第五單元分?jǐn)?shù)的意義5.5 最大公因數(shù)【基礎(chǔ)鞏固】 一、選擇題1．淘氣買圓珠筆花了10元，笑笑買圓珠筆花了8元。如果他們買的圓珠筆的單價是一樣的，那么這種圓珠筆的單價最高是（   ）元。（淘氣和笑笑買圓珠筆的單價和數(shù)量都是整數(shù)）A．2 B．4 C．20 D．402．如果m＝9n（m和n都是不為0的整數(shù)），那么m和n的最大公因數(shù)是（   ）。A．m B．9 C．n D．mn3．兩根繩子分別長48dm和54dm，要將它們剪成同樣長的小段而沒有剩余，每小段最長（   ）。A．12dm B．6dm C．3dm D．2dm4．下面（   ）組的公因數(shù)只有1。A．21和14 B．54和42 C．3和39 D．26和275．兩根鐵絲的長分別為18米，12米，現(xiàn)在把它們截成相等的小段，且每一段必須最長，這樣共可截（   ）段。A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題6．有兩根竹竿，長度分別是16dm、20dm。要把它們截成同樣長的幾段，不許剩余，每段最長是(        )dm。7．18的因數(shù)是(        )，21的因數(shù)是(        )，它們的公因數(shù)是(        )。8．長24cm、36cm的兩根小棒，截成相等小段，正好截完，沒有剩余。每段最長(        )cm。9．互質(zhì)的兩個數(shù)的最大公因數(shù)是_____。10．男生有36人，女生有48人，各排一個方隊(duì)，要使每排人數(shù)相同，每排最多有(        )人。三、計算題11．求下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。6和10     18和24      34和17 【能力提升】四、解答題12．有三根小棒，分別長12cm，44cm，56cm。要把它們截成同樣長的小段，不許有剩余，每小段最長是多少厘米？一共可以截成多少段這樣的小段？  13．把兩根分別長32cm和40cm的木條截成同樣長的小段，每小段都要求是整厘米數(shù)，且沒有剩余。每小段木條最長是多少厘米？一共能剪多少段這么長的木條？  【拓展實(shí)踐】14．李明家買的房子帶一間地下室，地下室長24分米，寬12分米，高3米。（1）地下室的門面積是160平方分米，沒有窗戶，要粉刷這間地下室的墻壁和天花板，需要粉刷的面積是多少平方分米？（2）給地下室的地面鋪上防潮磚，為了美觀，全家人商量后確定使用的防潮磚必須都是整塊的，選擇下面哪種規(guī)格的防潮磚可以滿足他們的要求？請說明你的理由。規(guī)格一邊長是8分米規(guī)格二邊長是4分米規(guī)格三邊長是5分米   15．有一張長方形木板，長28分米，寬12分米，在無剩余的情況下，將它裁成大小相等且盡可能大的正方形，正方形的邊長是多少？一共可以裁成多少個？【分析與解答】①要使木板沒有剩余，那么正方形的邊長必須是28和12的（   ）。②要裁成大小相等且盡可能大的正方形，正方形的邊長必須是28和12的（   ）。③我是這樣解決的： 【回顧與反思】④下圖就是這塊長方形木板，我們試著用最大的正方形去畫一面，驗(yàn)一驗(yàn)。                        參考答案1．A【分析】淘氣買圓珠筆花了10元，笑笑買圓珠筆花了8元，因?yàn)樗麄冑I的圓珠筆的單價是一樣的，所以圓珠筆的單價是10、8的公因數(shù)；求這種圓珠筆的單價最高是多少元，就是求10、8的最大公因數(shù)。【詳解】10＝2×58＝2×2×2所以10、8的最大公因數(shù)是：2；因此這種圓珠筆的單價最高是2元。故答案為：A【點(diǎn)睛】此題需要學(xué)生掌握求最大公因數(shù)的方法并靈活運(yùn)用。2．C【分析】由m＝9n可知，m÷n＝9，則m是n的倍數(shù)，n是m的因數(shù)，m和n成倍數(shù)關(guān)系時，最大公因數(shù)是里面的較小數(shù)，據(jù)此解答。【詳解】假設(shè)m＝18，n＝2，18＝9×2，18和2的最大公因數(shù)是2，則m和n的最大公因數(shù)是n。故答案為：C【點(diǎn)睛】根據(jù)題意確定m和n成倍數(shù)關(guān)系是解答題目的關(guān)鍵。3．B【分析】每小段最長的分米數(shù)就是兩根繩子長度分米數(shù)的最大公因數(shù)，據(jù)此解答。【詳解】48＝2×2×2×2×354＝2×3×3×348和54的最大公因數(shù)是2×3＝6，所以每小段最長是6分米。故選擇：B【點(diǎn)睛】此題考查了最大公因數(shù)的相關(guān)應(yīng)用，求兩個數(shù)的最大公因數(shù)也就是兩個數(shù)公有因數(shù)的連乘積。4．D【分析】幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫作這幾個數(shù)的公因數(shù)，據(jù)此解答。【詳解】A． 21和14的公因數(shù)有：1、7；B． 54和42的公因數(shù)有：1、2、3、6；C． 3和39的公因數(shù)有：1、3；D． 26和27的公因數(shù)只有1。故選擇：D【點(diǎn)睛】此題考查了公因數(shù)的找法，一般用短除法。另外記住連續(xù)的自然數(shù)只有公因數(shù)1。5．C【分析】根據(jù)題干，要使每一段最長，那么每一段的長度應(yīng)是18和12的最大公因數(shù)，此題只要求出18和12的最大公因數(shù)，即可求得截得的段數(shù)，由此即可解得答案進(jìn)行選擇。【詳解】18＝2×3×3，12＝2×2×3，所以18和12的最大公因數(shù)是2×3＝6，即每一段最長為6米，共可截得：（18＋12）÷6＝30÷6＝5（段）故答案為：C。【點(diǎn)睛】根據(jù)題干，得出每段最長即是求這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是解決本題的關(guān)鍵。6．4【分析】分別把16dm和20dm兩個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，求出它們的最大公因數(shù)，就是每段最長的長度。【詳解】16＝2×2×2×220＝2×2×516和20的最大公因數(shù)是：2×2＝4。所以每段最長是4dm。【點(diǎn)睛】主要考查幾個數(shù)的最大公因數(shù)的求法，并用它解決實(shí)際問題。7．1、2、3、6、9、18     1、3，7、21     1、3【分析】一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身；兩個數(shù)公有的因數(shù)叫做它們的公因數(shù)。據(jù)此解答即可。【詳解】18的因數(shù)有：1、2、3、6、9、18；21的因數(shù)有：1、3，7、21；18和21的公因數(shù)有：1、3。【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解因數(shù)、公因數(shù)的意義，掌握求一個數(shù)的因數(shù)的方法、求兩個數(shù)的公因數(shù)的方法及應(yīng)用。8．12【分析】分別把24和36兩個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，求出它們的最大公因數(shù)，就是每根小棒最長厘米數(shù)。【詳解】24＝2×2×2×336＝2×2×3×3所以24和36的最大公因數(shù)是2×2×3＝12，所以每段最長12cm。【點(diǎn)睛】主要考查幾個數(shù)的最大公因數(shù)的求法，并用它解決實(shí)際問題。9．1【詳解】兩個數(shù)互質(zhì)，它們的最大公因數(shù)是1。10．12【分析】要使每排的人數(shù)最多，那么每排的人數(shù)就是男生、女生人數(shù)的最大公因數(shù)，據(jù)此解答。【詳解】36＝2×2×3×3；48＝2×2×2×2×3所以36和48的最大公因數(shù)是2×2×3＝12，每排最多有12人。【點(diǎn)睛】此題考查了最大公因數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，把兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連乘即可。11．2；6；17【分析】根據(jù)求兩個數(shù)最大公因數(shù)也就是這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積；當(dāng)兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，較小的數(shù)是它們的最大公因數(shù)；當(dāng)兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)時，最大公因數(shù)是1，據(jù)此解答即可。【詳解】10＝2×56＝2×3所以6和10的最大因數(shù)是2；18和2418＝2×3×324＝2×2×2×3所以18和24的最大公因數(shù)是6；34和1717和34是倍數(shù)關(guān)系，所以34和17的最大公因數(shù)是17。12．4厘米；28段【分析】每小段最長的厘米數(shù)就是三根小棒厘米數(shù)的最大公因數(shù)，一共可以截成的段數(shù)＝三根小棒的總長度÷每小段的長度即可。【詳解】12＝2×2×344＝2×2×1156＝2×2×2×712、44、56的最大公因數(shù)是2×2＝4（12＋44＋56）÷4＝112÷4＝28（段）答：每小段最長是4厘米，一共可以截成28段這樣的小段。【點(diǎn)睛】此題考查了最大公因數(shù)的應(yīng)用，其最大公因數(shù)就是把這幾個數(shù)公有的因數(shù)連乘即可。13．木條最長8厘米；一共能剪9段【分析】根據(jù)題意，可計算出32與40的最大公因數(shù)，即是每小段木條的最長厘米數(shù)，然后再用40除以最大公因數(shù)加上32除以最大公因數(shù)的商，即是一共能剪木條的段數(shù)，列式解答即可得到答案。【詳解】32＝2×2×2×440＝2×2×2×532和40的最大公因數(shù)是2×2×2＝8所以每段最長8厘米32÷8＋40÷8＝4＋5＝9（段）答：每小段木條最長是8厘米；一共可以剪成9段這么長的木條。【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是利用求最大公因數(shù)的方法計算出每小段的最長，然后再計算每根木條可以截成的段數(shù)，再相加即可。14．（1）2288平方分米；（2）見詳解【分析】（1）求粉刷的面積，實(shí)際上求長方體4個側(cè)面和1個上底面的面積之和，根據(jù)長方體的表面積公式：S＝ab＋2ah＋2bh，求出總面積，再減去地下室的門面積，即是需要粉刷的面積；（2）根據(jù)題意，要使用的防潮磚正好鋪滿，也就是防潮磚的邊長必須是長和寬的因數(shù)，根據(jù)求公因數(shù)的方法解答即可。【詳解】（1）3米＝30分米24×12＋24×30×2＋12×30×2－160＝288＋1440＋720－160＝2448－160＝2288（平方分米）答：需要粉刷的面積是2288平方分米。（2）24的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、24?12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12?所以24和12的公因數(shù)有1、2、3、4、5、6、12?答：選擇邊長是4分米的防潮磚可以滿足他們的要求，理由是防潮磚的邊長必須是24和12的公因數(shù)。【點(diǎn)睛】此題主要考查長方體表面積公式的靈活運(yùn)用，求兩個數(shù)的公因數(shù)的方法及應(yīng)用。15．①公因數(shù)；②最大公因數(shù)；③見詳解；④見詳解。【分析】①要使木板沒有剩余，正方形的邊長一定是28的因數(shù)，又是12的因數(shù)，所以正方形的邊長必須是28和12的公因數(shù)；②要裁成大小相等且盡可能大的正方形，正方形的邊長必須是28和12的最大公因數(shù)；③利用短除法求出28和12的最大公因數(shù)為2×2＝4（分米），分別用28和12除以最大公因數(shù)，得到的兩個數(shù)相乘，即可求出一共可以裁成的數(shù)量。④根據(jù)前面求出的最大公因數(shù)，可知正方形的邊長是4分米，根據(jù)裁成的數(shù)量和正方形的邊長完成作圖。【詳解】①要使木板沒有剩余，那么正方形的邊長必須是28和12的公因數(shù)；②要裁成大小相等且盡可能大的正方形，正方形的邊長必須是28和12的最大公因數(shù)；③我是這樣解決的： 28和12的最大公因數(shù)是2×2＝4。即正方形的邊長是4分米。（28÷4）×（12÷4）＝7×3＝21（個）答：正方形的邊長是4分米，一共可以裁成21個。④作圖如下：【點(diǎn)睛】本題主要考查最大公因數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解最大正方形的邊長的值等于28和12的最大公因數(shù)。
 

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