1．如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎上，進一步證明( )A．AB＝BD且AC⊥BDB．∠A＝90°且AB＝ADC．∠A＝90°且AC＝BDD．AC和BD互相垂直平分
2．如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE.(1)求證：四邊形ADCF是平行四邊形；(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由．
解：(1)∵△CFE是由△ADE繞點E旋轉180°得到的，∴A，E，C三點共線，D，E，F(xiàn)三點共線，且AE＝CE，DE＝FE，故四邊形ADCF是平行四邊形
3．在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，下列條件能判定四邊形ABCD是正方形的是( )A．OA＝OC，OB＝ODB．OA＝OB＝OC＝ODC．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BDD．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
4．如圖，將一張矩形紙片對折兩次，然后剪下一個角，打開．如果要剪出一個正方形，那么剪口線與折痕成( )A.22.5°角B．30°角C．45°角D．60°角
5．如圖，正方形ABCD的邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在正方形ABCD的邊AB，CD，DA上，且AH＝2.若DG＝2，求證：菱形EFGH為正方形．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四邊形EFGH是菱形，∴HG＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH為正方形
6．已知矩形ABCD，下列條件中不能判定這個矩形是正方形的是( )A．AC⊥BD B．AC＝BDC．AC平分∠BAD D．∠ADB＝∠ABD
7．(齊齊哈爾中考)矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，請你添加一個適當?shù)臈l件__________________________，使其成為正方形．(只填一個即可)
AB＝BC(答案不唯一)
8．如圖，等邊△AEF的頂點E，F(xiàn)在矩形ABCD的邊BC，CD上，且∠CEF＝45°.求證：矩形ABCD是正方形．
解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△AEB≌△AFD(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形
9．(2019·撫順)如圖，AC，BD是四邊形ABCD的對角線，點E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，點M，N分別是AC，BD的中點，連接EM，MF，F(xiàn)N，NE，要使四邊形EMFN為正方形，則需添加的條件是( )A.AB＝CD，AB⊥CDB．AB＝CD，AD＝BCC．AB＝CD，AC⊥BDD．AB＝CD，AD∥BC
10．(2019·北京)在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(不與端點重合)，對于任意矩形ABCD，下面四個結論中：①存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；③存在無數(shù)個四邊形MNPQ是菱形；④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形．所有正確結論的序號是_____________．
11．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD.垂足分別為M，N.(1)求證：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求證：四邊形MPND是正方形．
解：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB　(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四邊形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四邊形MPND是正方形
12．如圖，在?ABCD中，E，M分別為AD，AB的中點，DB⊥AD，延長ME交CD的延長線于點N，連接AN，DM.(1)求證：四邊形AMDN是菱形；(2)若∠DAB＝45°，判斷四邊形AMDN的形狀，請直接寫出答案．
解：(1)∵E，M分別為AD，AB的中點，∴AE＝DE，ME∥BD.又∵DB⊥AD，∴AD⊥ME.∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，即ND∥AM，∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAD.又∵AE＝DE，∴△NDE≌△MAE，∴ND＝AM，∴四邊形AMDN是平行四邊形．又∵AD⊥ME，∴?AMDN是菱形　(2)四邊形AMDN是正方形，理由如下：∵AD⊥MN，∠DAB＝45°，∴∠EMA＝∠DAM＝45°，∴AE＝EM，∴AD＝MN，∴菱形ABCD是正方形
13．(1)如圖①，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，過點D作DP∥OC，且DP＝OC，連接CP，判斷四邊形CODP的形狀，并說明理由；(2)如圖②，如果題目中的矩形變?yōu)榱庑?，結論應變?yōu)槭裁?？請說明理由；(3)如圖③，如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?，結論又應變?yōu)槭裁?？請說明理由．

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初中數(shù)學北師大版九年級上冊電子課本

3 正方形的性質與判定

版本： 北師大版

年級： 九年級上冊

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