知識點一：因數(shù)與倍數(shù)
1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然數(shù))那么a和b就是c的因數(shù)，c就是a和b的倍數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)兩個不同的概念是相互依存的，不能單獨存在。例如4×3=12，12是4的倍數(shù),12也是3的倍數(shù),4和3都是12的因數(shù)。
2、 因數(shù)的特點：一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。例：10的因數(shù)有1、2、5、10，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是10。(1是所有非0自然數(shù)的因數(shù))
一個數(shù)的因數(shù)的求法：成對地按順序找
3、 倍數(shù)的特點：一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。例：3的倍數(shù)有：3、6、9、12…其中最小的倍數(shù)是3 ，沒有最大的倍數(shù)。
一個數(shù)的倍數(shù)的求法：依次乘以自然數(shù)
知識點二：2、5、3的倍數(shù)的特征
1、2的倍數(shù)的特征：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)(2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)、不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù))。
2、5的倍數(shù)的特征：個位上是0或5的數(shù)，都是5的倍數(shù)。
3、3的倍數(shù)的特征：一個數(shù)的各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。
知識點三：奇數(shù)與偶數(shù)（自然數(shù)按能不能被2整除來分：奇數(shù)、偶數(shù)）
(1)定義：奇數(shù)：(也叫單數(shù))自然數(shù)中不能被2整除的數(shù) 最小的奇數(shù)是1，
偶數(shù)：(也叫雙數(shù))自然數(shù)中能被2整除的數(shù) 最小的偶數(shù)是0.
(2)特征：奇數(shù)：個位上是1，3，5，7，9的數(shù)
偶數(shù)：個位上是0，2，4，6，8 的數(shù)
(3)字母表示：奇數(shù)：2n+1(n>=0) 偶數(shù)：2n(n>=0)
(4)公式：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù) 偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)
(5)自然數(shù)中，不是奇數(shù)就是偶數(shù)。0是偶數(shù)。
知識點四：質(zhì)數(shù)與合數(shù)（自然數(shù)按因數(shù)的個數(shù)來分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1、0四類）
(1)定義：質(zhì)數(shù)：只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)(共有2個因數(shù))
合數(shù)：除了1和它本身之外還有別的因數(shù)的數(shù)(至少有3個因數(shù))，
(2)最小的質(zhì)數(shù)是2 最小的合數(shù)是4
(3)“1”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。 (因為1只有1個因數(shù))。
(4)自然數(shù)中，除了0和1之外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)
(5)在自然數(shù)里，不是奇數(shù)的質(zhì)數(shù)只有2
(6)公式：質(zhì)數(shù)*質(zhì)數(shù)=合數(shù) 質(zhì)數(shù)*合數(shù)=合數(shù) 合數(shù)*合數(shù)=合數(shù)
(7)100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、
37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。
一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）
1．（2分）（2021春?沁陽市期中）下面說法錯誤的是（ ）
A．兩個質(zhì)數(shù)的積一定是合數(shù)
B．用1，2，3組成的三位數(shù)都是3的倍數(shù)
C．一個數(shù)是2的倍數(shù)，這個數(shù)一定是4的倍數(shù)
【思路引導(dǎo)】在目然數(shù)中，除了1和它本身外，沒有別的因數(shù)的數(shù)為質(zhì)數(shù)，除了1和它本身外，還有別的因數(shù)的數(shù)為合數(shù)；根據(jù)3的倍數(shù)特征：各個數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)的數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)；是2的倍數(shù)，不一定是4的倍數(shù)，但是4的倍數(shù)一定是2的倍數(shù)。
【完整解答】選項A：兩個質(zhì)數(shù)相乘得到的積，除了1和它本身外，還有這兩個質(zhì)數(shù)是它的因數(shù)。它有4個因數(shù)，所以一定是合數(shù)。
選項B：因為1+2+3＝6，6是3的倍數(shù)，所以用1，2，3三個數(shù)字組成的三位數(shù)都是3的倍數(shù)。
選項C：2是2的倍數(shù)，但2不是4的倍數(shù)，所以原題說法錯誤。
故選：C。
2．（2分）（2021春?舞鋼市期中）下面（ ）組中既有公因數(shù)2，又有公因數(shù)3。
A．6和27B．30和40C．10和35D．24和42
【思路引導(dǎo)】把每組的兩個數(shù)的公因數(shù)都找出來，看哪組的兩個數(shù)的公因數(shù)既有因數(shù)2，又有因數(shù)3即可。
【完整解答】A.6＝2×3，27＝3×3×3，所以6和27的公因數(shù)有：1，3；
B.30＝2×3×5，40＝2×2×2×5，所以30和40的公因數(shù)有：1，2，5，10；
C.10＝2×5，35＝5×7，所以10和35的公因數(shù)有：5；
D.24＝2×2×2×3；42＝2×3×7，所以24和42的公因數(shù)有：1，2，3，6；
所以符合條件的只有24和42。
故選：D。
3．（2分）（2021春?沁陽市期中）李老師為幼兒園買下面玩具中的一種用去114元，李老師買的玩具是（ ）
A． 9元B． 5元 C．6元
【思路引導(dǎo)】因為李老師買一種玩具用去114元，所買玩具的單價應(yīng)被114整除，因此，李老師買的是花皮球。
【完整解答】114÷9＝12（個）（元）
114÷5＝22（個）（元）
114÷6＝19（個）
答：李老師買的玩具是6元的花皮球。
故選：C。
4．（2分）（2021春?天門期中）有一個數(shù)，它既是30的倍數(shù)又是30的因數(shù)，這個數(shù)是（ ）
A．15B．30C．60
【思路引導(dǎo)】由題意知：30的最小倍數(shù)是30×1＝30，最大約數(shù)是30，因為最大約數(shù)和最小倍數(shù)相等，故這個數(shù)為30．
【完整解答】有一個數(shù)，它既是30的倍數(shù)又是30的因數(shù)，這個數(shù)就是30本身；
故選：B．
5．（2分）（2020秋?灤州市期中）4□7中，方框里最大填寫（ ），這個數(shù)是3的倍數(shù)。
A．1B．4C．7
【思路引導(dǎo)】根據(jù)3的倍數(shù)的特征：各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)一定能是3的倍數(shù)。據(jù)此解答。
【完整解答】在4口7中，因為4+7＝11，11不是3的倍數(shù)，所以空格里可以填1或4、7，方框里最大填寫7。
故選：C。
二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
6．（2分）（2021春?東川區(qū)期中）12的因數(shù)有 1、2、3、4、6、12 ，最大的因數(shù)是 12 ，最小的因數(shù)是 1 。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。
【完整解答】12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12，最大的因數(shù)是12，最小的因數(shù)是1。
故答案為：1、2、3、4、6、12；12；1。
7．（2分）（2021春?魏縣期中）一個長方形的長和寬的厘米數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這個長方形的周長是40cm，面積是91cm2，這個長方形的長和寬分別是 13 cm和 7 cm。
【思路引導(dǎo)】由題意可知，面積為91cm2的長方形，長和寬分別是兩個質(zhì)數(shù)，利用分解質(zhì)因數(shù)的方法，把91分解質(zhì)因數(shù)，問題即可解決。
【完整解答】把91分解質(zhì)因數(shù)：91＝13×7，
（13+7）×2＝40（cm）
所以長方形的長是13cm，寬是7厘米。
故答案為：13，7。
8．（2分）（2021春?廣饒縣校級期中）4□，□中最大填 48 時，這個數(shù)能被3整除，這個數(shù)的因數(shù)有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 。
【思路引導(dǎo)】3的倍數(shù)特征：把一個數(shù)的各位上的數(shù)相加的和，如果相加的和是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是3的倍數(shù)。據(jù)此可知，要使4□能被3整中可以填2、5、8，最大填8。這個數(shù)就是48。根據(jù)因數(shù)的定義可知，1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8＝48，則48的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
【完整解答】4□，□中最大填48時這個數(shù)能被3整除，這個數(shù)的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
故答案為：48，1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
9．（2分）（2020秋?昆都侖區(qū)期末）12的因數(shù)有 6 個，因此12是一個 合 數(shù)。
【思路引導(dǎo)】一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身；自然數(shù)中，除了1和它本身外，還有別的因數(shù)的數(shù)為合數(shù)，由此解答即可。
【完整解答】12的因數(shù)有：1、2、3、4、6、12，一共6個，因此12是一個合數(shù)。
故答案為：6；合。
10．（2分）（2021?寧波模擬）9個連續(xù)的自然數(shù)，它們都大于80，那么其中質(zhì)數(shù)至多有 4 個．
【思路引導(dǎo)】9個連續(xù)的自然數(shù)，末尾可能是0﹣9，末尾是0、2、4、6、8的一定被2整除，末尾是5 的一定被5整除，只有末尾是1、3、7、9的數(shù)可能是質(zhì)數(shù)．
至少有4個偶數(shù)，即至多有5個連續(xù)的奇數(shù)．因為大于80的質(zhì)數(shù)必為奇數(shù)（偶數(shù)質(zhì)數(shù)只有一個2），于是質(zhì)數(shù)只可能在這5個連續(xù)的奇數(shù)中，在這5個奇數(shù)中，末尾是5 的一定被5整除，每連續(xù)3個自然數(shù)中一定有一個是3的倍數(shù)，所以質(zhì)數(shù)個數(shù)不能超過4．（這里采用了逐次淘汰的方法．） 另外，在101至109這9個連續(xù)的自然數(shù)，101，103，107，109是質(zhì)數(shù)，這就是說，在9個連續(xù)自然數(shù)中，可以至多有四個質(zhì)數(shù)．
【完整解答】9個連續(xù)的自然數(shù)，末尾可能是0﹣9，末尾是0、2、4、6、8的一定被2整除，末尾是5 的一定被5整除，只有末尾是1、3、7、9的數(shù)可能是質(zhì)數(shù)．
至少有4個偶數(shù)，即至多有5個連續(xù)的奇數(shù)．因為大于80的質(zhì)數(shù)必為奇數(shù)（偶數(shù)質(zhì)數(shù)只有一個2），又因為每連續(xù)3個自然數(shù)中一定有一個是3的倍數(shù)，于是質(zhì)數(shù)只可能在這5個連續(xù)的奇數(shù)中，
所以質(zhì)數(shù)個數(shù)不能超過4．
如：101 102 103 104 105 106 107 108 109 當(dāng)中有101 103 107 109四個質(zhì)數(shù)，
這就是說，在9個連續(xù)自然數(shù)中，可以至多有四個質(zhì)數(shù)．
綜上所述，在大于80的9個連續(xù)自然數(shù)中至多有4個質(zhì)數(shù)．
故答案為：4．
11．（2分）（2020春?萊陽市期末）要使“64□”既是3的倍數(shù)又是2的倍數(shù)，□里最大應(yīng)填 8 ．
【思路引導(dǎo)】由“64□”是2的倍數(shù)可知：□可以為0，2，4，6，8，由“64□”是3的倍數(shù)可知：6+4+□＝10+□為3的倍數(shù)，則□最大可以為8。
【完整解答】經(jīng)分析可知：
□可以為0，2，4，6，8，
10+□為3的倍數(shù)，
則□最大可以為8。
故答案為：8。
12．（2分）（2016?長沙模擬）自然數(shù)1～9中，最小的質(zhì)數(shù)、最小的合數(shù)、最大的質(zhì)數(shù)、最大的合數(shù)這四個數(shù)的和是 22 ．
【思路引導(dǎo)】根據(jù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義，一個自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，一個自然數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)．據(jù)此解答即可．
【完整解答】在自然數(shù)1﹣﹣9中，最小的質(zhì)數(shù)是2、最小的合數(shù)是4、最大的質(zhì)數(shù)是7、最大的合數(shù)是9，所以這四個數(shù)的和是2+4+7+9＝22．
故答案為：22．
13．（2分）（2010春?武昌區(qū)期末）兩個質(zhì)數(shù)的積是91，這兩個質(zhì)數(shù)是 7 和 13 ．
【思路引導(dǎo)】根據(jù)分解質(zhì)因數(shù)的方法，把91分解質(zhì)因數(shù)即可．
【完整解答】91＝7×13，
所以這兩個質(zhì)數(shù)分別為：7和13；
故答案為：7，13．
三．判斷題（共6小題，滿分12分，每小題2分）
14．（2分）（2021春?漢川市期中）24÷3＝8，所以3是24的因數(shù)。 √ （判斷對錯）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：如果數(shù)a能被數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)（為了方便，我們在研究因數(shù)和倍數(shù)時，所說的數(shù)一般指不是零的自然數(shù)）；據(jù)此進(jìn)行判斷即可。
【完整解答】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義，當(dāng)a÷b＝c（a、b、c為非0自然數(shù)）我們說a是b的倍數(shù)，b是a的因數(shù)；
所以24÷3＝8，3是24的因數(shù)；原題說法正確。
故答案為：√。
15．（2分）（2021春?固始縣期中）一個數(shù)如果只有1和它本身兩個因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)。 × （判斷對錯）
【思路引導(dǎo)】質(zhì)數(shù)是一個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，這個數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（素數(shù)），合數(shù)是指自然數(shù)中除了能被1和本身整除外，還有其它因數(shù)的數(shù)，一定要區(qū)分開質(zhì)數(shù)和合數(shù)定義的區(qū)別。
【完整解答】一個數(shù)如果只有1和它本身兩個因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)。原來的說法錯誤。
故答案為：×。
16．（2分）（2021?河南模擬）因為2.1÷3＝0.7，所以2.1是3和0.7的倍數(shù)，3和0.7是2.1的因數(shù)． × ．（判斷對錯）
【思路引導(dǎo)】要注意，只有在除法算式中，除數(shù)和被除數(shù)都是整數(shù)的情況下才能討論倍數(shù)和約數(shù)的概念．
【完整解答】在2.1÷3＝0.7，這個除法算式中2.1和0.7是小數(shù)，不是整數(shù)，所以因為2.1÷3＝0.7，所以2.1是3和0.7的倍數(shù)，3和0.7是2.1的因數(shù)說法錯誤；
故答案為：×．
17．（2分）（2019秋?高平市期末）自然數(shù)中，最小的質(zhì)數(shù)與最小的合數(shù)相差2． √ ． （判斷對錯）
【思路引導(dǎo)】自然數(shù)中，除了1和它本身外，沒有別的因數(shù)的數(shù)為質(zhì)數(shù)，除了1和它本身外，還有別的因數(shù)的數(shù)為合數(shù)．由此可知，最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4，據(jù)此解答即可．
【完整解答】在自然數(shù)中最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4，
最小的質(zhì)數(shù)與最小的合數(shù)相差：4﹣2＝2，
所以原題說法正確；
故答案為：√．
18．（2分）一個數(shù)既是12的因數(shù)，又是12的倍數(shù)，那么這個數(shù)一定是12． √ （判斷對錯）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)因數(shù)與倍數(shù)的意義，一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大倍數(shù)．據(jù)此解答．
【完整解答】因為一個數(shù)的最大因數(shù)是它本身．一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身．
所以，一個數(shù)既是12的因數(shù)，又是12的倍數(shù)，那么這個數(shù)一定是12．這種說法是正確的．
故答案為：√．
19．（2分）因為7是質(zhì)數(shù)，所以7沒有因數(shù)． × ．（判斷對錯）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義：只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，7的因數(shù)有1和7；據(jù)此判斷．
【完整解答】7是質(zhì)數(shù)，有1、7兩個因數(shù)，
所以7沒有因數(shù)說法錯誤；
故答案為：×．
四．應(yīng)用題（共6小題，滿分30分，每小題5分）
20．（5分）（2021春?澠池縣期中）小明的球衣號碼是一個質(zhì)數(shù)，這個質(zhì)數(shù)所有因數(shù)之和是20。你知道小明球衣的號碼是多少嗎？
【思路引導(dǎo)】一個質(zhì)數(shù)的因數(shù)只有兩個，即1和它本身，據(jù)此解答即可。
【完整解答】20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2，3，5，7，11，13，17，19，在這些質(zhì)數(shù)中，只有19符合條件，19的因數(shù)是1和19，且1+19＝20。
答：小明球衣的號碼是19。
21．（5分）（2019秋?和平區(qū)期末）盒里有48塊糖塊，如果不一次拿出，也不一個一個地拿出，要求每次拿出的個數(shù)同樣多，拿完時又正好不多不少，共有多少種拿法？每次拿出多少個？
【思路引導(dǎo)】拿完時又正好不多不少，說明每次拿出的個數(shù)都是48的因數(shù)，不一次拿出，也不一個個地拿，所以48和1這對因數(shù)不要，共有8種拿法；由此求解。
【完整解答】48＝2×2×2×2×3，
所以將48裂項為：
48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，
共有10個因數(shù)，不一次拿出，也不一個個地拿，所以48和1這對因數(shù)不要；共有8種拿法．
答：有8種不同拿法。
故答案為：8。
22．（5分）（2018秋?和平區(qū)期末）如表是五年級四個班人數(shù)，哪幾個班可以平均分成人數(shù)相同組？（每組人數(shù)大于1）哪幾個班不可以？為什么？
【思路引導(dǎo)】這些班的人數(shù)中，是合數(shù)的可以平均分成每組相同的人數(shù)，是質(zhì)數(shù)的就不能分成相同的組數(shù)。
【完整解答】45、42是合數(shù)，可以平均分成人數(shù)相同的小組；
41、43是質(zhì)數(shù)，不可以平均分成人數(shù)相同的小組．
答：（1）班、（4）班可以平均分成人數(shù)相同的小組；（2）班、（3）班班不可以平均分成人數(shù)相同的小組。
23．（5分）（2020秋?新豐縣期中）幼兒園大班有一些小朋友（多于10人，且少于40人），李老師拿了48顆糖平均分給他們，正好分完，小朋友的人數(shù)可能是多少？
【思路引導(dǎo)】根據(jù)因數(shù)與倍數(shù)的意義，和找一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)的方法，求出48的因數(shù)有哪些，根據(jù)題意可以平均分給多少個小朋友，由此解答。
【完整解答】48的因數(shù)有：1，2，3、4，6，8，12，16，24，48．
根據(jù)題意不可能分給1個小朋友，小朋友（多于10人，且少于40人），因此可以平均分給12，16，24個小朋友。
答：小朋友的人數(shù)可能是12，16，24。
24．（5分）35名同學(xué)在操場上做游戲，可以每4個人分一組，也可以每5個人分一組，怎樣安排沒有剩余？
【思路引導(dǎo)】根據(jù)求一個數(shù)的因數(shù)的方法，一個數(shù)的最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身，35的因數(shù)有：1、5、7、35；由此可知，4不是35的因數(shù)，5是35的因數(shù)。所以每5個人分一組，沒有剩余。據(jù)此解答。
【完整解答】35÷4＝8（組）（人）
35÷5＝7（組）
答：5個人分一組沒有剩余。
25．（5分）（2019?溫州）4只同樣的瓶子內(nèi)分別裝有一定數(shù)量的油。每瓶和其它各瓶分別合稱一次，記錄千克數(shù)如下：8、9、10、11、12、13。已知4個空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質(zhì)數(shù)，問最重的兩瓶內(nèi)有多少千克油？
【思路引導(dǎo)】由于每只瓶都稱了三次，因此記錄數(shù)之和是4瓶油（連瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（加瓶）共重（8+9+10+11+12+13）÷3＝21（千克），而油重之和及瓶重之和均為質(zhì)數(shù)，所以它們必為一奇一偶，而質(zhì)數(shù)中是偶數(shù)的質(zhì)數(shù)只有2，當(dāng)油重之和為19千克，瓶重之和為2千克，每只瓶重2÷4＝（千克），最重的兩瓶內(nèi)的油為13﹣×2＝12（千克）；當(dāng)油重之和為2千克，瓶重之和為19千克，每只瓶重千克，最重的兩瓶內(nèi)的油為13﹣×2＝（千克），這與油重之和為2千克矛盾，不符合題意。
【完整解答】每個瓶稱三次，故四個瓶子總重量為（8+9+10+11+12+13）÷3＝21 （千克），21是奇數(shù)，故空瓶重量之和與油重量之和必為一奇一偶。
而質(zhì)數(shù)中是偶數(shù)的質(zhì)數(shù)只有2，分兩種情況求解：
（1）當(dāng)空瓶重量和為2，油重量和為19；每個空瓶2÷4＝（千克），故最重兩瓶（即重13的兩瓶）有13﹣×2＝12（千克）；
（2）油重之和為2千克，瓶重之和為19千克，每只瓶重19÷4＝千克，最重的兩瓶內(nèi)的油為13﹣×2＝（千克），這與油重之和為2千克矛盾，不符合題意。
答：最重的兩瓶內(nèi)有12千克油。
五．解答題（共6小題，滿分32分）
26．（5分）（2019春?臺州期中）五（3）班共有40名學(xué)生，現(xiàn)在要把這些學(xué)生分成人數(shù)相等的若干小組（不能分成40組），有幾種分法？每組最多有多少人？
【思路引導(dǎo)】求有幾種分法，即求40的因數(shù)有多少，根據(jù)找一個數(shù)因數(shù)的方法，列舉出40的所有因數(shù)，根據(jù)因數(shù)的個數(shù)，并結(jié)合題意，即可得出分法共有多少種．
【完整解答】40的因數(shù)有1、2、4、5、8、10、20、40共8個，
①分成1個小組，每組40人；
②分成2個小組，每組20人；
③分成4個小組，每組10人；
④分成5個小組，每組8人；
⑤分成8個小組，每組5人；
⑥分成10個小組，每組4人；
⑦分成20個小組，每組2人．
因為不能分成40組這個要求，所以只有7種分法．
答：有7種分法，每組最多有40人．
27．（5分）（2018秋?乳源縣期中）一個數(shù)，既是6的倍數(shù)，又是24的因數(shù)，這個數(shù)可能是多少？
【思路引導(dǎo)】一個數(shù)既是24的因數(shù)，又是6的倍數(shù)，即求既是24的因數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)，找出共同的數(shù)即可．
【完整解答】24的因數(shù)：1、2、3、4、6、8、12、24
24（包括24）以內(nèi)6的倍數(shù)有：6、12、18、24；
所以，一個數(shù)既是24的因數(shù)又是6的倍數(shù)，這個數(shù)可能是6、12、24．
答：這個數(shù)可能是6、12、24．
28．（5分）（2019春?滎陽市期末）我們知道5有2個因數(shù)1和5，6有4個因數(shù)1，2，3，6；5和6的因數(shù)個數(shù)都是偶數(shù)．請你找出幾個因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？
【思路引導(dǎo)】一個數(shù)的因數(shù)是成對出現(xiàn)的，要想因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)個，就需有兩個相同的因數(shù)，可舉4和9，分析可得平方數(shù)的因數(shù)有奇數(shù)個．
【完整解答】4的因數(shù)有1，2，4，3個
9的因數(shù)有1，3，9，3個，
可得出平方數(shù)的因數(shù)有奇數(shù)個．
29．（5分）（2021春?昌黎縣期中）42名同學(xué)去參觀水立方，老師要把同學(xué)們平均分成若干小組，而且每組人數(shù)都是偶數(shù)，可以分成幾組，每組幾人？（組數(shù)大于1）（寫出思考過程）
【思路引導(dǎo)】寫出兩個整數(shù)的積等于42的所有乘法算式，偶數(shù)因數(shù)作每組人數(shù)，另一個因數(shù)作組數(shù)，組數(shù)不能為1。
【完整解答】兩個整數(shù)的積等于42，偶數(shù)因數(shù)作每組人數(shù)，另一個因數(shù)作組數(shù)，組數(shù)不能為1。
1×42＝42
偶數(shù)因數(shù)42作每組人數(shù)，組數(shù)為1，不符合題目組數(shù)大于1的要求。
2×21＝42
3×14＝42
6×7＝42
答：可以分成21組，每組2人；
也可以分成3組，每組14人；
還可以分成7組，每組6人。
30．（6分）（2019春?興仁市月考）五（1）班6名同學(xué)去給小樹苗澆水，小樹苗不到30棵，他們發(fā)現(xiàn)每人澆水棵數(shù)相同，這批小樹苗可能有多少棵？
【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，樹苗棵數(shù)肯定是6的倍數(shù)，且小于30，小于30的，且是6的倍數(shù)的有：6、12、18、24，所以這批小樹苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵．
【完整解答】小于30的且是6的倍數(shù)的有：6、12、18、24棵；
答：這批小樹苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵．
31．（6分）（2019春?鎮(zhèn)康縣校級月考）食品店有75個面包，如果每2個裝一袋，能正好裝完嗎？如果每5個裝一袋，能正好裝完嗎？如果每3個裝一袋，能正好裝完嗎？為什么？
【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)能被2整除的特征：即個位上是0、2、4、6、8的數(shù)判斷即可；
（2）根據(jù)能被5整除的特征：即個位上是0或5的數(shù)判斷即可；
（3）根據(jù)能被3整除的特征：各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除這個數(shù)就能被3整除，判斷即可．
【完整解答】（1）75個位上是5，不能被2整除，
所以每2個裝一袋，不能正好裝完；
答：不能正好裝完；
（2）75個位上是5，能被5整除，
所以每5個裝一袋，能正好裝完；
答：能正好裝完；
（3）7+5＝12，能被3整除，
所以每3個裝一袋，能正好裝完；
答：能正好裝完班級
一班
二班
三班
四班
人數(shù)（人）
45
43
41
42

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