第五單元分?jǐn)?shù)的意義5.7 最小公倍數(shù)【基礎(chǔ)鞏固】 一、選擇題1．一箱獼猴桃，每次拿2個(gè)、3個(gè)或5個(gè)都能正好拿完，這箱獼猴桃可能有（   ）個(gè)。A．48 B．50 C．65 D．902．有一筐雞蛋不超過50個(gè)，如果3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)剛好數(shù)完，如果5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)也剛好數(shù)完，這筐雞蛋最多有（   ）個(gè)。A．40 B．47 C．453．五（2）班的學(xué)生人數(shù)在40~50之間，其中有的喜歡畫畫，的喜歡唱歌，那么五（2）班有（   ）人。A．40 B．24 C．484．五（4）班的人數(shù)在40至50人之間，隊(duì)列比賽中，無論是4人一排，還是6人一排，都正好排完。五（4）班一共有（   ）人。A．42 B．44 C．46 D．485．8和10的最小公倍數(shù)是（   ）。A．8 B．10 C．40 D．80二、填空題6．在m＝n＋1（m、n為非零自然數(shù)）中，m和n的最小公倍數(shù)是(        )，最大公因數(shù)是(        )。7．16和24的最小公倍數(shù)是(      )，最大公因數(shù)是(      )。8．小琪和小英利用晚上時(shí)間去圖書館看書。小琪4天去一次，小英6天去一次。她們3月6日同時(shí)去的，下一次同時(shí)去是3月(        )日。9．學(xué)校要求參加集體舞表演的同學(xué)不超過100人，分成每8人一組或每6人一組都正好，最多(        )人能參加表演。10．一些糖，若平均分給3個(gè)人，正好分完；若平均分給11個(gè)人，也正好分完，則這些糖至少有(        )個(gè)。三、計(jì)算題11．求下面每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。15和30    25和20   12和18     7和13 【能力提升】四、解答題12．端午節(jié)這天，張阿姨包了一些粽子，不管是6個(gè)裝一盒還是8個(gè)裝一盒都正好裝完，張阿姨至少包了多少個(gè)粽子？   13．2路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，6路公共汽車每3分鐘發(fā)車一次。這兩路公共汽車早上8：00同時(shí)發(fā)車后，至少再過多少分鐘又同時(shí)發(fā)車？  【拓展實(shí)踐】14．傳說漢朝大將韓信用一種特殊方法清點(diǎn)士兵的人數(shù)，他的方法是讓士兵先列成三列縱隊(duì)（每行三人），再列成五列縱隊(duì)（每行五人），最后列成七列縱隊(duì)（每行七人），他只要知道這隊(duì)士兵大約的人數(shù)，就可以根據(jù)這三次列隊(duì)排在最后一行的士兵是幾個(gè)人，而推算出這隊(duì)士兵的準(zhǔn)確人數(shù)．如果韓信當(dāng)時(shí)看到的三次列隊(duì)，最后一行的士兵人數(shù)分別是2人，2人，4人．并知道這隊(duì)士兵約在三百到四百人之間．你能很快推算出這隊(duì)士兵的人數(shù)嗎？   15．（1）填表。a30781561b15131210913a與b的乘積4509196150  a與b的最大公因數(shù)1514   a與b的最小公倍數(shù)309124   （2）觀察比較a與b的乘積與最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫下來。（3）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)，如果a與b的積是300，a與b的最大公因數(shù)是5，那么a與b的最小公倍數(shù)是（   ）。                     參考答案1．D【分析】根據(jù)題意，也就是求2、3和5的公倍數(shù)是多少，先求出最小公倍數(shù)，即可解答。【詳解】因?yàn)?、3和5兩兩互質(zhì)所以2、3和5的最小公倍數(shù)是2×3×5＝3030的倍數(shù)有：30、60、90、120……A．48不是30的倍數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；B．50不是30的倍數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；C．65不是30的倍數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；D．90是30的倍數(shù)，此選項(xiàng)符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】此題考查用求最小公倍數(shù)的方法解決生活中的實(shí)際問題，明確三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)，那么它們的乘積就是它們的最小公倍數(shù)。2．C【分析】由題意得，這筐雞蛋的個(gè)數(shù)應(yīng)是3和5的倍數(shù)，也是3和5最小公倍數(shù)的倍數(shù)，又因?yàn)檫@筐雞蛋不超過50個(gè)，所以這筐雞蛋的實(shí)際個(gè)數(shù)是50以內(nèi)3和5的最大公倍數(shù)。【詳解】由題意得：因?yàn)?和5的最小公倍數(shù)為：3×5＝15，15的倍數(shù)有：15、30、45、60…，因?yàn)橐豢痣u蛋不超過50個(gè)，所以45符合題意。故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查的是公倍數(shù)的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵是理解雞蛋的個(gè)數(shù)是3和5的公倍數(shù)，為了計(jì)算簡便，也可以找出在50以內(nèi)3和5最小公倍數(shù)的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)即為雞蛋的個(gè)數(shù)。3．C【分析】因?yàn)閷W(xué)生人數(shù)必須是整數(shù)，且在40~50之間，其中有的喜歡畫畫，的喜歡唱歌，所以人數(shù)是4和6的公倍數(shù)，且在40~50之間，據(jù)此作答。【詳解】根據(jù)分析可知：4和6的公倍數(shù)有：12、24、48……，只有48在40~50之間，符合題意。故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查公倍數(shù)的應(yīng)用，注意聯(lián)系實(shí)際，人數(shù)必須是整數(shù)。4．D【分析】求這個(gè)班有多少人，也就是求40至50之間的4和6的公倍數(shù)，根據(jù)求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：即這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積，進(jìn)行解答。【詳解】4＝2×26＝2×34和6的最小公倍數(shù)是：2×2×3＝12因?yàn)槲澹?）班人數(shù)再40至50之間，12×4＝48（人）五（4）班一共有48人故答案選：D【點(diǎn)睛】本題考查求最小公倍數(shù)的方法，關(guān)鍵是先求出4和6最小公倍數(shù)，進(jìn)而求出結(jié)果。5．C【分析】求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，兩個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，把公有的質(zhì)因數(shù)與它們各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)連乘即可。【詳解】8＝2×2×210＝2×58和10的最小公倍數(shù)是2×2×2×5＝40故答案為：C【點(diǎn)睛】此題考查了最小公倍數(shù)的求法。也可通過短除法來計(jì)算。6．mn     1【分析】根據(jù)題意：m＝n＋1（m、n為非零自然數(shù)），那么m－n＝1，說明m和n是相鄰的自然數(shù)；也就是m和n是互質(zhì)數(shù)；根據(jù)求相鄰的自然數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法：兩個(gè)相鄰的自然數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積；據(jù)此解答。【詳解】m＝n＋1（m、n為非零自然數(shù)），則m和n是互質(zhì)數(shù)m和n的最小公倍數(shù)是mn，最大公因數(shù)是1。【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)的求法。7．48     8【分析】先把要求的兩個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，然后把它們公有的質(zhì)因數(shù)連乘起來，所得的積就是它們的最大公因數(shù)；把它們公有的質(zhì)因數(shù)和獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)連乘起來，所得的積就是它們的最小公倍數(shù)；【詳解】16＝2×2×2×224＝2×2×2×316和24的最大公因數(shù)是8，最小公倍數(shù)是48。【點(diǎn)睛】考查了求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法與最小公倍數(shù)的方法：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公約數(shù)；兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)；數(shù)字大的可以用短除法解答。8．18【分析】因?yàn)?和6的最小公倍數(shù)是12，則他們每隔12天同時(shí)去一次，所以他們下次同時(shí)去應(yīng)在12天后，據(jù)此解答。【詳解】小琪和小英利用晚上時(shí)間去圖書館看書。小琪4天去一次，小英6天去一次。她們3月6日同時(shí)去的，下一次同時(shí)去是3月18日。【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法及應(yīng)用。9．96【分析】根據(jù)題意，分成8人一組或6人一組都正好，說明人數(shù)是8和6的最小公倍數(shù)的倍數(shù)，根據(jù)求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法，求出8和6的最小公倍數(shù)，再求出在100以內(nèi)8和6的最小公倍數(shù)的最大的倍數(shù)，即可解答。【詳解】8＝2×2×26＝2×38和6的最小公倍數(shù)：2×3×2×2＝24100以內(nèi)最多人數(shù)：24×4＝96（人）【點(diǎn)睛】本題考查最小公倍數(shù)的求法：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積。10．33【分析】由于平均分給3個(gè)人，正好分完，說明這些糖的數(shù)量是3的倍數(shù)；若平均分給11個(gè)人，也正好分完，則這些糖也是11的倍數(shù)，由于至少有多少個(gè)，由此即可知道是找3和11的最小公倍數(shù)，由于3和11是互質(zhì)數(shù)，即它倆的最小公倍數(shù)是它倆的乘積。【詳解】3×11＝33（個(gè)）【點(diǎn)睛】本題主要考查最小公倍數(shù)的求法，熟練掌握最小公倍數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵。11．15和30的最大公因數(shù)是15；最小公倍數(shù)是30；25和20的最大公因數(shù)是5；最小公倍數(shù)是100；12和18的最大公因數(shù)是6；最小公倍數(shù)是36；7和13的最大公因數(shù)是1；最小公倍數(shù)是91【分析】對(duì)于一般的兩個(gè)數(shù)來說，這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)；對(duì)于兩個(gè)數(shù)為倍數(shù)關(guān)系時(shí)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：兩個(gè)數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)為較小的數(shù)，較大的那個(gè)數(shù)，是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)；是互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)即這兩個(gè)數(shù)的乘積；據(jù)此解答。【詳解】因?yàn)?0÷15＝2，即30和15成倍數(shù)關(guān)系，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是30；25＝5×520＝2×2×525和20的最大公因數(shù)是5，最小公倍數(shù)是：2×2×5×5＝100；12＝2×2×318＝2×3×312和18的最大公因數(shù)是2×3＝6，最小公倍數(shù)是：2×2×3×3＝36；7和13是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是13×7＝91。12．24個(gè)【分析】根據(jù)題意，求出6和8的最小公倍數(shù)，就是張阿姨至少包了多少個(gè)粽子，據(jù)此解答。【詳解】6＝2×38＝2×2×26和8的最小公倍數(shù)：2×2×2×3＝4×2×3＝8×3＝24答：張阿姨至少包了24個(gè)粽子。【點(diǎn)睛】本題考查最小公倍數(shù)的求法：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)。13．15分鐘【分析】2路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，那么2路發(fā)車的發(fā)車間隔時(shí)間就是5倍數(shù)；6路車每3分鐘發(fā)車一次，那么6路車的發(fā)車間隔時(shí)間就是3的倍數(shù)；兩輛車同時(shí)發(fā)車的間隔是5和3的公倍數(shù)，最少的間隔時(shí)間就是5和3最小公倍數(shù)。【詳解】5和3的最小公倍數(shù)是：5×3＝15（分）答：至少再過多15分鐘又同時(shí)發(fā)車.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是理解：兩輛車同時(shí)發(fā)車的兩次之間間隔時(shí)間就是5和3的最小公倍數(shù)。14．347人【詳解】試題分析：此題類似于孫子定理，又叫同余定理，中國剩余定理，分組時(shí)，只要余數(shù)相同，求總數(shù)；此題先明白韓信當(dāng)時(shí)看到的三次列隊(duì)，最后一行的士兵人數(shù)分別是2人，2人，4人．是說列成五列縱隊(duì)（每行五人）少3人，列成七列縱隊(duì)（每行七人）少3人，所以總?cè)藬?shù)應(yīng)該是5和7的公倍數(shù)少3人，只要找出在300﹣﹣400間的人數(shù)，再找符合先列成三列縱隊(duì)（每行三人）看到2人，所以總?cè)藬?shù)應(yīng)該是3的倍數(shù)多2人即可．解：由題意可知列成五列縱隊(duì)（每行五人）少3人，列成七列縱隊(duì)（每行七人）少3人，所以總?cè)藬?shù)應(yīng)該是5和7的公倍數(shù)少3人，先求出5和7的最小公倍數(shù)是5×7=35，且這隊(duì)士兵約在三百到四百人之間，就找公倍數(shù)在300﹣400之間的312、347、382，同理，又因?yàn)槌扇锌v隊(duì)（每行三人列）多2人，所以總?cè)藬?shù)應(yīng)該是3的倍數(shù)多2人，最終符合題意的是347．答：這隊(duì)士兵約有347人．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查公倍數(shù)問題，根據(jù)韓信當(dāng)時(shí)看到的三次列隊(duì)，最后一行的士兵人數(shù)分別是2人，2人，4人．可知列成五列縱隊(duì)（每行五人）少3人，列成七列縱隊(duì)（每行七人）少3人，所以總?cè)藬?shù)應(yīng)該是5和7的公倍數(shù)少3人，再求5和7的公倍數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．15．（1）將詳解（2）a與b的乘積等于它們最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積（3）60【分析】（1）根據(jù)：積＝因數(shù)×因數(shù)，求出乘積；將a和b分解因數(shù)，公有質(zhì)因數(shù)是最大公因數(shù)和公有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)乘積是最小公倍數(shù)；（2）將最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積與a和b的乘積進(jìn)行對(duì)比，從而得出規(guī)律；（3）根據(jù)得到的規(guī)律，進(jìn)行解答即可。【詳解】（1）a30781561b15131210913a與b的乘積45091961505413a與b的最大公因數(shù)1514531a與b的最小公倍數(shù)309124301813（2）a與b的乘積等于它們最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積；（3）300÷5＝60a與b的最小公倍數(shù)是60。【點(diǎn)睛】通過觀察表格，得出規(guī)律，兩個(gè)數(shù)的積＝最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)；再根據(jù)這個(gè)規(guī)律，進(jìn)行解答問題。
 

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