第三章　3.3　3.3.3A級(jí)——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．過(guò)點(diǎn)P(0,1)與拋物線(xiàn)y2＝x有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)有(　　)A．4條 B．3條C．2條 D．1條【答案】B【解析】當(dāng)直線(xiàn)垂直于x軸時(shí)，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有1條；當(dāng)直線(xiàn)不垂直于x軸時(shí)，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有2條．2．與直線(xiàn)2x－y＋4＝0平行的拋物線(xiàn)y＝x2的切線(xiàn)方程為(　　)A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0【答案】D【解析】設(shè)切線(xiàn)方程為2x－y＋m＝0，與y＝x2聯(lián)立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即切線(xiàn)方程為2x－y－1＝0．3．已知拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F，該拋物線(xiàn)上點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則|PF|＝(　　)A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】拋物線(xiàn)y2＝4x的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－1，因?yàn)辄c(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2，所以|PF|＝2＋1＝3．4．已知直線(xiàn)y＝k(x＋2)(k＞0)與拋物線(xiàn)C：y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，F為C的焦點(diǎn)，若|FA|＝2|FB|，則k＝(　　)A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1＞0，x2＞0，y1＞0，y2＞0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4①．因?yàn)閨FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2②．由①②，得x2＝1或x2＝－2(舍去)，所以B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝．5．拋物線(xiàn)x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠AFB＝60°，過(guò)弦AB的中點(diǎn)C作該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)CD，垂足為D，則的最小值為(　　)A． B．1C． D．2【答案】B【解析】如圖，設(shè)|AF|＝a，|BF|＝b，由拋物線(xiàn)定義，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|．所以在梯形ABPQ中，2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b．由余弦定理，得|AB|2＝a2＋b2－2abcos60°＝a2＋b2－ab，配方，得|AB|2＝(a＋b)2－3ab．又因?yàn)?/span>ab≤2，所以(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，得到|AB|≥(a＋b)＝|CD|．所以≥1，即的最小值為1．6．經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，如果A，B在拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為A1，B1，那么∠A1FB1等于(　　)A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，由拋物線(xiàn)定義可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F．又因?yàn)?/span>∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝×π＝，即∠A1FB1＝．7．(多選)下列直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(－3,2)，且與拋物線(xiàn)y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的是(　　)A．x＝－3 B．y＝2C．x－3y＋9＝0 D．x＋y＋1＝0【答案】BCD【解析】顯然，直線(xiàn)斜率k存在，設(shè)其方程為y－2＝k(x＋3)，由得ky2－4y＋8＋12k＝0①．當(dāng)k＝0時(shí)，方程①化為－4y＋8＝0，即y＝2，此時(shí)過(guò)(－3,2)的直線(xiàn)方程為y＝2，滿(mǎn)足條件．當(dāng)k≠0時(shí)，方程①應(yīng)有兩個(gè)相等實(shí)根，由即得k＝或k＝－1，所以直線(xiàn)方程為y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0．故選BCD．8．拋物線(xiàn)y2＝8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，若|PF|＝5，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】(3,2)或(3，－2)【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，∵|PF|＝5，∴2＋x＝5，∴x＝3．把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，∴y＝±2．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，±2)．9．已知在拋物線(xiàn)y＝x2上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N關(guān)于直線(xiàn)y＝kx＋對(duì)稱(chēng)，則k的取值范圍為_(kāi)_______________．【答案】∪【解析】設(shè)M(x1，x)，N(x2，x)，兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y＝kx＋對(duì)稱(chēng)，顯然k＝0時(shí)不成立，所以＝－，即x1＋x2＝－．設(shè)MN的中點(diǎn)為P(x0，y0)，則x0＝－，y0＝k×＋＝4．又中點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y＝x2內(nèi)，所以4＞2，即k2＞，所以k＞或k＜－．10．已知拋物線(xiàn)y2＝2px(1＜p＜3)的焦點(diǎn)為F，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M(x0,1)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為．(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線(xiàn)MF與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn)為N，求的值．解：(1)由題意知消去x0得2p2－5p＋2＝0，因?yàn)?＜p＜3，解得p＝2，所以x0＝，所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x．(2)因?yàn)?/span>F(1,0)，M，所以kMF＝－，直線(xiàn)MF的方程為4x＋3y－4＝0．聯(lián)立方程得方程組消去x得y2＋3y－4＝0，解得y＝－4或1，將y＝－4代入y2＝4x，解得x＝4，則|MF|＝＋1＝，|NF|＝4＋1＝5，所以＝＝．B級(jí)——能力提升練11．(多選)已知直線(xiàn)l：y＝k(x＋1)，拋物線(xiàn)C：y2＝4x，則下列說(shuō)法正確的是(　　)A．當(dāng)k∈(－1,0)∪(0,1)時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)交點(diǎn)B．當(dāng)k＝0時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有一個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)k＝±1時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有一個(gè)交點(diǎn)D．當(dāng)k＞1或k＜－1時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C無(wú)交點(diǎn)【答案】ABCD【解析】由方程組消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，記Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．①若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，則k2≠0且Δ＞0，即k2≠0，且16(1－k2)＞0，解得k∈(－1,0)∪(0,1)，所以當(dāng)k∈(－1,0)∪(0,1)時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)交點(diǎn)．②若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)，則k2＝0或k2≠0時(shí)，Δ＝0，解得k＝0或k＝±1，所以當(dāng)k＝0或k＝±1時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有一個(gè)交點(diǎn)．③若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)，則k2≠0且Δ＜0，解得k＞1或k＜－1，所以當(dāng)k＞1或k＜－1時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C無(wú)交點(diǎn)．A，B，C，D全選．12．若拋物線(xiàn)y2＝x上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線(xiàn)y＝x＋m對(duì)稱(chēng)，且y1y2＝－，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)A．－ B．C．1 D．－1【答案】A【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y2＝x上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線(xiàn)y＝x＋m對(duì)稱(chēng)，所以＝－1，所以＝－1，所以y1＋y2＝－1．因?yàn)?/span>y1y2＝－，所以x1＋x2＝y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝2，所以?xún)牲c(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入y＝x＋m，可得m＝－．13．已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線(xiàn)C：y2＝4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________．【答案】2【解析】由拋物線(xiàn)的方程y2＝4x可知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，所以直線(xiàn)AB的方程為y＝k(x－1)．由得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝1．因?yàn)?/span>∠AMB＝90°，所以·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2＝(1－k－k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0，整理可解得k＝2．14．已知拋物線(xiàn)C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l：y＝kx＋b(k≠0)與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，且|AF|＋|BF|＝6，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(0,4)，則拋物線(xiàn)C的方程是______；若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F，則k＝______．【答案】x2＝4y　±【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線(xiàn)的焦半徑公式可得|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，則|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝6，即y1＋y2＝6－p．因?yàn)辄c(diǎn)M(0,4)在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，所以|MA|＝|MB|，則x＋(y1－4)2＝x＋(y2－4)2．因?yàn)?/span>x＝2py1，x＝2py2，所以(y1－y2)(y1＋y2＋2p－8)＝0．因?yàn)?/span>y1≠y2，所以y1＋y2＝8－2p，則8－2p＝6－p，解得p＝2，故拋物線(xiàn)C的方程是x2＝4y．因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F，所以直線(xiàn)l的方程是y＝kx＋1，聯(lián)立整理得x2－4kx－4＝0，則x1＋x2＝4k，從而y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2．因?yàn)?/span>y1＋y2＝6－p＝4，所以4k2＋2＝4，解得k＝±．15．已知過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9．(1)求該拋物線(xiàn)的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若＝＋λ，求λ的值．解：(1)直線(xiàn)AB的方程是y＝2，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝．由拋物線(xiàn)定義，得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，從而拋物線(xiàn)方程是y2＝8x．(2)由于p＝4，則4x2－5px＋p2＝0即x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，從而A(1，－2)，B(4,4)．設(shè)C(x3，y3)，則＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又因?yàn)?/span>y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

3.3 拋物線(xiàn)

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