3.2.4　雙曲線專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題(共8小題)1．已知A，B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，則炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡是(　　)A．橢圓 B．雙曲線C．雙曲線的一支 D．圓【答案】C【解析】設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)為點(diǎn)P，則|PA|－|PB|＝2×340＝680＜800，∴點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支．故選C．2．平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F1(－5,0)和F2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PF1|－|PF2|＝6，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是(　　)A．－＝1(x≤－4) B．－＝1(x≤－3)C．－＝1(x≥4) D．－＝1(x≥3)【答案】D【解析】由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|知，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F2為焦點(diǎn)的雙曲線右支，得c＝5,2a＝6，∴a＝3，∴b2＝16，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是－＝1(x≥3)．故選D．3．“m＜2”是“方程＋＝1表示雙曲線”的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)＋＝1為雙曲線時(shí)，(m＋1)(m－2)＜0，∴－1＜m＜2，由(－1,2)(－∞，2)，可知選B．4．已知P是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)左支上的一點(diǎn)，C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，且|PF2|＝18，C的實(shí)軸長(zhǎng)為12，則|PF1|＝(　　)A．6 B．8C．10 D．12【答案】A【解析】因?yàn)?/span>P在雙曲線C：－＝1的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝2a＝12，又因?yàn)閨PF2|＝18，所以|PF1|＝18－12＝6．故選A．5．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線y＝2x垂直，則雙曲線C的離心率為(　　)A． B．2C． D．或【答案】C【解析】由雙曲線的方程可得漸近線的方程為y＝±x，因?yàn)橐粭l漸近線與直線y＝2x垂直，所以－＝－，可得＝，所以＝，解得e＝＝．故選C．6．許多建筑融入了數(shù)學(xué)元素，更具神韻，數(shù)學(xué)賦予了建筑活力，數(shù)學(xué)的美也被建筑表現(xiàn)得淋漓盡致．已知圖1是單葉雙曲面(由雙曲線繞虛軸旋轉(zhuǎn)形成立體圖形)型建筑，圖2是其中截面最細(xì)附近處的部分圖象，上、下底面與地面平行．現(xiàn)測(cè)得下底直徑AB＝20米，上底直徑CD＝20米，AB與CD間的距離為80米，與上、下底面等距離的G處的直徑等于CD，則最細(xì)部分處的直徑為(　　)A．10米 B．20米C．10米 D．10米【答案】B【解析】建立如圖的坐標(biāo)系，由題意可知D(10，20)，B(10，－60)，設(shè)雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，∴解得a2＝100，b2＝400，|EF|＝2a＝20．故選B．7．如果雙曲線－＝1的離心率為，我們稱該雙曲線為黃金分割雙曲線，簡(jiǎn)稱為黃金雙曲線．現(xiàn)有一黃金雙曲線C：－＝1(b＞0)，則該黃金雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為(　　)A．2 B．4C． D．2【答案】D【解析】由題意可得＝＝1＋＝2，解得b2＝2，即b＝，故黃金雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為2b＝2．故選D．8．已知左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2的雙曲線C：－＝1(a＞0)上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離為6，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為PF1的中點(diǎn)，若|OM|＝5，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)A．y＝±4x B．y＝±2xC．y＝±x D．y＝±x【答案】B【解析】如圖，若點(diǎn)P在雙曲線左支上，∵點(diǎn)M為PF1的中點(diǎn)，∴OM是△F1F2P的中位線，則|PF2|＝2|OM|＝10，∵2a＝|PF2|－|PF1|＝10－6＝4，∴a＝2，則雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±2x；若點(diǎn)P在雙曲線右支上，∵點(diǎn)M為PF1的中點(diǎn)，∴OM是△F1F2P的中位線，則|PF2|＝2|OM|＝10,2a＝|PF1|－|PF2|＝6－10＝－4不成立．故選B．二、多選題(共2小題)9．已知雙曲線C：－＝1，則下列說法正確的是(　　)A．漸近線方程為y＝±x B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2，0)C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±2，0) D．實(shí)軸長(zhǎng)為2【答案】BC【解析】對(duì)于雙曲線C：－＝1，可知a＝2，b＝2，所以c＝2，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x＝±x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±2，0)，實(shí)軸長(zhǎng)為4，因此A，D錯(cuò)誤，B，C正確．故選BC．10．已知F1，F2分別是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線左支上存在一點(diǎn)P，使PF＝8a·PF1成立，則此雙曲線的離心率e的取值可能是(　　)A． B．2C． D．5【答案】ABC【解析】∵P為雙曲線左支上一點(diǎn)，∴|PF1|－|PF2|＝－2a，∴|PF2|＝|PF1|＋2a①，又∵|PF|＝8a·|PF1|②，∴由①②可得|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即2a＋4a≥2c，∴e＝≤3③，又∵e＞1④，由③④可得1＜e≤3．故選ABC．三、填空題(共4小題)11．若焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C：－＝1的焦距為4，則m的值為________．【答案】12【解析】由題意可得c2＝(2)2＝16＋m，∴m＝12．12．雙曲線x2－＝1(m＞0)的離心率為2，則m＝________．【答案】3【解析】雙曲線x2－＝1(m＞0)的離心率為2，則a2＝1，b2＝m，所以可得c2＝a2＋b2＝1＋m，所以可得e＝＝＝2，解得m＝3．13．設(shè)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過點(diǎn)F作x軸的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為________．【答案】±1【解析】不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，則A1(－a,0)，B，A2(a,0)，C，所以＝，＝．因?yàn)?/span>A1B⊥A2C，所以·＝0，所以c2－a2－＝0，又因?yàn)?/span>c2＝a2＋b2，所以整理得＝1，所以該雙曲線漸近線的斜率k＝±＝±1．14．設(shè)直線y＝x與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)相交于A，B兩點(diǎn)，P為C上不同于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，若C的離心率為2，則k1·k2＝________．【答案】3【解析】∵C的離心率為2＝，且c2＝a2＋b2，∴c＝2a，b＝a，聯(lián)立解得或不妨取A，B，設(shè)P(m，n)，則－＝1，即3m2－n2＝3a2，∴k1·k2＝·＝＝＝＝＝3．四、解答題(共2小題)15．已知點(diǎn)(3,1)在雙曲線C：x2－y2＝a2(a＞0)上．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求雙曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A(8,0)的距離的最小值．解：(1)把點(diǎn)(3,1)代入雙曲線C：x2－y2＝a2中，有9－1＝a2，解得a＝±2，∵a＞0，∴a＝2．(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，n)，則m2－n2＝8，且m≤－2或m≥2，|PA|2＝(m－8)2＋n2＝(m－8)2＋m2－8＝2m2－16m＋56＝2(m－4)2＋24，當(dāng)m＝4時(shí)，|PA|2取得最小值為24，∴|PA|的最小值為2．16．若直線l：y＝－過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且與雙曲線的一條漸近線平行．(1)求雙曲線的方程；(2)若過點(diǎn)B(0，b)且與x軸不平行的直線和雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)M，N，MN的垂直平分線為m，求直線m與y軸上的截距的取值范圍．解：(1)直線l：y＝－過x軸上一點(diǎn)(2,0)，由題意可得c＝2，即a2＋b2＝4．雙曲線的漸近線方程為y＝±x，由兩直線平行的條件可得＝，解得a＝，b＝1，所以雙曲線的方程為－y2＝1．(2)設(shè)直線y＝kx＋1(k≠0)，代入－y2＝1可得(1－3k2)x2－6kx－6＝0．設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝，MN中點(diǎn)為，可得MN的垂直平分線方程為y－＝－．令x＝0，可得y＝．由Δ＝36k2＋24(1－3k2)＞0，得3k2＜2．又因?yàn)?/span>＜0，得3k2＜1．綜上可得0＜3k2＜1，即有的范圍是(4，＋∞)，可得直線m與y軸上的截距的取值范圍為(4，＋∞)．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

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