寧寧在商場看中了一塊方形紗巾，但不知是否是正方形，只見銷售員阿姨拉起紗巾的一組對角能完全重合，看寧寧還在猶豫，又拉起紗巾的另一組對角，只見另一組對角也能完全重合，銷售員阿姨認為是正方形，把紗巾給了寧寧．你認為寧寧看中的紗巾一定是正方形嗎？
探究1：探索正方形的判定條件
將一長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開，怎樣剪才能剪出一個正方形？
答：剪下一個等腰直角三角形．
判定一個四邊形是正方形的基本方法：
1.直接用正方形的定義判定，即先判定四邊形是平行四邊形，若這個平行四邊形有一個角是直角，并且有一組鄰邊相等，那么就可以判定這個平行四邊形是正方形；2.先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱形，那么這個四邊形是正方形；3.先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形，那么這個四邊形是正方形．
定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，試證明，ABCD 是正方形.
證明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°，又∵AB = BC，∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
定理：對角線互相垂直的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，試證明，ABCD 是正方形.
證明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD又∵AC ⊥ BD，∴△AOB ≌△AOD（SAS）∴AB = AD∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
定理：有一個角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，試證明，ABCD 是正方形.
證明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，又∵∠A = 90° ，∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
定理：對角線相等的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， AC = BD，試證明，ABCD 是正方形.
證明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD∴AC⊥BD（菱形對角線互相垂直）又∵AC = BD ，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC = 90°.∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
探究2：正方形判定方法的應(yīng)用
判斷下列命題是真命題還是假命題，并說明理由．(1)四條邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形；(2)四個角相等且對角線互相垂直的四邊形是正方形；(3)對角線互相垂直平分的四邊形是正方形；(4)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；(5)對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．
方法一：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以是矩形又是菱形的四邊形是正方形．方法二：由對角線互相垂直平分可知是菱形，由對角線互相平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四邊形就是正方形．
如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求證：四邊形BECF是正方形．
【方法指導(dǎo)】平行四邊形→矩形→正方形．
證明：∵ BF∥CE, CF∥BE,∴ 四邊形BECF是平行四邊形,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC＝90°, ∠DCB＝90°,又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB ,∴∠EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45°,∴ ∠EBC=ECB, ∴EB=EC,∴□BECF是菱形（菱形的定義）,∵△EBC中∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）.
如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).(1)求證：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝90°，求證：四邊形DFAE是正方形．
【方法指導(dǎo)】(1)用AAS證明△BED≌△CFD；(2)先證明是矩形，再用鄰邊相等的矩形判定正方形．
證明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD.∵D為BC邊的中點，∴BD＝CD.∴△BED≌△CFD(AAS)；(2)∵∠A＝90°，DE⊥AB，DF⊥AC，∴四邊形DFAE是矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF.∴四邊形DFAE是正方形．
證明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC ， ∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵ ∠C=90 °， ∴四邊形CEDF是矩形. 過點D作DG⊥AB，垂足為G. ∵AD是∠CAB的平分線, DE⊥AC，DG⊥AB， ∴ DE=DG. 同理得DG=DF， ∴ED=DF， ∴四邊形CEDF是正方形.
如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D．DE⊥AC，DF⊥AB．求證：四邊形CEDF為正方形．
1.下列選項中不能判定四邊形ABCD是正方形（對角線相交于點O）的是 ( 　 　)A．AB CD，AB＝AD，∠A＝90°B．AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°C．∠A＝∠B＝∠C＝90°，AC＝BDD．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD
2．若一個正方形的一條對角線長為4，則這個正方形的面積是_____．3．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若BE＝4，則S四邊形ABCD＝______．
4. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為∠ACB的平分線，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F.求證：四邊形CEDF是正方形．
證明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°. 又∵∠ACB＝90°， ∴四邊形CEDF是矩形． ∴矩形CEDF是正方形．
5. 如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．(1)請判斷四邊形EFGH的形狀，并說明為什么？(2)若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形ABCD的對角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？
解：(1)四邊形EFGH是平行四邊形．理由是：連BD，EH、FG分別是△ABD和△CBD的中位線，∴EH∥BD∥FG，EH＝ BD＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；(2)四邊形ABCD的對角線垂直且相等．
6. 如圖，在四邊形ABCD中, AB=BC ,對角線BD平分?ABC , P是BD上一點,過點P作PM?AD , PN?CD ,垂足分別為M、N.(1) 求證：?ADB=?CDB；(2) 若?ADC=90?,求證：四邊形MPND是正方形.
證明：(1)∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. 又∵BD = BD ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB.
（2）∵∠ADC=90°; 又∵PM⊥AD, PN⊥CD; ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四邊形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB; ∴DB平分∠ADC. 又∵∠PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN. ∴四邊形NPMD是正方形.

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3 正方形的性質(zhì)與判定

版本： 北師大版

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