1．直線l過點( eq \r(2)，0)且與雙曲線x2－y2＝2僅有一個公共點，則這樣的直線有( )
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】C 【解析】點( eq \r(2)，0)即為雙曲線的右頂點，過該點有兩條與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線僅有一個公共點，另過該點且與x軸垂直的直線也與雙曲線只有一個公共點，故這樣的直線只有3條．
2．已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(3，0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(－12，－15)，則雙曲線E的方程為( )
A． eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,6)＝1 B． eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1
C． eq \f(x2,6)－ eq \f(y2,3)＝1 D． eq \f(x2,5)－ eq \f(y2,4)＝1
【答案】B 【解析】由c＝3，設雙曲線方程為 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,9－a2)＝1，kAB＝ eq \f(0＋15,3＋12)＝1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 eq \f(x12,a2)－ eq \f(y12,9－a2)＝1①， eq \f(x22,a2)－ eq \f(y22,9－a2)＝1②，由①－②，得 eq \f((x1＋x2)(x1－x2),a2)－ eq \f((y1＋y2)(y1－y2),9－a2)＝0.又因為N(－12，－15)為AB中點，所以x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30.所以 eq \f(－24(x1－x2),a2)＝ eq \f(－30(y1－y2),9－a2).所以 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝ eq \f(4(9－a2),5a2)＝1.所以a2＝4.所以雙曲線方程為 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1.
3．若直線y＝kx與雙曲線 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,4)＝1相交，則k的取值范圍為( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3)))B．(－1，1)
C．(－2，2) D．(－ eq \f(\r(2),3)， eq \f(\r(2),3))
【答案】A 【解析】雙曲線 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,4)＝1的漸近線方程為y＝± eq \f(2,3)x，若直線與雙曲線相交，數(shù)形結(jié)合，得k∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3))).
4．設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則雙曲線C的離心率為( )
A． eq \r(2)B． eq \r(3)C．2 D．3
【答案】B 【解析】由題意不妨設l：x＝－c，則|AB|＝ eq \f(2b2,a)，又因為|AB|＝2×2a，故b2＝2a2，所以e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝ eq \r(1＋2)＝ eq \r(3).
5．已知直線l：y＝ eq \f(\r(3),3)x與雙曲線C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支交于點M，OM(O是坐標原點)的垂直平分線經(jīng)過C的右焦點，則雙曲線C的離心率為( )
A． eq \f(\r(7)＋1,2)B． eq \r(3)＋1
C． eq \f(\r(7)＋1,3)D． eq \f(\r(3)＋1,2)
【答案】C 【解析】如圖，依題意可得∠MOF＝∠OMF＝30°，OF＝MF＝c，所以M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)c，\f(\r(3),2)c))，所以 eq \f(9c2,4a2)－ eq \f(3c2,4b2)＝1，結(jié)合c2＝a2＋b2，可得9c4－16a2c2＋4a4＝0，所以9e4－16e2＋4＝0，解得e2＝ eq \f(8＋2\r(7),9)，則e＝ eq \f(\r(7)＋1,3).
6．已知雙曲線 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線的離心率e的最大值為( )
A． eq \f(3,2)B． eq \f(4,3)C． eq \f(5,3)D．2
【答案】C 【解析】由雙曲線定義知|PF1|－|PF2|＝2a，又已知|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝ eq \f(8,3)a，|PF2|＝ eq \f(2,3)a，在△PF1F2中，由余弦定理，得cs ∠F1PF2＝ eq \f(\f(64,9)a2＋\f(4,9)a2－4c2,2·\f(8,3)a·\f(2,3)a)＝ eq \f(17,8)－ eq \f(9,8)e2，要求e的最大值，即求cs ∠F1PF2的最小值，因為cs ∠F1PF2≥－1，所以cs ∠F1PF2＝ eq \f(17,8)－ eq \f(9,8)e2≥－1，解得e≤ eq \f(5,3)，即e的最大值為 eq \f(5,3).
7．(多選)已知橢圓C1： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e1，橢圓C1的上頂點為M，且 eq \(MF1,\s\up6(→))· eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，雙曲線C2和橢圓C1有相同焦點，且雙曲線C2的離心率為e2，P為曲線C1與C2的一個公共點．若∠F1PF2＝ eq \f(π,3)，則下列結(jié)論正確的是( )
A． eq \f(e2,e1)＝2 B．e1e2＝ eq \f(\r(3),2)
C．e12＋e22＝ eq \f(5,2)D．e22－e12＝1
【答案】BD 【解析】因為 eq \(MF1,\s\up6(→))· eq \(MF2,\s\up6(→))＝0且| eq \(MF1,\s\up6(→))|＝| eq \(MF2,\s\up6(→))|，所以△MF1F2為等腰直角三角形．設橢圓的半焦距為c，則c＝b＝ eq \f(\r(2),2)a，所以e1＝ eq \f(\r(2),2).在焦點三角形PF1F2中，∠F1PF2＝ eq \f(π,3)，設|PF1|＝x，|PF2|＝y(tǒng)，雙曲線C2的實半軸長為a′，則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－xy＝4c2，,x＋y＝2\r(2)c，,|x－y|＝2a′，))故xy＝ eq \f(4,3)c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝ eq \f(8c2,3)，所以(a′)2＝ eq \f(2c2,3)，即e2＝ eq \f(\r(6),2)，故 eq \f(e2,e1)＝ eq \r(3)，e1e2＝ eq \f(\r(3),2)，e12＋e22＝2，e22－e12＝1.故選BD.
8．已知直線l：x－y＋m＝0與雙曲線x2－ eq \f(y2,2)＝1交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓x2＋y2＝5上，則m的值是________．
【答案】±1 【解析】由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋m＝0，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y得x2－2mx－m2－2＝0，Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以線段AB的中點坐標為(m，2m).又因為點(m，2m)在圓x2＋y2＝5上，所以5m2＝5，所以m＝±1.
9．已知F是雙曲線C：x2－ eq \f(y2,8)＝1的右焦點，P是C左支上一點，A(0，6 eq \r(6))，當△APF的周長最小時，該三角形的面積為________．
【答案】12 eq \r(6) 【解析】由已知a＝1，b＝2 eq \r(2)，c＝3，所以F(3，0)，F(xiàn)′(－3，0).又因為A(0，6 eq \r(6))，所以|AF|＝ eq \r(32＋(6\r(6))2)＝15，△APF周長l＝|PA|＋|PF|＋|AF|.又因為|PF|－|PF′|＝2，所以|PF|＝|PF′|＋2，所以l＝|PA|＋|PF′|＋2＋15≥|AF′|＋17＝32，當且僅當A，P，F(xiàn)′三點共線時，△APF周長最小，如圖所示．設P(x，y)，直線AF′的方程為 eq \f(x,－3)＋ eq \f(y,6\r(6))＝1，聯(lián)立得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,－3)＋\f(y,6\r(6))＝1，,x2－\f(y2,8)＝1，))消去x得 eq \r(6)y2＋36y－96 eq \r(6)＝0，解得y＝－8 eq \r(6)(舍去)或y＝2 eq \r(6)，則P(x，2 eq \r(6))，所以S△APF＝S△AF′F－S△PF′F＝ eq \f(1,2)×6×6 eq \r(6)－ eq \f(1,2)×6×2 eq \r(6)＝12 eq \r(6).
10．已知雙曲線C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距為4，且過點(－3，2 eq \r(6)).
(1)求雙曲線方程與其漸近線方程；
(2)若直線l：y＝kx＋2與雙曲線C有且只有一個公共點，求所有滿足條件的實數(shù)k的取值．
解：(1)由題意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝4，,\f(9,a2)－\f(24,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝1，,b2＝3.))
∴雙曲線方程為x2－ eq \f(y2,3)＝1，其漸近線方程為y＝± eq \r(3)x.
(2)由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,x2－\f(y2,3)＝1，))得(3－k2)x2－4kx－7＝0，
若3－k2≠0，由題意得Δ＝16k2＋28(3－k2)＝0，
∴k2＝7，∴k＝± eq \r(7)；
若3－k2＝0，即k＝± eq \r(3)，
則直線l與雙曲線C的漸近線y＝± eq \r(3)x平行，
此時直線l與雙曲線C只有一個公共點．
∴k＝± eq \r(7)或k＝± eq \r(3).
B級——能力提升練
11．已知雙曲線C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若 eq \(BA,\s\up6(→))＝2 eq \(AF,\s\up6(→))，且| eq \(BF,\s\up6(→))|＝4，則雙曲線C的方程為( )
A． eq \f(x2,6)－ eq \f(y2,5)＝1 B． eq \f(x2,8)－ eq \f(y2,12)＝1
C． eq \f(x2,8)－ eq \f(y2,4)＝1 D． eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,6)＝1
【答案】D 【解析】不妨設B(0，b)，由 eq \(BA,\s\up6(→))＝2 eq \(AF,\s\up6(→))，F(xiàn)(c，0)，可得A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2c,3)，\f(b,3)))，代入雙曲線C的方程可得 eq \f(4,9)× eq \f(c2,a2)－ eq \f(1,9)＝1，所以 eq \f(b2,a2)＝ eq \f(3,2)①.又因為| eq \(BF,\s\up6(→))|＝ eq \r(b2＋c2)＝4，c2＝a2＋b2，所以a2＋2b2＝16②.由①②可得a2＝4，b2＝6，所以雙曲線C的方程為 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,6)＝1.
12．(多選)若雙曲線C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的實軸長為6，焦距為10，右焦點為F，則下列結(jié)論正確的是( )
A．C的漸近線上的點到F距離的最小值為4
B．C的離心率為 eq \f(5,4)
C．C上的點到點F距離的最小值為2
D．過點F的最短的弦長為 eq \f(32,3)
【答案】AC 【解析】由題意知2a＝6，2c＝10，即a＝3，c＝5，因為b2＝c2－a2，所以b2＝25－9＝16，解得b＝4，所以右焦點為F(5，0)，雙曲線C的漸近線方程為y＝± eq \f(4,3)x，對于A，由點F向雙曲線C的漸近線作垂線時，垂線段的長度即為C的漸近線上的點到F距離的最小值，由點到直線的距離公式可得d＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(±\f(4,3)×5－0)),\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(4,3)))\s\up12(2)))＝4，故A正確；對于B，因為a＝3，c＝5，所以雙曲線C的離心率為e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(5,3)，故B錯誤；對于C，當雙曲線C上的點為其右頂點(3，0)時，此時雙曲線C上的點到F的距離最小為2，故C正確；對于D，過點F且斜率為零的直線與雙曲線的交點為A(－3，0)，B(3，0)，此時過點F的最短弦為AB＝6，故D錯誤．故選AC.
13．已知雙曲線C的方程為 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,9)＝1(a＞0)，過原點O的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，點F為雙曲線C的左焦點，且AF⊥BF，則△ABF的面積為________．
【答案】9 【解析】如圖，設AF＝m，BF＝n，可得m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，可得m2＋n2－2mn＝4a2，可得 eq \f(1,2)mn＝c2－a2＝b2＝9.
14．已知雙曲線E的中心為坐標原點，F(xiàn)(3，0)是雙曲線E的焦點，過點F的直線l與雙曲線E交于A，B兩點，且AB的中點為N(－12，－15)，則雙曲線E的標準方程為________．
【答案】 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1 【解析】設雙曲線E的標準方程為 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由題意知c＝3，a2＋b2＝9.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x12,a2)－\f(y12,b2)＝1，,\f(x22,a2)－\f(y22,b2)＝1，))兩式作差得 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝ eq \f(b2(x1＋x2),a2(y1＋y2))＝ eq \f(－12b2,－15a2)＝ eq \f(4b2,5a2).又因為直線AB的斜率是 eq \f(－15－0,－12－3)＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以雙曲線E的標準方程是 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1.
15．已知雙曲線C： eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,3)＝1.
(1)求與雙曲線C有共同的漸近線，且實軸長為6的雙曲線的標準方程；
(2)P為雙曲線C右支上一動點，點A的坐標是(4，0)，求|PA|的最小值．
解：(1)由題可設所求雙曲線的方程為 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,3)＝λ(λ≠0).
①當λ＞0時，方程為 eq \f(x2,4λ)－ eq \f(y2,3λ)＝1，
令4λ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2))) eq \s\up12(2)得λ＝ eq \f(9,4)，即雙曲線方程為 eq \f(x2,9)－ eq \f(4y2,27)＝1；
②當λ＜0時，方程為 eq \f(y2,－3λ)－ eq \f(x2,－4λ)＝1，
令－3λ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2))) eq \s\up12(2)得λ＝－3，
即雙曲線方程為 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,12)＝1.
所以雙曲線的標準方程為 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,\f(27,4))＝1或 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,12)＝1.
(2)設P(x0，y0)(x0≥2)，滿足 eq \f(x02,4)－ eq \f(y02,3)＝1，
|PA|＝ eq \r((x0－4)2＋y02)＝ eq \r((x0－4)2＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x02,4)－1)))＝ eq \r(\f(7,4)x02－8x0＋13)＝ eq \r(\f(7,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(16,7)))\s\up12(2)＋\f(27,7)).
則當x0＝ eq \f(16,7)時，|PA|有最小值，最小值為 eq \f(3\r(21),7).

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