1. 會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；(難點(diǎn)）2. 會(huì)根據(jù)待定系數(shù)法解決關(guān)于二次函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題.（重點(diǎn)）
用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
1. 一次函數(shù) y = kx + b (k≠0) 有幾個(gè)待定系數(shù)？通常需要已知幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出它的解析式？
2. 求一次函數(shù)解析式的方法是什么？它的一般步驟是什么？
(1) 設(shè)：解析式(2) 代：坐標(biāo)代入(3) 解：方程(組)(4) 還原：寫出解析式
問(wèn)題 (1) 由幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定二次函數(shù)？這幾個(gè)點(diǎn)應(yīng)滿足什么條件？
由兩點(diǎn) (連線不與坐標(biāo)軸垂直) 的坐標(biāo)，可以確定一次函數(shù)的解析式；類似地，由三點(diǎn) (不在同一條直線上) 的坐標(biāo)，可以確定二次函數(shù)的解析式.
(2) 如果一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) (?1，10)，(1，4)，(2，7) 三點(diǎn)，能求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式嗎？如果能，求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式.
故所求二次函數(shù)解析式為 y = 2x2 ? 3x + 5.
(2) 解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為 y = ax2 + bx + c.
由函數(shù)圖象經(jīng)過(guò) (?1，10 )，(1，4)，(2，7) 三點(diǎn)，得關(guān)于 a，b，c 的三元一次方程組
想一想確定二次函數(shù)的這三點(diǎn)應(yīng)滿足什么條件？
任意三點(diǎn)不在同一直線上，其中兩點(diǎn)的連線可垂直于 y 軸，但不可以垂直于 x 軸.
例1 一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) (0，1)、(2，4)、(3，10) 三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.
解： 設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式是 y = ax2 + bx + c，由于這個(gè)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn) (0，1)，可得 c = 1.又由于其圖象經(jīng)過(guò) (2，4)、(3，10) 兩點(diǎn)，可得
∴ 所求的二次函數(shù)的解析式是
這種已知三點(diǎn)求二次函數(shù)解析式的方法叫做一般式法.其步驟是：① 設(shè)函數(shù)解析式為 y = ax2 + bx + c；② 代入已知的三點(diǎn)的坐標(biāo)后得到一個(gè)三元一次方程組；③ 解方程組得到 a，b，c 的值；④ 把待定系數(shù)用所求得的值換掉，寫出函數(shù)解析式.
已知二次函數(shù) y = a(x ? 1)2 + 4 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (?1，0)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.
則函數(shù)解析式為 y = ?(x ? 1)2 + 4，即 y = ?x2 + 2x + 3.
解：把 (?1，0) 代入二次函數(shù)解析式得 4a + 4 = 0，
例2 一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)點(diǎn) (0，1)，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (8，9)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.
解：∵ 這個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (8，9)，∴ 可設(shè)其解析式為 y = a(x - 8)2 + 9.
這種知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求解析式的方法叫做頂點(diǎn)法. 其步驟是：① 設(shè)函數(shù)解析式是 y = a(x - h)2 + k；② 先代入頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到只含一個(gè)參數(shù) a 的解析式；③ 將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式求出 a 的值；④ 將 a 用所求得的值換掉，寫出函數(shù)解析式.
解：∵ (-3，0)，(-1，0) 是拋物線 y = ax2 + bx + c 與 x 軸的交點(diǎn)，∴ 可設(shè)這個(gè)拋物線解析式為 y = a(x + 3)(x + 1).
再把點(diǎn) (0，-3) 代入上式得
∴ a(0 + 3)(0 + 1) = -3，
∴ 二次函數(shù)的解析式是 y = -(x+3)(x+1)，即 y = -x2-4x-3.
問(wèn)題 選取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，試求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式.
這種已知拋物線與 x 軸的交點(diǎn)，求解析式的方法叫做交點(diǎn)法. 其一般步驟是：① 設(shè)函數(shù)解析式為 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分別是兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo))；② 將拋物線經(jīng)過(guò)的第三點(diǎn)的坐標(biāo)代入到解析式中，得到關(guān)于 a 的一元一次方程；③ 解方程得出 a 值；④ 將 a 用所求得的數(shù)值換掉，寫出函數(shù)解析式.
例3 分別求出滿足下列條件的二次函數(shù)的解析式．(1) 圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1，0)，B(0，-3)，對(duì)稱軸是直線 x = 2；
解：∵ 圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1，0)，對(duì)稱軸是直線 x = 2，
∴ 圖象經(jīng)過(guò)另一點(diǎn) (3，0).
故可設(shè)該二次函數(shù)的解析式為 y = a(x ? 1)(x ? 3).
將點(diǎn) (0，?3)代入，得
?3 = a(0 ? 1)(0 ? 3)，
∴ 該二次函數(shù)的解析式為 y = ?(x ? 1)(x ? 3) = ?x2 + 4x ? 3.
(2) 圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (?2，3)，且過(guò)點(diǎn) (1，?3)；
解：∵ 圖象的頂點(diǎn)為 (?2，3)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1，?3)，
∴ 可設(shè)拋物線的解析式為 y = a(x + 2)2 + 3.
把 (1，?3) 代入，得 a(1 + 2)2 + 3 = ?3.
(3) 如圖，圖象經(jīng)過(guò) A，B，C 三點(diǎn)．
∴ 該二次函數(shù)的解析式為 y = x2 ? 2x ? 3.
解：根據(jù)圖象可知拋物線 y = ax2 + bx + c經(jīng)過(guò) A(?1，0)，B(0，?3)，C(4，5) 三點(diǎn)，
1. 如圖，平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)圖象的解析式應(yīng)是
y = ax2、y = ax2 +k、y = a(x -h)2 與 y = a(x -h)2 + k 一樣都是頂點(diǎn)式，只不過(guò)前三者是頂點(diǎn)式的特殊形式.
2. 若拋物線過(guò)點(diǎn) (2，4)，且當(dāng) x = 1 時(shí)，y 有最值為 6，則其解析式為 .
y = -2x2 + 4x + 4
3. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (－1，－5)，(0，－4) 和 (1，1)．求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為 y＝ax2 ＋bx＋c.依題意得
∴ 這個(gè)二次函數(shù)的解析式為 y＝2x2＋3x－4.
4.下面是我們用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象時(shí)所列表格的一部分：
試求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式.
① 選取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 三點(diǎn)，試求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式.
解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式是 y = ax2 + bx + c，把 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 代入 y = ax2 + bx + c 得
∴所求的二次函數(shù)的解析式是 y = -x2 - 4x - 3.
5. 已知拋物線與 x 軸相交于點(diǎn) A(－1，0)，B(1，0)，且過(guò)點(diǎn) M(0，1)，求此函數(shù)的解析式．
解：∵ 點(diǎn) A(－1，0)，B(1，0) 是拋物線與 x 軸的交點(diǎn)，∴ 可設(shè)此函數(shù)的解析式為 y＝ a(x＋1)(x－1)．又∵拋物線過(guò)點(diǎn) M(0，1)，∴ 1＝ a(0＋1)(0－1)，解得 a＝ －1.∴ 所求拋物線的解析式為 y＝ －(x＋1)(x－1)，即 y＝－x2 ＋1.
6.已知一個(gè)二次函數(shù)有最大值 4，當(dāng) x＞5 時(shí)，y 隨 x 的增大而 減小；當(dāng) x＜5 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大，且該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (2，1)，求該函數(shù)的解析式．
解：由題意得該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (5，4)，
設(shè)解析式為 y = a(x ? 5)2 + 4，把 (2，1) 代入，得 1 = 9a + 4，
7. 如圖，拋物線 y＝x2＋bx＋c 過(guò)點(diǎn) A(－4，－3)，與 y 軸交于點(diǎn) B，對(duì)稱軸是 x＝－3，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1) 求拋物線的解析式；
解：把點(diǎn) A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c，得 16－4b＋c ＝－3，即 c＝4b－19.∵ 對(duì)稱軸是 x＝－3，∴ ＝－3，即 b＝6. ∴ c＝5.∴ 拋物線的解析式是 y ＝ x2＋6x＋5.
(2) 若和 x 軸平行的直線與拋物線交于 C，D 兩點(diǎn)，點(diǎn) C 在對(duì)稱軸左側(cè)，且 CD＝8，求△BCD 的面積．
解：∵ CD∥x 軸，∴ 點(diǎn) C 與點(diǎn) D 關(guān)于 x＝－3 對(duì)稱．∵ 點(diǎn) C 在對(duì)稱軸左側(cè)，且 CD＝8，∴ 點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為－7.∴ 點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)為 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵ 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (0，5)，∴ △BCD 中 CD 邊上的高為 12－5＝7.∴ △BCD 的面積為 ×8×7＝28.

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22.1.1 二次函數(shù)

版本： 人教版

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