類型一、有切點(diǎn)型切線的證明【例1】已知：如圖，△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的⊙O交AB于E點(diǎn)，直線EF⊥AC于F.求證：EF與⊙O相切．分析：連結(jié)OE，CE，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠BEC為直角，根據(jù)三線合一得到E為AB的中點(diǎn)，又O為直徑BC的中點(diǎn)，可得OE為三角形ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊可得OE與AC平行，可得∠OEF為直角，EF為圓的切線，得證．
證明：連結(jié)OE，CE，∵BC為圓O的直徑，∴∠BEC＝90°，∴CE⊥AB，又AC＝BC，∴E為AB的中點(diǎn)，又O為直徑BC的中點(diǎn)，∴OE為△ABC的中位線，∴OE∥AC，∴∠AFE＝∠OEF，又EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠OEF＝90°，則EF為⊙O的切線
[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]1．(2020·邵陽(yáng))如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O過(guò)點(diǎn)A，連結(jié)AD，∠CAD＝∠C.(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若AC＝4，求⊙O的半徑．
(1)證明：如圖：連結(jié)OA，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∵AB＝AC，∴∠OBA＝∠C，∴∠OAB＝∠C，∵∠CAD＝∠C，∴∠OAB＝∠CAD，∵BD是直徑，∴∠BAD＝90°，∵∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°，∴AC是⊙O的切線
2．(2020·威海)如圖，△ABC的外角∠BAM的平分線與它的外接圓相交于點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交CM于點(diǎn)D.求證：(1)BE＝CE；(2)EF為⊙O的切線．
證明：(1)∵四邊形ACBE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠EAM＝∠EBC，∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM，∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE　(2)如圖，連結(jié)EO并延長(zhǎng)交BC于H，連結(jié)OB，OC，∵OB＝OC，EB＝EC，∴直線EO垂直平分BC，∴EH⊥BC，∵EF∥BC，∴EH⊥EF，∵OE是⊙O的半徑，∴EF為⊙O的切線
(1)證明：連結(jié)OE，如圖1所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，又∵OE＝OC，∴∠ACE＝∠OEC，∴∠BCE＝∠OEC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠B，又∵∠B＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AE，∵OE為⊙O的半徑，∴AE是⊙O的切線
分析：(1)連結(jié)OM，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD，垂足為N，根據(jù)正方形性質(zhì)推出∠ACB＝∠ACD，根據(jù)角平分線性質(zhì)推出OM＝ON即可；(2)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，證△COM∽△CAB得出比例式，代入求出即可．
(1)證明：過(guò)O作OH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，∴OC⊥BC，∵BO為△ABC的角平分線，OH⊥AB，∴OH＝OC，即OH為⊙O的半徑，∵OH⊥AB，∴AB為⊙O的切線　
類型三、切線的性質(zhì)【例3】如圖，在⊙O中，AB，CD是直徑，BE是切線，B為切點(diǎn)，連結(jié)AD，BC，BD.(1)求證：△ABD≌△CDB；(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度數(shù)．分析：(1)根據(jù)AB，CD是直徑，可得出∠ADB＝∠CBD＝90°，再根據(jù)H.L.定理得出Rt△ABD≌Rt△CDB；(2)由BE是切線，得AB⊥BE，根據(jù)∠DBE＝37°，得∠BAD，由OA＝OD，得出∠ADC的度數(shù)．
解：(1)證明：∵AB，CD是直徑，∴∠ADB＝∠CBD＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，AB＝CD，BD＝DB.∴Rt△ABD≌Rt△CDB(H.L.)　(2)∵BE是切線，∴AB⊥BE，∴∠ABE＝90°.∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA＝90°－53°＝37°，∴∠ADC的度數(shù)為37°
解：(1)∵AP為⊙O的切線，AC為⊙O的直徑，∴AP⊥AC，∴∠CAB＋∠PAB＝90°，∴∠AMD＋∠AEB＝90°，∵AB＝BE，∴∠AEB＝∠CAB，∴∠AMD＝∠PAB，∴AB＝BM　

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