷出盒子的個數(shù)可能是多少即可．
【解答】解：因為64＝1×64＝2×32＝4×16＝8×8，
所以把64個球平均裝在一些盒子里，剛好裝完．盒子的個數(shù)可能是：
1、2、4、8、16、32、64．
因為67是一個質(zhì)數(shù)，因數(shù)只有1和67，
所以把67個球平均裝在一些盒子里，剛好裝完．盒子的個數(shù)可能是1和67．
答：把64個球平均裝在一些盒子里，剛好裝完．盒子的個數(shù)可能是：1、2、4、8、16、32、64；把67個球平均裝在一些盒子里，剛好裝完．盒子的個數(shù)可能是1和67．
【點評】此題主要考查了找一個數(shù)的因數(shù)的方法，要熟練掌握．
考點02：2、5、3的倍數(shù)的特征

【典例分析02】有下面規(guī)格的盒子，選哪種盒子正好能把60個蘋果裝完？為什么？

【分析】根據(jù)2、3、5的倍數(shù)特征，60是5、6的倍數(shù)，因此，只能用第一種和第二種盒子正好可以把60個蘋果裝完。
【解答】解：60÷5＝12（個）
60÷6＝10（個）
60÷7＝8（個）…4（個）
60÷8＝7（個）…4（個）
答：用第一種和第二種盒子正好可以把60個蘋果裝完。
【點評】本題是考查2、3、5的倍數(shù)特征，60是5和6的倍數(shù)。

【變式訓(xùn)練01】把下面的數(shù)填到相應(yīng)的圈內(nèi)。
16、18、30、15、24、25。

【分析】根據(jù)3和5的倍數(shù)特征進(jìn)行判斷解答。3的倍數(shù)特征是各個數(shù)位上的數(shù)相加的和能被3整除；5的倍數(shù)特征是末尾有0或5的數(shù)；3和5的倍數(shù)特征是末尾有0或5，且每個數(shù)位上的數(shù)相加的和能被3整除。
【解答】解：如圖：

【點評】本題考查了3和5的倍數(shù)特征。
【變式訓(xùn)練02】從0，3，5，2這四個數(shù)字中選三個排成是5的倍數(shù)的三位數(shù)，你有幾種排法？（至少寫出6個）
【分析】5的倍數(shù)必需個位上是0或5，據(jù)此寫數(shù)即可。
【解答】解：組成的三位數(shù)中5的倍數(shù)有：530、350、320、230、520、250、305、205、325、235；
一共有10個。
答：從0，3，5，2四個數(shù)中選三個數(shù)排成是5的倍數(shù)的三位數(shù)有：530、350、320、230、520、250、305、205、325、235。
【點評】解決本題的關(guān)鍵是明確5的倍數(shù)個位上是0或5。
【變式訓(xùn)練03】王老師買了一些文具盒和鋼筆，付給售貨員100元，找回18元，售貨員找給王老師的錢對嗎？說一說你的理由

【分析】觀察圖可知：文具盒的單價是5元，鋼筆的單價是10元，都是5的倍數(shù)；所以花的錢數(shù)也是5的倍數(shù)，那么它們的和也一定是5的倍數(shù)，先用總錢數(shù)減去找回的錢數(shù)，得出花的錢數(shù)，看是否是5的倍數(shù)，從而解決問題．
【解答】解：文具盒的單價是5元，鋼筆的單價是10元，都是5的倍數(shù)，無論怎么購買，花的總錢數(shù)也是5的倍數(shù)；
100﹣18＝82（元）
82不是5的倍數(shù)，不可能是花的總錢數(shù)，
所以售貨員找給王老師的錢不對．
【點評】解決本題根據(jù)5的倍數(shù)的特點，找出花的錢數(shù)應(yīng)是5的倍數(shù)，從而解決問題．
考點03：質(zhì)數(shù)和合數(shù)

【典例分析03】一個長方形的長和寬是兩個連續(xù)的合數(shù)，這個長方形的面積是72平方厘米，它的周長是多少厘米？
【分析】首先把72分解質(zhì)因數(shù)，然后根據(jù)這兩個數(shù)是連續(xù)的合數(shù)求出長和寬，再根據(jù)長方形的周長公式：C＝（a+b）×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【解答】解：72＝8×9
8和9都是合數(shù)，
（9+18）×2
＝17×2
＝34（厘米）
答：這個長方形的周長是34厘米。
故答案為：34厘米。
【點評】此題主要考查長方形的周長公式的靈活運用，關(guān)鍵是求出長方形的長和寬。

【變式訓(xùn)練01】一個數(shù)的因數(shù)里，既含有最小的質(zhì)數(shù)，又含有一位數(shù)中最大的合數(shù)，這個數(shù)最小是　18　。
【分析】一個數(shù)的因數(shù)里，既含有最小的質(zhì)數(shù)，又含有一位數(shù)中最大的合數(shù)，這個數(shù)最小是最小質(zhì)數(shù)和一位數(shù)最大合數(shù)的最小公倍數(shù)。
【解答】解：最小的質(zhì)數(shù)是2，一位數(shù)中最大的合數(shù)是9，同時有2和9兩個因數(shù)的數(shù)，最小是18。
故答案為：18。
【點評】解答此題需要掌握最小的質(zhì)數(shù)是2，一位數(shù)中最大的合數(shù)是9，以及求2和9的最小公倍數(shù)的方法。
【變式訓(xùn)練02】在29、36、90、45、102、71中，　29、71　是質(zhì)數(shù)，　36、90、45、102　是合數(shù)，　90、45　既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)。
【分析】根據(jù)3、5的倍數(shù)的特征：各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)一定是3的倍數(shù)；個位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)。
根據(jù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義，一個自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；一個自然數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，解答即可。
【解答】解：在29、36、90、45、102、71中，29、71是質(zhì)數(shù)，36、90、45、102是合數(shù)，90、45既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)。
故答案為：29、71，36、90、45、102，90、45。
【點評】本題考查是3、5的倍數(shù)的數(shù)的特征以及質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義。注意基礎(chǔ)知識的靈活運用。
【變式訓(xùn)練03】兩個質(zhì)數(shù)和是20，積是91，求這兩個數(shù)，如果一個質(zhì)數(shù)和一個合數(shù)的和是15，積是36，那這兩個數(shù)又是多少？
【分析】根據(jù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的意義，質(zhì)數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，合數(shù)除了1和它本身還有別的因數(shù)；13是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，13+7＝20，13×7＝91；3是質(zhì)數(shù)，12是合數(shù)，3+12＝15，12×3＝36；解答即可．
【解答】解：13+7＝20，13×7＝91，所以這兩個質(zhì)數(shù)是13和7；
13是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，13+7＝20，13×7＝91；3是質(zhì)數(shù)，12是合數(shù)，3+12＝15，12×3＝36，
所以這兩個數(shù)是12和3。
【點評】本題主要是考查合數(shù)與質(zhì)數(shù)的意義，要判斷一個數(shù)是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)，關(guān)鍵要看它的因數(shù)的個數(shù)．

一．選擇題（共6小題）
1．下列數(shù)中，（　?。┦?的倍數(shù)。
A．2 B．12 C．24 D．36
【分析】一個數(shù)如果是8的倍數(shù)，則這個數(shù)除以8的商是非零自然數(shù)，且沒有余數(shù)。
【解答】解：A選項，2除以8不夠商1，所以2不是8的倍數(shù)；
B選項，12除以8，商1，有余數(shù)4，所以12不是8的倍數(shù)；
C選項，24除以8，商3，且沒有余數(shù)，所以24是8的倍數(shù)；
D選項，36除以8，商4，有余數(shù)4，所以36不是8的倍數(shù)。
故選：C。
【點評】解答此題的關(guān)鍵在于掌握倍數(shù)的意義。
2．如表是實驗小學(xué)五年級各班的人數(shù)。
班級
（1）班
（2）班
（3）班
（4）班
（5）班
人數(shù)
39
41
40
43
42
共有（　　）個班可以平均分成人數(shù)相同的小組。（要求每組不止1人，且不止1組）
A．2 B．3 C．4
【分析】這些班的人數(shù)中，是合數(shù)的可以平均分成每組相同的人數(shù)，是質(zhì)數(shù)的就不能分成相同的組數(shù)。
【解答】解：39、40、42是合數(shù)，可以平均分成人數(shù)相同的小組；
41、43是質(zhì)數(shù)，不可以平均分成人數(shù)相同的小組，
所以可以平均分成人數(shù)相同的小組的班級有3個。
故選：B。
【點評】本題考查了根據(jù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解。
3．甲數(shù)是9，乙數(shù)是甲數(shù)的9倍，甲數(shù)和乙數(shù)的關(guān)系是（　?。?br /> A．甲÷乙＝9 B．甲×9＝乙 C．乙+甲＝9 D．乙×9＝甲
【分析】求一個數(shù)的幾倍用乘法計算，根據(jù)題意，乙數(shù)是甲數(shù)的9倍，利用甲數(shù)×9就是乙數(shù)，據(jù)此解答。
【解答】解：根據(jù)分析可知：甲數(shù)×9＝乙數(shù)。
故選：B。
【點評】本題考查了求一個數(shù)的幾倍是多少的問題。
4．盒子里有36個球，丁丁要按下面的要求拿球：不許一次拿完，也不許一個一個地拿，每次拿的個數(shù)要相同，拿到最后一個也不剩。丁丁一共有（　?。┓N拿法。
A．7 B．8 C．9
【分析】由題意可知，每次拿桃子的個數(shù)是30的因數(shù)，根據(jù)求一個數(shù)因數(shù)的方法求出30的所有因數(shù)，找出符合條件的因數(shù)即可。
【解答】解：36＝1×33＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6
36的因數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，但1和36不符合題意，所以小明有7種不同的拿法。
故選：A。
【點評】本題主要考查利用因數(shù)解決實際問題，求出符合條件的33的因數(shù)是解答題目的關(guān)鍵。
5．一些草莓正好放了5盤，每盤同樣多，這些草莓可能有（　?。╊w。
A．30 B．33 C．28
【分析】根據(jù)題意，草莓的總個數(shù)一定是盤數(shù)的倍數(shù)，找一個數(shù)的倍數(shù)，直接把這個數(shù)分別乘以1、2、3、4、5、6……，一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，利用此方法找5的倍數(shù)選擇合適的選項即可。
【解答】解：5×6＝30（個）
答：這些草莓可能有30個。
故選：A。
【點評】本題考查了找一個數(shù)倍數(shù)的方法。
6．要使3□2是3的倍數(shù)，□里應(yīng)填（　?。?br /> A．3 B．1、4或7 C．2、5或8
【分析】3的倍數(shù)特征：各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)，據(jù)此解答。
【解答】解：3+2＝5
A.5+3＝8，8不是3的倍數(shù)，故舍去；
B.5+1＝6，6是3的倍數(shù)；5+4＝9，9是3的倍數(shù)；4+7＝12，12是3的倍數(shù)，故符合題意；
C.5+2＝7，7不是3的倍數(shù)，5+5＝10，10不是3的倍數(shù)，5+8＝13，13不是3的倍數(shù)，故舍去。
故選：B。
【點評】掌握3的倍數(shù)特征是解題的關(guān)鍵。
二．填空題（共6小題）
7．寫出30以內(nèi)7的全部倍數(shù)：　7、14、21、28　。
【分析】根據(jù)求一個數(shù)的倍數(shù)的方法：用這個數(shù)分別乘以自然數(shù)1、2、3、4……，從中找出符合要求的倍數(shù)，即可解答。
【解答】解：30以內(nèi)7的倍數(shù)：7、14、21、28。
故答案為：7、14、21、28。
【點評】本題主要考查倍數(shù)的求法，注意界定倍數(shù)所在的范圍。
8．一個數(shù)既是15的因數(shù)，又是5的倍數(shù)，這個數(shù)是　5　或　15　。
【分析】因為5的倍數(shù)有：5，10，15，……；而15的因數(shù)最大是它本身。一個數(shù)既是5的倍數(shù)又是14的因數(shù)，即求15以內(nèi)的5的倍數(shù)，那就先求出15的因數(shù)和5的倍數(shù)，再找共同的數(shù)即可。
【解答】解：因為5的倍數(shù)有：5，10，15，……
15的因數(shù)有：1，3，5，15
所以既是15的因數(shù)，又是5的倍數(shù)，這個數(shù)是5或15。
故答案為：5，15。
【點評】解答此題應(yīng)根據(jù)找一個數(shù)的因數(shù)的方法和找一個數(shù)倍數(shù)的方法進(jìn)行分別列舉，進(jìn)而得出結(jié)論。
9．在1、2、4、5、13、18、23、35中，質(zhì)數(shù)有　2、5、13、23　，合數(shù)有　4、18、35　。
【分析】只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)是質(zhì)數(shù)，除了1和它本身外還有別的因數(shù)的數(shù)是合數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；據(jù)此解答。
【解答】解：在1、2、4、5、13、18、23、35中，質(zhì)數(shù)有2、5、13、23，合數(shù)有4、18、35。
故答案為：2、5、13、23，4、18、35。
【點評】本題考查質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義，利用質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義進(jìn)行解答。
10．從0、2、5、9這4個數(shù)中，任意選出三個數(shù)字組成三位數(shù)，組成的三位數(shù)中，既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)的數(shù)中，最大的是　950　。
【分析】根據(jù)2的倍數(shù)特征：個位上的數(shù)字是02468的數(shù)是2的倍數(shù)；
根據(jù)5的倍數(shù)特征：個位上的數(shù)字是0或5。
【解答】解：從0、2、5、9這4個數(shù)中，任意選出三個數(shù)字組成三位數(shù)，組成的三位數(shù)中是2的倍數(shù)的數(shù)有：590、950、592、952、520、502、250、902、920、290；
組成的數(shù)是5的倍數(shù)有：920、290、905、950、925、295；
既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)的數(shù)中，最大的是：950。
故答案為：950。
【點評】此題考查了學(xué)生對2、5的倍數(shù)特征的掌握情況。
11．六一節(jié)，老師為同學(xué)們準(zhǔn)備了禮物其中有175個魔方，魔方的個數(shù)正好是皮球的5倍，皮球有　35　個。
【分析】根據(jù)題意可知，老師為同學(xué)們準(zhǔn)備了禮物其中有175個魔方，魔方的個數(shù)正好是皮球的5倍，求皮球的個數(shù)，用175÷5解答即可。
【解答】解：175÷5＝35（個）
答：皮球有35個。
故答案為：35。
【點評】本題考查了整數(shù)除法計算知識，結(jié)合題意分析解答即可。
12．在3×4＝12中，12是3和4的　倍　數(shù)，3和4是12的　因　數(shù)。
【分析】若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)，因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的，據(jù)此解答。
【解答】解：因為3×4＝12中，所以12是3和4的倍數(shù)，3和4是12的因數(shù)。
故答案為：倍，因。
【點評】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)的意義，注意因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的。
三．判斷題（共5小題）
13．把1，2，3這三個數(shù)字，無論怎樣排列成三位數(shù)，都是3的倍數(shù)。　√　
【分析】據(jù)3的倍數(shù)的特征，一個數(shù)各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。1、2、3三個數(shù)字之和是3的倍數(shù)，因此，用這三個數(shù)不論怎樣組數(shù)都是3的倍數(shù)，解答判斷即可。
【解答】解：1+2+3＝6，6是3的倍數(shù)，
因此，用1、2、3三個數(shù)字組成的三位數(shù)一定是3的倍數(shù)。
所以“把1，2，3這三個數(shù)字，無論怎樣排列成三位數(shù)，都是3的倍數(shù)”的說法是正確的。
故答案為：√。
【點評】本題是考查3的倍數(shù)特征，屬于基礎(chǔ)知識。
14．因為23×3＝69，所以23和3是69的因數(shù)，69是23和3的倍數(shù)。　√　
【分析】若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)，因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的，據(jù)此解答。
【解答】解：因為23×3＝69，所以23和3是69的因數(shù)，69是23和3的倍數(shù)。說法正確。
故答案為：√。
【點評】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)的意義，注意因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的。
15．0除外，1是所有整數(shù)的因數(shù)。　√　
【分析】根據(jù)因數(shù)的意義，一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。據(jù)此判斷。
【解答】解：一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。
由此可知，0除外，1是所有整數(shù)的因數(shù)。
故答案為：√。
【點評】此題考查的目的是理解掌握因數(shù)的意義及應(yīng)用。
16．16的因數(shù)一定比16的倍數(shù)小。　×　
【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義，一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)；由此解答即可。
【解答】解：一個數(shù)的最大因數(shù)是它本身，一個數(shù)的最小倍數(shù)也是它本身，因此16的因數(shù)一定比16的倍數(shù)小的說法錯誤。
故答案為：×。
【點評】解答此題要明確：一個數(shù)的最大因數(shù)是它本身，一個數(shù)的最小倍數(shù)也是它本身。
17．一個合數(shù)至少有三個因數(shù)，它的最大因數(shù)與最小倍數(shù)相等。　√　
【分析】自然數(shù)中，除了1和它本身外還有別的因數(shù)的數(shù)為合數(shù)。由此可知，一個合數(shù)除了1和它本身外，至少還要有一個因數(shù)，即至少有3個因數(shù)，如4，有1，2，4三個因數(shù)。
一個數(shù)的因數(shù)是有限的，它的最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身；一個數(shù)的倍數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，找不到最大的倍數(shù)。
【解答】解：由分析可知，一個合數(shù)至少有三個因數(shù)，它的最大因數(shù)與最小倍數(shù)相等，說法正確。
故答案為：√。
【點評】（1）本題重點考查了學(xué)生對于合數(shù)意義的理解。
（2）此題考查的目的是理解掌握因數(shù)與倍數(shù)的意義，明確：一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，一個數(shù)的最大因數(shù)也是它本身。
四．應(yīng)用題（共5小題）
18．小明將黑板上的“一個兩位數(shù)乘一個最小的合數(shù)”中的“最小的合數(shù)”誤看成“最小的質(zhì)數(shù)”，結(jié)果得到188，請你幫助他糾正錯誤，看正確的結(jié)果是多少？
【分析】根據(jù)最小的合數(shù)是4，最小的質(zhì)數(shù)是2，和乘與除的互逆運算，解答此題即可。
【解答】解：188÷2＝94
94×4＝376
答：正確的結(jié)果是376。
【點評】知道最小的合數(shù)是4，最小的質(zhì)數(shù)是2，是解答此題的關(guān)鍵。
19．媽媽在水果超市買來62個芒果，如果每2個裝一袋，能正好裝完嗎？如果每5個裝一袋，能正好裝完嗎？為什么？
【分析】如果芒果總個數(shù)是每袋裝的個數(shù)的倍數(shù)，則能正好裝完，如果芒果總個數(shù)不是每袋裝的個數(shù)的倍數(shù)，則不能正好裝完。
【解答】解：因為62是2的倍數(shù)，用62除以商是整數(shù)，且沒有余數(shù)，所以每袋裝2個，正好能裝完。
因為62不是5的倍數(shù)，用62除以5不能商是整數(shù)，且沒有余數(shù)，所以每袋裝5個，不能正好裝完。
【點評】此重點考查整除在生活中的運用能力。
20．一個小朋友在飲料店買了一些純牛奶和可樂他付了100元，售貨員阿姨找回了18元。已知純牛奶：5元/瓶，可樂：10元/瓶。請問：售貨員阿姨找回的錢對嗎？為什么？
【分析】根據(jù)5的倍數(shù)特征，一個數(shù)的個位是0或5，這個數(shù)就是5的倍數(shù)，據(jù)此分析解答。
【解答】解：因為純牛奶和可樂的單價分別是5元、10元，都是5的倍數(shù)，所以不論買幾瓶，總錢數(shù)也應(yīng)是5的倍數(shù)，付了100元，找回的錢數(shù)應(yīng)該也是5的倍數(shù)，即個位數(shù)應(yīng)是0或5，所以找回18元不對。
答：售貨員阿姨找回的錢不對。因為找回的錢應(yīng)該是5的倍數(shù)，18不是5的倍數(shù)。
【點評】此題考查了5的倍數(shù)的特征以及實際運用，要熟練掌握。
21．實驗小學(xué)為鼓勵學(xué)生閱讀，新購進(jìn)一批圖書，數(shù)量在100到200之間，并且比26的倍數(shù)多13本．實驗小學(xué)新購進(jìn)圖書最多有多少本？
【分析】找出在100到200之間26的倍數(shù)，即可得出實驗小學(xué)新購進(jìn)圖書最多有多少本．
【解答】解：100到200之間26的倍數(shù)有：104、130、156、182，
182+13＝195（本），
因為100＜195＜200，
所以實驗小學(xué)新購進(jìn)圖書最多有195本．
答：實驗小學(xué)新購進(jìn)圖書最多有195本．
【點評】本題主要考查了找一個數(shù)的倍數(shù)，正確找出100到200之間26的倍數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．
22．李老師和同學(xué)們折紙鶴，每人折的只數(shù)相同，一共折了473只紙鶴。這個班有學(xué)生多少人？每人折紙鶴多少只？
【分析】因為每人折紙鶴的只數(shù)乘這個班學(xué)生人數(shù)，可得一共折了多少只紙鶴，可得每人折紙鶴的只數(shù)和這個班學(xué)生人數(shù)都是473的因數(shù)，找出473的因數(shù)，再解答即可。
【解答】解：473＝11×43
根據(jù)實際情況可得學(xué)生有43﹣1＝42（人）
答：這個班有學(xué)生42人，每人折紙鶴11只。
【點評】本題主要考查了找一個數(shù)的因數(shù)的方法，關(guān)鍵是找出473的因數(shù)。

一．選擇題（共6小題）
1．古希臘數(shù)學(xué)家認(rèn)為：如果一個數(shù)恰好等于它的所有因數(shù)（本身除外）相加的和等于這個數(shù)就是“完全數(shù)”。例如：6有四個因數(shù)1、2、3、6，除本身6以外，還有1、2、3三個因數(shù)，6＝1+2+3，所以6就是“完全數(shù)”。下面數(shù)中是“完全數(shù)”的是（　?。?br /> A．16 B．20 C．28 D．36
【分析】根據(jù)題意可知，把每個選項的因數(shù)都寫出來，再相加，看看是否符合“完全數(shù)”的規(guī)律。
【解答】解：16的因數(shù)有：1；16；2；8；4。1+2+4+8＝15，不是“完全數(shù)”。
20的因數(shù)有：1；20；2；10；4；5。1+2+4+5+10＝22，不是“完全數(shù)”。
28的因數(shù)有：1；28；2；14；4；7。1+2+4+7+14＝28，是“完全數(shù)”。
36的因數(shù)有：1；36；2；18；3；12；4；9；6。1+2+3+4+6+9+12+18＝55，不是“完全數(shù)”。
故選：C。
【點評】熟練掌握“完全數(shù)”的概念特征，是解決本題的關(guān)鍵。
2．一個數(shù)既是6的倍數(shù)，又是72的因數(shù)，這個數(shù)是（　?。?br /> A．144 B．48 C．36 D．3
【分析】根據(jù)找一個數(shù)倍數(shù)的方法找出6的倍數(shù)，根據(jù)找一個數(shù)因數(shù)的方法找出72的因數(shù)。
【解答】解：6×1＝6，6×2＝12，6×3＝18，6×4＝24，6×5＝30，6×6＝36，6×7＝42，6×8＝48，6×9＝54，6×10＝60，6×11＝66，6×12＝72，......
所以6的倍數(shù)有：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、......
72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9
所以72的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72；
因此一個數(shù)既是6的倍數(shù)，又是72的因數(shù)，這個數(shù)有6、12、18、24、36、72。
故選：C。
【點評】此題需要學(xué)生熟練掌握求一個數(shù)因數(shù)和倍數(shù)的方法。
3．100以內(nèi)，8的倍數(shù)有（　　）個。
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】找一個數(shù)的倍數(shù)，直接把這個數(shù)分別乘1、2、3、4、5、6、......，一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的。
【解答】解：100以內(nèi)，8的倍數(shù)有：8、16、24、32、40、48、56、64、72、80、88、96。
所以100以內(nèi)，8的倍數(shù)有12個。
故選：C。
【點評】熟練掌握求一個數(shù)倍數(shù)的方法是解答本題的關(guān)鍵。
4．個位上是（　　）的數(shù)都是2和5的倍數(shù)。
A．0、2、4、6、8 B．5和0 C．0
【分析】2、5的倍數(shù)的數(shù)的特征：是2的倍數(shù)的數(shù)的個位是0、2、4、6、8，是5的倍數(shù)的數(shù)個位不是0就是5。
【解答】解：根據(jù)是2、5的倍數(shù)的數(shù)的特征，可得2和5的倍數(shù)一定是個位上是0的數(shù)。
故選：C。
【點評】此題主要考查了是2、5的倍數(shù)的數(shù)的特征。
5．一個三位數(shù)19□，是2和5的倍數(shù)，□里應(yīng)填（　?。?br /> A．2 B．0 C．5 D．6
【分析】根據(jù)2、5的倍數(shù)的特征，個位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)，個位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)，同時是2和5的倍數(shù)的數(shù)，個位上必須是0。據(jù)此解答即可。
【解答】解：一個三位數(shù)19□，是2和5的倍數(shù)，□里應(yīng)填0。
故選：B。
【點評】此題考查的目的是理解掌握2、5的倍數(shù)的特征及應(yīng)用，關(guān)鍵是明確：同時是2和5的倍數(shù)的數(shù)，個位上必須是0。
6．兩個不相同的質(zhì)數(shù)相乘，積的因數(shù)有（　　）個。
A．2 B．3 C．4
【分析】任意兩個不同的質(zhì)數(shù)相乘的積的因數(shù)有：這兩個質(zhì)數(shù)，1，這兩個數(shù)的積，可以舉例說明。
【解答】解：兩個不相同的質(zhì)數(shù)相乘，積的因數(shù)有4個。
故選：C。
【點評】本題主要考查兩個質(zhì)數(shù)的積的因數(shù)的個數(shù)，注意兩個質(zhì)數(shù)積的因數(shù)有4個：這兩個質(zhì)數(shù)，1，這兩個數(shù)的積。
二．填空題（共6小題）
7．48的因數(shù)有　1、2、3、4、6、8、12、16、24、48　，其中質(zhì)數(shù)有　2、3　，合數(shù)有　4、6、8、12、16、24、48　。48的最大因數(shù)是　48　。
【分析】列乘法算式找因數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是這個數(shù)的乘法算式，乘法算式中的兩個因數(shù)就是這個數(shù)的因數(shù)。
除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)，這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)；除了1和它本身以外還有其他因數(shù)，這樣的數(shù)叫合數(shù)。
【解答】解：48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8
48的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，其中質(zhì)數(shù)有2、3，合數(shù)有4、6、8、12、16、24、48，48的最大因數(shù)是48。
故答案為：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；2、3；4、6、8、12、16、24、48；48。
【點評】關(guān)鍵是掌握一個數(shù)的因數(shù)的求法，理解質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)。
8．用4，5，7這三個數(shù)字組成的兩位數(shù)，是2的倍數(shù)的有　54、74　，是3的倍數(shù)的有　45、54、57、75　，既有因數(shù)3，又有因數(shù)5的數(shù)有　45、75　。
【分析】根據(jù)2、3、5的倍數(shù)的特征：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)；一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字相加的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)一定是3的倍數(shù)；個位上0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)。據(jù)此解答。
【解答】解：用4，5，7這三個數(shù)字組成的兩位數(shù)，是2的倍數(shù)的有54、74，是3的倍數(shù)的有45、54、57、75，既有因數(shù)3，又有因數(shù)5的數(shù)有45、75。
故答案為：54、74，45、54、57、75，45、75。
【點評】此題考查的目的是理解掌握2、3、5的倍數(shù)的特征及應(yīng)用。
9．一個兩位數(shù)是5的倍數(shù)，個位和十位上的數(shù)字之和是7，這個兩位數(shù)是　25或70　。
【分析】根據(jù)5的倍數(shù)的特征，個位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)。一個兩位數(shù)是5的倍數(shù)，個位和十位上的數(shù)字之和是7，這個兩位數(shù)是25或70。據(jù)此解答。
【解答】解：一個兩位數(shù)是5的倍數(shù)，個位和十位上的數(shù)字之和是7，這個兩位數(shù)是25或70。
故答案為：25或70。
【點評】此題考查的目的是理解掌握5的倍數(shù)的特征及應(yīng)用。
10．12有　6　個因數(shù)，20的最小倍數(shù)是　20　。
【分析】根據(jù)找一個數(shù)因數(shù)找出12的因數(shù)；
一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身。
【解答】解：12＝1×12＝2×6＝3×4
12的因數(shù)有：1、2、3、4、6、12，共6個；
20的最小倍數(shù)是20。
故答案為：6；20。
【點評】此題需要學(xué)生熟練掌握找一個數(shù)因數(shù)的方法，熟記一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身。
11．11的因數(shù)有　1、11　。12的因數(shù)有　1、2、3、4、6、12　。
【分析】根據(jù)找一個數(shù)因數(shù)的方法分別找出11和12的因數(shù)。
【解答】解：11＝1×11
11的因數(shù)有1、11；
12＝1×12＝2×6＝3×4
12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12。
故答案為：1、11；1、2、3、4、6、12。
【點評】此題需要學(xué)生熟練掌握求一個數(shù)因數(shù)的方法。
12．如果56÷7＝8，那么56是7的　倍數(shù)　，8和7是56的　因數(shù)　。
【分析】在整數(shù)除法中，商是整數(shù)且沒有余數(shù)，被除數(shù)是商和除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)，據(jù)此解答即可。
【解答】解：因為56÷7＝8，所以56是7的倍數(shù)，8和7是56的因數(shù)。
故答案為：倍數(shù)；因數(shù)。
【點評】本題考查因數(shù)和倍數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是掌握因數(shù)和倍數(shù)的概念。
三．判斷題（共5小題）
13．在五個連續(xù)的自然數(shù)中，必有一個是5的倍數(shù)．　√　
【分析】5的倍數(shù)，即能被5整除的數(shù)是個位是0或是5的數(shù)字，五個連續(xù)的自然數(shù)，如1、2、3、4、5或16、17、18、19、20或22、23、24、25、26等等，其中一定有一個數(shù)的個位是0或5；因此得解．
【解答】解：五個連續(xù)的自然數(shù)中必有一個數(shù)是5的倍數(shù)，所以本題說法正確．
故答案為：√．
【點評】此題考查能被5整除的數(shù)的特征及運用．
14．6有3個因數(shù)，最大的因數(shù)是3。　×　
【分析】根據(jù)找一個數(shù)因數(shù)的方法找出6的因數(shù)，然后進(jìn)行判斷。
【解答】解：6＝1×6＝2×3
6的因數(shù)有1、2、3、6，共4個，最大的因數(shù)是3；故原題說法錯誤。
故答案為：×。
【點評】此題需要學(xué)生熟練掌握求一個數(shù)因數(shù)的方法。
15．如果兩個數(shù)都是同一個數(shù)的倍數(shù)，那么這兩個數(shù)的和也是這個數(shù)的倍。　√　
【分析】假設(shè)a和b都是c的倍數(shù)，也就是說a和b都是c的整數(shù)倍，則（a+b）也是c的整數(shù)倍；可以舉例說明。
【解答】解：6和12都是3的倍數(shù)，那么：
（6+12）÷3
＝18÷3
＝6
所以如果兩個數(shù)都是一個數(shù)的倍數(shù)，那么這兩個數(shù)的和也是這個數(shù)的倍數(shù)；故此題說法正確。
故答案為：√。
【點評】此題主要考查的是倍數(shù)的應(yīng)用；如果兩個數(shù)都是一個數(shù)的倍數(shù)，那么這兩個數(shù)的和也是這個數(shù)的倍數(shù)。
16．1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)．　√　
【分析】根據(jù)約數(shù)的個數(shù)把除0外的自然數(shù)分為三類，只有一個約數(shù)的是1；只有1和它本身兩個約數(shù)的叫做質(zhì)數(shù)，有3個以上約數(shù)的叫做合數(shù)，所以1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，據(jù)此解答．
【解答】解：在自然數(shù)中，1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，說法正確．
故答案為：√．
【點評】此題主要根據(jù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義解決問題．
17．27□既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，□中最大可填8。　×　
【分析】27□是2的倍數(shù)這個數(shù)就是偶數(shù)；27□是3的倍數(shù)，各個位上數(shù)字的和就是3的倍數(shù)，2+7＝9，找出9與□的和是3的倍數(shù)時□里面應(yīng)填的數(shù)，從中找出最大的即可。
【解答】解：27□既是2的倍數(shù)那么個位上的數(shù)就是偶數(shù)；
27□是3的倍數(shù)，2+7+□的和就是3的倍數(shù)；
因為2+7＝9，
9+0＝9，9+6＝15，9和15都是3的倍數(shù)，□里面可以填的偶數(shù)是0，6；最大是6。
所原題說法錯誤。
故答案為：×。
【點評】此題主要考查的是能同時被2、3整除的數(shù)的特征。
四．應(yīng)用題（共5小題）
18．一個長方形周長是20cm，這個長方形的長和寬都是質(zhì)數(shù)，這個長方形的面積是多少？
【分析】根據(jù)“長方形的一條長和寬的和＝周長÷2”計算出一條長和寬的和是：20÷2＝10厘米，長和寬都是質(zhì)數(shù)，找出相加等于10的質(zhì)數(shù)，然后根據(jù)長方形的面積＝長×寬分別計算得出即可。
【解答】解：20÷2＝10（厘米）
不相等的兩個指數(shù)相加等于10的只有：3+7＝10
長與寬的值都是質(zhì)數(shù)的是3厘米和7厘米
所以這個長方形的長是7厘米，寬是3厘米
面積是7×3＝21（平方厘米）
答：這個長方形的面積是21平方厘米。
【點評】此題考查的是長方形周長和面積計算的靈活運用情況，還考查了對質(zhì)數(shù)的掌握情況。
19．便民超市新運進(jìn)365瓶無菌消毒洗手液，如果每2瓶裝一提，能正好裝完嗎？如果每5瓶裝一箱，能正好裝完嗎？為什么？
【分析】根據(jù)2、5的倍數(shù)的特征，個位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)，個位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)。據(jù)此解答。
【解答】解：因為365不是2的倍數(shù)，所以每2瓶裝一提，不能正好裝完。
因為365是5的倍數(shù)，所以每5瓶裝一箱，能正好裝完。
【點評】此題考查的目的是理解掌握2、5的倍數(shù)的特征及應(yīng)用。
20．明明小朋友在飲料店買了一些純牛奶和可樂，已知純牛奶：5元/瓶，可樂：10元/瓶。請問：售貨員阿姨找回的錢對嗎？為什么？

【分析】根據(jù)5的倍數(shù)特征，一個數(shù)的個位是0或5，這個數(shù)就是5的倍數(shù)，據(jù)此分析解答。
【解答】解：因為純牛奶和可樂的單價分別是5元、10元，都是5的倍數(shù)，所以不論買幾瓶，總錢數(shù)也應(yīng)是5的倍數(shù)，付了100元，找回的錢數(shù)應(yīng)該也是5的倍數(shù)，即個位數(shù)應(yīng)是0或5，所以找回18元不對。
答：售貨員阿姨找回的錢不對。因為找回的錢應(yīng)該是5的倍數(shù)，18不是5的倍數(shù)。
【點評】此題考查了5的倍數(shù)特征以及實際運用，要熟練掌握。
21．超市把一些蘋果打包裝進(jìn)盒子里，每盒裝4個蘋果，正好裝完；每盒裝3個蘋果，則多出2個。已知蘋果的數(shù)量不超過30個，這些蘋果可能有多少個？
【分析】每盒裝4個蘋果，正好裝完；那么蘋果個數(shù)就是4的倍數(shù)，每盒裝3個蘋果，則多出2個，同時又是3的倍數(shù)與2的和，由此解答即可。
【解答】解：每盒裝4個蘋果，正好裝完；數(shù)量可能是4、8、12、16、20、24、28、32、36……
每盒裝3個蘋果，則多出2個；數(shù)量可能是5、8、11、14、17、20、23、26、29……
兩種分法都出現(xiàn)且不超過30的數(shù)是8和20，所以可能是8個或20個。
【點評】此題主要考查倍數(shù)的知識，明確要求的數(shù)即：蘋果個數(shù)就是4的倍數(shù)，同時又是3的倍數(shù)加2，是解答此題的關(guān)鍵。
22．合唱隊有32名同學(xué)，要站成若干、排表演，若每排人數(shù)相等，可以怎樣站？（不包括每排一人或32人站一排的情況）
【分析】要求每排多少人，可以站多少排，實際上就是求32的因數(shù)有哪些，據(jù)此回答。
【解答】解：32＝1×32＝2×16＝4×8
32的因數(shù)有：1、2、4、8、16、32；
因為不包括每排一人或32人站一排的情況，
所以可以這樣排列：
每排2人，站16排；
每排16人，站2排；
每排4人，站8排；
每排8人，站4排；
答：每排2人，站16排或每排16人，站2排或每排4人，站8排或每排8人，站4排。
【點評】此題的解題關(guān)鍵是掌握求一個數(shù)的因數(shù)的方法，靈活運用解決問題。

一．選擇題（共6小題）
1．（2021秋?陽信縣期末）根據(jù)96÷24＝4，下列敘述正確的是（　?。?br /> A．96是倍數(shù) B．96是4的倍數(shù)
C．24 是因數(shù) D．以上敘述均正確
【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)（為了方便，因數(shù)和倍數(shù)相互依存，不能單獨存在。
【解答】解：根據(jù)96÷24＝4，上列敘述正確的是96是4的倍數(shù)，4是96的因數(shù)。
故選：B。
【點評】此題考查了因數(shù)和倍數(shù)的意義，要熟練掌握。
2．（2022春?路南區(qū)期末）下面每組中兩個數(shù)都是5的倍數(shù)的是（　?。?br /> A．15和51 B．25和31 C．70和59 D．90和95
【分析】根據(jù)5的倍數(shù)的特征：末尾是0或5的數(shù)，由此解答即可。
【解答】解：面每組中兩個數(shù)都是5的倍數(shù)的是90和95。
故選：D。
【點評】明確5的倍數(shù)的特征，是解答此題的關(guān)鍵。
3．（2020春?楚雄州期末）要使17□成為3的倍數(shù)，□里不能填（　?。?br /> A．3 B．4 C．7
【分析】3 的倍數(shù)的特征：各個數(shù)位上是數(shù)字和能被3整除。
【解答】解：要使17□成為3的倍數(shù)，□里可以填：1、4、7。
故選：A。
【點評】一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，就看各個數(shù)位上是數(shù)字和能能不能被3整除。
4．（2022秋?羅湖區(qū)期中）下面各數(shù)中，因數(shù)個數(shù)最多的是（　　）
A．24 B．21 C．18 D．91
【分析】根據(jù)找配對的方法分別找出各數(shù)的所有因數(shù)，再比較個數(shù)即可。
【解答】解：A.24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，所以24的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、24，共8個；
B.21＝1×21＝3×7，所以21的因數(shù)有：1、3、7、21，共4個；
C.18＝1×18＝2×9＝3×6，所以18的因數(shù)有：1、2、3、6、9、18，共6個；
D.91＝1×91＝7×13，所以91的因數(shù)有：1、7、13、91，共4個。
所以24的因數(shù)個數(shù)最多。
故選：A。
【點評】此題需要學(xué)生熟練掌握求一個數(shù)因數(shù)的方法。
5．（2022秋?膠州市期末）最小的質(zhì)數(shù)與最小的合數(shù)的積是（　?。?br /> A．6 B．8 C．4
【分析】自然數(shù)中，除了1和它本身外，沒有別的因數(shù)的數(shù)為質(zhì)數(shù)。除了1和它本身外，還有別的因數(shù)的數(shù)為合數(shù)。由此可知，最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4。
【解答】解：最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4。
2×4＝8
答：最小的質(zhì)數(shù)與最小的合數(shù)的積是8。
故選：B。
【點評】本題主要考查了學(xué)生對于質(zhì)數(shù)與合數(shù)意義的理解和求一個數(shù)的因數(shù)的方法，質(zhì)數(shù)與合數(shù)是根據(jù)一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)進(jìn)行定義的。
6．（2021春?河?xùn)|區(qū)期末）在自然數(shù)中，凡是5的倍數(shù)（　?。?br /> A．一定是質(zhì)數(shù)
B．一定是合數(shù)
C．可能是質(zhì)數(shù)，也可能是合數(shù)
【分析】自然數(shù)中所有5的倍數(shù)的尾數(shù)都是0或5，即它們既可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)，5是質(zhì)數(shù)，10是合數(shù)，所以有可能是質(zhì)數(shù)，也有可能是合數(shù)。
【解答】解：在自然數(shù)中，凡是5的倍數(shù)，可能是質(zhì)數(shù)，也可能是合數(shù)。
故選：C。
【點評】一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，所有質(zhì)數(shù)的最小倍數(shù)都是本身，都是質(zhì)數(shù)。
二．填空題（共6小題）
7．（2021秋?鎮(zhèn)巴縣期末）五年級有48名同學(xué)報名參加植樹活動，老師讓他們自己分成人數(shù)相等的若干個小組，要求組數(shù)大于3，小于10，共有　3　種分法。
【分析】根據(jù)題干可知：分成人數(shù)相等的若干小組（組數(shù)大于3），那么這里只要求出48的因數(shù)中大于3的即可解決問題。
【解答】解：組數(shù)大于3，小于10：
48＝3×16
48＝4×12
48＝6×8
所以有3中分法。
故答案為：3。
【點評】此題考查了求一個數(shù)因數(shù)的方法解決實際問題的方法的靈活應(yīng)用。
8．（2021秋?綏德縣期末）根據(jù)5×8＝40可知，　40　是　5　和　8　的倍數(shù)。
【分析】若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)，因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的，據(jù)此解答。
【解答】解：因為5×8＝40，所以40是5和8的倍數(shù)。
故答案為：40，5，8。
【點評】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)的意義，注意因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的。
9．（2021秋?英德市期末）一個數(shù)比30大，比50小。如果這個數(shù)即是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，那么它是　45　。如果這個數(shù)是5的倍數(shù)，又是偶數(shù)，它是　40　。
【分析】各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)這個數(shù)就是3的倍數(shù)；個位上是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)，這個數(shù)是5的倍數(shù)，又是偶數(shù)，說明這個數(shù)的個位上是0，據(jù)此填空。
【解答】解：這個數(shù)即是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，說明這個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，并且個位上是0或5，即4+5＝9，9是3的倍數(shù)，5寫在個位上，這個數(shù)也是5的倍數(shù)，所以既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)是45。如果這個數(shù)是5的倍數(shù)，又是偶數(shù)，它就是40。
故答案為：45，40。
【點評】此題考查了2、3、5的倍數(shù)特征以及奇數(shù)、偶數(shù)的認(rèn)識，需要牢記并能靈活運用。
10．（2022秋?臨湘市期中）小青蛙每跳一步的距離是5分米，現(xiàn)在它在離河30分米的岸上。小青蛙至少要跳　6　次才能到河里。
【分析】求小青蛙至少要跳幾次才能到河里，就是求30里面有幾個5，用除法計算。
【解答】解：30÷5＝6（次）
答：小青蛙至少要跳6次才能到河里。
【點評】本題主要考查了除法的意義，求一個數(shù)里面有幾個另一個數(shù)，用除法計算。
11．（2022秋?交城縣期中）一個兩位數(shù)，是一個質(zhì)數(shù)。個位數(shù)字與十位數(shù)字的積是18。這個兩位數(shù)是　29　。
【分析】一個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。先將個位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積為18的可能性寫出，再排除即可。
【解答】解：18＝2×9＝3×6
這個兩位數(shù)可能是29、92、36、63；
根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，只有29是質(zhì)數(shù)，所以這個兩位數(shù)是29。
答：這個兩位數(shù)是29。
故答案為：29。
【點評】本題主要考查了質(zhì)數(shù)的認(rèn)識，關(guān)鍵是將個位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積為18的可能性寫出，再分析。
12．（2022秋?福清市期中）一個教室配5臺電風(fēng)扇，5個教室配　25　臺電風(fēng)扇。
【分析】一個教室配5臺電風(fēng)扇，5個教室配多少臺電風(fēng)扇，就是求5個5，即5乘5。
【解答】解：5×5＝25（臺）
答：5個教室配25臺電風(fēng)扇。
故答案為：25。
【點評】解決本題根據(jù)乘法的意義：求幾個幾是多少，用乘法求解。
三．判斷題（共5小題）
13．（2022秋?膠州市期末）同時是2，3和5的倍數(shù)的數(shù)，個位上一定是0。　√　
【分析】根據(jù)2、5的倍數(shù)的特征，個位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)；個位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)，由此可知：同時是2和5的倍數(shù)的數(shù)個位上一定是0，據(jù)此判斷。
【解答】解：同時是2，3和5的倍數(shù)的數(shù)，個位上一定是0，說法正確。
故答案為：√。
【點評】此題考查的目的是理解掌握2、3、5的倍數(shù)的特征。
14．（2022春?曾都區(qū)期末）29的因數(shù)比10的因數(shù)多。　×　
【分析】根據(jù)找一個數(shù)的因數(shù)的方法，分別列舉出29、10的因數(shù)，再把它們因數(shù)的個數(shù)進(jìn)行比較，據(jù)此判斷。
【解答】解：29的因數(shù)：1，29；共2個；
10的因數(shù)：1，2，5，10；共4個；
29的因數(shù)比10的因數(shù)少。
原題說法錯誤。
故答案為：×。
【點評】掌握求一個數(shù)因數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。
15．（2022秋?西鄉(xiāng)縣期中）因為4×1.5＝6，所以4和1.5是6的因數(shù)。　×　
【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義，當(dāng)a÷b＝c（a、b、c為非0自然數(shù)），我們說a是b的倍數(shù)，b是a的因數(shù)。據(jù)此判斷。
【解答】解：因為因數(shù)與倍數(shù)在非0自然數(shù)范圍內(nèi)，即a÷b＝c（a、b、c為非0自然數(shù)），題中的1.5是小數(shù)，所以題干中的結(jié)論是錯誤的。
故答案為：×。
【點評】此題主要考查因數(shù)和倍數(shù)的意義，學(xué)生往往忽略a、b、c為非0自然數(shù)這點，容易出錯。
16．（2021秋?榆林期末）在自然數(shù)1～20中，5的倍數(shù)有5個。　×　
【分析】一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大倍數(shù)。據(jù)此解答。
【解答】解：在自然數(shù)1～20中，5的倍數(shù)有5、10、15、20，共4個。
因此題干中的結(jié)論是錯誤的。
故答案為：×。
【點評】此題考查的目的是理解倍數(shù)的意義，掌握求一個數(shù)的倍數(shù)的方法及應(yīng)用。
17．（2022秋?榕城區(qū)期中）除7外，所有7的倍數(shù)都是合數(shù)。　√　
【分析】根據(jù)合數(shù)的意義，一個數(shù)除了含有1和它本身兩個因數(shù)外還含有其它因數(shù)的，就是合數(shù)，7的1倍數(shù)還是7，7是質(zhì)數(shù)不是合數(shù)，據(jù)此解答。
【解答】解：分析可知，除7外，所有7的倍數(shù)都是合數(shù)。所以本題說法正確。
故答案為：√。
【點評】本題考查了合數(shù)的知識，結(jié)合題意分析解答即可。
四．應(yīng)用題（共5小題）
18．（2021秋?子洲縣期末）有114個蘋果，如果每5個裝一袋，能正好裝完嗎？如果每3個裝一袋，能正好裝完嗎？為什么？
【分析】能被5整除的數(shù)的特征：個位上是0或5的數(shù)；能被3整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)；再根據(jù)能被3、5整除的數(shù)的特征進(jìn)行判斷能否正好裝完。
【解答】解：114的個位不是0或5，則114不能被5整除，即每5個裝一袋，不能正好裝完；
1+1+4＝6，6能被3整除，則114能被3整除，所以如果每3個裝一袋，能正好裝完。
【點評】此題考查能被3、5整除的數(shù)的特征及其運用。
19．（2022秋?西鄉(xiāng)縣期中）把20個月餅裝在盒子里，每個盒子裝得同樣多，有幾種裝法？每種裝法需要幾個盒子？
【分析】首先找出20的所有因數(shù)，再根據(jù)哪兩個因數(shù)相乘是20，確定每盒裝幾個，裝幾盒，據(jù)此解答即可。
【解答】解：20的因數(shù)有：1、2、4、5、10、20；
20＝1×20；一盒20個，裝1盒；或每盒裝1個，裝20盒；
20＝2×10，一盒裝10個，裝2盒；或每盒裝2個，裝10盒；
20＝4×5，一盒裝4個，裝5盒；或每盒裝5個，裝4盒；
20＝2×10，一盒裝2個，裝10盒；或每盒裝10個，裝2盒。
答：一共有8種裝法。
【點評】此題主要考查了求一個數(shù)的因數(shù)的方法的應(yīng)用。
20．（2021秋?晉城期中）媽媽在花店買了一些馬蹄蓮和郁金香。給了售貨員100元，找回13元，你能幫媽媽判斷一下找回的錢對不對嗎？

【分析】根據(jù)5的倍數(shù)的特征，一個數(shù)的個位是0或5，這個數(shù)就是5的倍數(shù)。據(jù)此分析解答。
【解答】解：由題意，根據(jù)5的倍數(shù)的特征可知找回13元不對。
因為馬蹄蓮和郁金香的單價分別是10元、5元，都是5的倍數(shù)，所以不論買幾盆，總錢數(shù)也應(yīng)是5的倍數(shù)，付了50元，找回的錢數(shù)也應(yīng)是5的倍數(shù)，即個位數(shù)應(yīng)是0或5，所以找回13元不對。
【點評】此題考查了5的倍數(shù)特征的實際運用。
21．李青有一張《長津湖》電影票，這張票的排數(shù)與座號數(shù)的乘積是143，而且排數(shù)比座號數(shù)大2。請問：李青的電影票是幾排幾號？
【分析】因為143＝11×13，又因為排數(shù)比座號數(shù)大2，所以11×（11+2），因此可以求出這張電影票的排好和座位號。
【解答】解：因為143＝11×13
＝11×（11+2）所以小紅的電影票是13排11號。
答：李青的電影票是13排11號。
【點評】本題意很簡單，利用分解因式的方法，更容易求解。
22．（2021春?陽原縣期末）一個長方形的周長是30厘米，長和寬是由一個質(zhì)數(shù)和一個合數(shù)組成的，它的面積最大是多少？最小是多少？
【分析】根據(jù)長方形的周長公式：周長＝（長+寬）×2，計算出長和寬的總長為15厘米，根據(jù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念，同時滿足加起來等于15，可羅列出15是由哪些質(zhì)數(shù)和哪些合數(shù)組成的，取長和寬的值，代入計算，得到最大面積和最小面積，據(jù)此即可解答。
【解答】解：30÷2＝15（厘米）
3+12＝15
4+11＝15
5+10＝15
7+8＝15
最大：7×8＝56（平方厘米）
最?。?×12＝36（平方厘米）
答：最大是56平方厘米，最小是36平方厘米。
【點評】此題的解題關(guān)鍵是掌握長方形的周長和面積公式，熟悉質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念，才能解決碰到的實際問題。