第三章　3.3　3.3.2A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．我們把過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦做叫通徑．拋物線x2＝－8y的通徑為線段AB，則AB的長是(　　)A．2 B．4C．8 D．1【答案】C【解析】由題意得|AB|＝2p＝8．2．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　)A．6 B．8C．9 D．10【答案】B【解析】由題意得p＝2，故拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－1，因為過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，所以|AB|＝x1＋x2＋2．又因為x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝8．3．已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，點(diǎn)P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為(　　)A．18 B．24C．36 D．48【答案】C【解析】不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p＞0)，由于l垂直于對稱軸且過焦點(diǎn)，故直線l的方程為x＝，代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又因為|AB|＝12，故p＝6，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36．4．(2021年安慶模擬)設(shè)拋物線y2＝2x與過焦點(diǎn)的直線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·的值是(　　)A． B．－C．3 D．－3【答案】B【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，設(shè)直線AB的方程為x＝ty＋，由得y2－2ty－1＝0，所以y1y2＝－1．又因為x1＝，x2＝，所以x1x2＝＝．所以·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－1＝－．5．若拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的一個焦點(diǎn)，則p＝(　　)A．1 B．C．2 D．3【答案】C【解析】雙曲線x2－y2＝1的左焦點(diǎn)為(－，0)，故拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－，所以＝，所以p＝2．6．已知過拋物線y2＝6x焦點(diǎn)的弦長為12，則該弦所在直線的傾斜角是(　　)A．或 B．或C．或 D．【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)為．由題意知弦所在直線的斜率存在．設(shè)直線方程為y＝k，與方程y2＝6x聯(lián)立得4k2x2－(12k2＋24)x＋9k2＝0．設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝．所以x1＋x2＋3＝＋3＝12．所以k2＝1，所以k＝±1．故弦所在直線的傾斜角是或．7．(多選)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，則拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可以是(　　)A．2 B．3C．4 D．5【答案】BCD【解析】因為拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，所以＝3，即p＝6．又因為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的最小值為，所以拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的取值范圍為[3，＋∞)．8．已知過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AF|＝2，則|BF|＝________．【答案】2【解析】因為y2＝4x，所以p＝2，F(1,0)．又因為|AF|＝2，所以xA＋＝2，所以xA＋1＝2，所以xA＝1．故AB⊥x軸，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，所以|BF|＝|AF|＝2．9．過拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，A，B在x軸上的正射影分別為D，C．若梯形ABCD的面積為12，則p＝________．【答案】2【解析】依題意，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y－＝x，代入拋物線方程得y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p．直角梯形ABCD有一個內(nèi)角為45°．故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p，梯形面積為(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p＝3p2＝12，解得p＝2．10．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點(diǎn)，且與雙曲線實(shí)軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個交點(diǎn)為A，求拋物線與雙曲線的方程．解：由題意知，拋物線焦點(diǎn)在x軸上，開口方向向右，可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，將交點(diǎn)A代入得p＝2，故拋物線方程為y2＝4x．因為雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－1,0)和F2(1,0)，且c＝1．又因為點(diǎn)A也在雙曲線上，因此由定義可得2a＝|AF1|－|AF2|＝－＝－＝1，所以a＝，b＝＝，故雙曲線的方程為4x2－＝1．B級——能力提升練11．(多選)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過點(diǎn)A作AB垂直于y軸，垂足為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作MN⊥FA，垂足為N，則(　　)A．p＝2 B．點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,4)C．點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,4) D．點(diǎn)N的坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，A正確；拋物線方程為y2＝4x，將x＝4代入，解得y＝±4，∴A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)，B正確，C錯誤；∵F(1,0)，∴kFA＝，∵MN⊥FA，∴kMN＝－，∴FA的方程為y＝(x－1)①，MN的方程為y－2＝－x②，聯(lián)立①②，解得x＝，y＝，∴N，D正確．12．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為(　　)A． B．C． D．【答案】D【解析】易知拋物線中p＝，焦點(diǎn)F，直線AB的斜率k＝，故直線AB的方程為y＝，代入拋物線方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝．由拋物線的定義可得弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，結(jié)合圖象可得點(diǎn)O到直線AB的距離d＝·sin30°＝，所以△OAB的面積S＝|AB|·d＝．13．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若·＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________．【答案】(1,2)或(1，－2)【解析】因為拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)A，則＝，＝，由·＝－4，得y0＝±2，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)或(1，－2)．14．拋物線x2＝y的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為________；若直線l經(jīng)過點(diǎn)F，且與拋物線x2＝y相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB長的最小值為__________．【答案】　1【解析】拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，其準(zhǔn)線方程為y＝－，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋．當(dāng)k＝0時，y1＝y4＝，此時|AB|＝y1＋y2＋p＝＋＋＝1；當(dāng)k≠0時，由y＝kx＋，得x＝，與x2＝y聯(lián)立，化簡得(k2－1)y2＋y－＝0，所以y1＋y2＝＞，此時|AB|＝y1＋y2＋p＞1，所以|AB|min＝1．15．正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y2＝2px(p＞0)上，求這個正三角形的邊長．解：如圖，設(shè)正三角形OAB的頂點(diǎn)A，B在拋物線上，且坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y＝2px1，y＝2px2．又因為OA＝OB，所以x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．因為x1＞0，x2＞0,2p＞0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即線段AB關(guān)于x軸對稱．由此得∠AOx＝30°，所以y1＝x1與y＝2px1聯(lián)立，解得y1＝2p．所以|AB|＝2y1＝4p，即三角形的邊長為4p．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

3.3 拋物線

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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