在紙上畫出如圖的圖形，沿著直線PO將紙 對折，由于直線PO經(jīng)過圓心O,所以PO是圓的一條對稱 軸，兩半圓重合.PA與PB、 ∠APO與∠BPO有什么關(guān)系?
1. 切線長定義：圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段 的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．要點(diǎn)精析：切線是直線，不可度量；切線長是切線上切 點(diǎn)與切點(diǎn)外另一點(diǎn)之間的線段的長，可以度量．2. 切線長定理：過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線，它 們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線 的夾角．
要點(diǎn)精析：(1)由切線長定理既可以得到線段相等，又可以得到角相 等，運(yùn)用時要根據(jù)題意選用．(2)如圖是切線長定理的一個基本圖形，可以直接得到很 多結(jié)論． 如：①PO⊥AB； ②AO⊥AP，BO⊥BP；③AP＝BP； ④∠1＝∠2＝∠3＝∠4；⑤AD＝BD；⑥ 等．
如圖所示，PA，PB，DE 分別切⊙ O 于點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)D 在PA 上，點(diǎn)E 在PB 上.（1）若PA=10，求△ PDE 的周長；（2）若∠ P=50°，求∠ DOE 的度數(shù).
利用切線長定理進(jìn)行幾何計(jì)算時，要注意構(gòu)成切線長定理的基本圖形，作過切點(diǎn)的半徑、連結(jié)圓外一點(diǎn)與圓心是常用的作輔助線的方法．由于切線長定理涉及的線段、角較多，因此熟記基本圖形的相關(guān)結(jié)論是解題的關(guān)鍵，而三角形的有關(guān)性質(zhì)在解決有關(guān)切線長問題時，也起到了很好的輔助作用．
如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，BC為⊙O的直徑，連結(jié)AB，AC，OP.求證：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.
(1)由切線長定理知∠BPO＝∠APO＝ ∠APB，而要證∠APB＝2∠ABC，即證明∠ABC＝ ∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可證；(2)證明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也可用同位角相等來證．
(1)∵PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B， ∴由切線長定理知∠APO＝∠BPO＝ ∠APB，PA＝PB， ∴PO⊥AB，∴∠ABP＋∠BPO＝90°. 又∵PB是⊙O的切線， ∴OB⊥PB，∴∠ABP＋∠ABC＝90°. ∴∠ABC＝∠BPO＝ ∠APB，即∠APB＝2∠ABC.(2)∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°， 即AC⊥AB.由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.
下列說法正確的是(　　)A．過任意一點(diǎn)總可以作圓的兩條切線B．圓的切線長就是圓的切線的長度C．過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長相等D．過圓外一點(diǎn)所畫的圓的切線長一定大于圓的半徑
如圖，PA，PB是⊙O的切線，且∠APB＝40°，下列結(jié)論不正確的是(　　)A．PA＝PB B．∠APO＝20°C．∠OBP＝70° D．∠AOP＝70°
如圖，從圓O外一點(diǎn)P引圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的長是(　　)A．4　　　　B．8　　　　C． 　　　　D．
(2015·南充)如圖，PA和PB是⊙O的切線，點(diǎn)A和B是切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，已知∠P＝40°，則∠ACB的大小是(　　) A．60° 　 B．65° C．70°　 D．75°
切線長定理中的基本圖形如圖，PA，PB為⊙O的切線，A，B分別為切點(diǎn)，則有：(1)兩個等腰三角形(△PAB，△OAB)．(2)一條特殊的角平分線(OP平分∠APB和∠AOB)．(3)三個垂直關(guān)系(OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB)．

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版本： 華師大版

年級： 九年級下冊

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