親愛的同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下.
下雨天，當(dāng)你轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘，你會(huì)發(fā)現(xiàn)雨傘上的水珠順著傘面的邊緣飛出。仔細(xì)觀察一下，水珠是順著什么樣的方向飛出的？這就是我們所要研究的直線與圓相切的情況。
如圖27.2.8，畫一個(gè)圓O及半徑OA，經(jīng)過⊙O的半徑OA的外端點(diǎn)A畫一條直線l垂直于這條半 徑OA，這條直線與圓有幾個(gè)公共點(diǎn)？
從圖27.2.8可以看出，對(duì)直線l上除點(diǎn)A外的任一 點(diǎn)P，必有OP＞OA，即點(diǎn)P位于圓外，從而可知直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線l是圓的切線!由此可得下 面判定切線的方法:
雨傘上的水珠就 是沿著切線方向向外飛出的。
切線的判定定理 ： 經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 。
能說出過圓上任意一點(diǎn)畫圓的切線的方法嗎 ?
如圖27.2.9，直線l是☉O的切線， 點(diǎn) A 為切點(diǎn) ， 那么半徑OA與l垂直嗎？
由于l是☉O的切線， 圓心O到直線l 的距離等于半徑，所以O(shè)A 是圓心O到直線l的距離，因此l⊥OA，有 ：
切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑
如圖，直線AB經(jīng)過☉O 上的點(diǎn)A，且AB=OA，∠OBA=45° 求證：直線AB是☉O的切線。
證明：∵AB=OA，∠OBA=45°∴ ∠AOB= ∠OBA=45°∴ ∠OAB= 90°又∵點(diǎn)A在圓上，∴直線AB是☉O的切線（切線的判定定理 ）
判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法：
1.定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說這條直線是圓的切線;
2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時(shí)，直線與圓相切；
3.判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
如圖，PA 、PB為☉O 的兩條切線，點(diǎn)A、B為切點(diǎn)，我們把圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。如圖 線段PA、PB就是點(diǎn)P到☉O 的切線長(zhǎng)。
在紙上畫出如圖的圖形，沿著直線PO 將紙對(duì)折，由于直線PO經(jīng)過圓心O，所以PO是圓的一條對(duì)稱軸， 兩半圓重合,PA與PB，∠APO與∠BPO 有什么關(guān)系 ？
我們可以發(fā)現(xiàn)PA=PB，∠APO=∠BPO
切線長(zhǎng)定理 ： 過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線 ，它們的切線長(zhǎng)相等， 這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角 。
已知 ： 如圖， PA 、PB為☉O 的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B ，求證：PA=PB，∠APO=∠BPO
證明：連接OA和OB，∵ PA切☉O于點(diǎn)A ∴OA⊥PA同理可得OB ⊥PB∵OA=OB OP=OP∴Rt△OAP ≌ Rt△OBP ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO
如圖是一張三角形鐵皮 ，如何在它上面截一個(gè)面積最大的圓形鐵皮？
可能大家都會(huì)想到這樣一個(gè)圓 ，它與三角形的三條邊都相切 ， 那么這樣的圓存在嗎 ? 如果存在 ? 我們又如何把它畫出來呢 ？
如圖，在 △ABC 中，如果有一個(gè)圓與 AB、AC、BC都相切，那么該圓的圓心到這三邊的距離都等于半徑，如何找到這個(gè)圓心呢？
因?yàn)榕c △ABC的邊 AB、AC都相切的圓的圓心到邊AB、AC的距離相等 ，所以圓心一定在 ∠BAC 的平分線上。同理 ，和邊 AB、BC都相切的圓的圓心一定在 ∠ABC的平分線上 。 設(shè)這兩條角平分線的交點(diǎn)為 I， 則該點(diǎn)到三邊的距離都相等 。 因此以I為圓心 、點(diǎn)I到 AB的距離為半徑作圓 ， ☉ I必與 △ABC的三條邊都相切。因?yàn)辄c(diǎn) I 是唯一的 ， 所以I也是唯一的 。
與三角形各邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓 ，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心 ，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的 外切三角形 ，三角形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點(diǎn) 。
一個(gè)三角形的內(nèi)切圓是唯一的 。
如圖：已知PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn), AB是⊙O 的直徑 , BC//OP交⊙O于點(diǎn)C。求證：PC與⊙O 相切。
∴∠ OCB=∠OBC.
∴ ⊿POC ≌ ⊿POA(SAS)
∴∠ OCB=∠POC.
∠ OBC=∠POA.
∴∠POC=∠POA.
∵ OP=OP，OA=OB
∴∠ PCO=∠PAO.
∴∠ PCO= ∠ PAO= 900.
∴ PC是⊙O的切線.
∴ PC⊥半徑ＯC于點(diǎn)C
∵ ⊙O 切AP于A,
已知：△ABC內(nèi)接于☉O，過點(diǎn)A作直線EF.（1）如圖1，AB為直徑，要使EF為☉O的切線，還需添加的條件是（只需寫出兩種情況）： ① _________ ；② _____________ .（2）如圖2，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是☉O的切線.
證明：連接AO并延長(zhǎng)交☉O于D,連接CD,則AD為☉O的直徑.∴ ∠D+∠DAC=90 °,∴ ∠D=∠B,又∵ ∠CAE=∠B,∴ ∠D=∠CAE,∴ ∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切線.
經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線 ，它們的切線長(zhǎng)相等， 這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角 。
27.2.3 切線（1）定義法（2）數(shù)量關(guān)系法（3）判定定理

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