1.理解直線與雙曲線的位置關系.
2.會求解有關弦長問題.
上節(jié)課我們學習了雙曲線的幾何性質(zhì)，熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是解答雙曲線基本問題的法寶，這節(jié)課我們將在已有知識的基礎上，進一步掌握雙曲線的標準方程、幾何性質(zhì)，并運用它們解決有關直線與雙曲線的綜合問題.
問題1　思考雙曲線例5，并與橢圓一節(jié)中的例6比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？
提示　當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比值大于1時，點M的軌跡是雙曲線.
設點P(x0，y0)，
直線與雙曲線的位置關系
問題2　類比直線與橢圓的位置關系可知直線與雙曲線有幾種位置關系？
提示　有三種位置關系，分別為相交、相切、相離三種情況.
把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式.(1)Δ>0時，直線與雙曲線有 不同的公共點.(2)Δ＝0時，直線與雙曲線只有 公共點.(3)Δ0，
設弦的兩端點為M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵點B(1，1)是弦的中點，
故雙曲線上不存在被點B(1，1)平分的弦.
方法二　設雙曲線上存在被點B平分的弦MN，且點M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴直線MN的方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
又Δ＝－80可得－20)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2，則a＝_____.
設B為雙曲線的右焦點，如圖所示.∵四邊形OABC為正方形且邊長為2，
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
9.設A，B為雙曲線x2－ ＝1上的兩點，線段AB的中點為M(1，2).求：(1)直線AB的方程；
顯然直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k.
消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
當k＝1時，滿足Δ>0，∴直線AB的方程為y＝x＋1.
(2)△OAB的面積(O為坐標原點).
由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
10.已知雙曲線3x2－y2＝3，直線l過右焦點F2，且傾斜角為45°，與雙曲線交于A，B兩點，試問A，B兩點是否位于雙曲線的同一支上？并求弦AB的長.
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.∴F2(2，0)，又直線l的傾斜角為45°，∴直線l的斜率k＝tan 45°＝1，∴直線l的方程為y＝x－2，代入雙曲線方程，得2x2＋4x－7＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴A，B兩點不位于雙曲線的同一支上.
x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，
又因為a2＋b2＝c2＝9，
設雙曲線的半焦距為c，
又A1(－a，0)，A2(a，0)，
過A，B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，如圖所示，
∴直線AB的傾斜角為60°，
點 ，則雙曲線的方程為_______________；
15.祖暅，祖沖之之子，是我國南宋時期的數(shù)學家.他提出了體積計算原理(祖暅原理)：“冪勢既同，則積不容異”.意思是：如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.已知雙曲線C的焦點在y軸上，離心率為 ，且過
若直線x＝0，x＝1在第一象限內(nèi)與C及其漸近線圍成如圖陰影部分所示的圖形，則陰影圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為_____.
取直線x＝m(0≤m≤1)，
∴直線x＝m與陰影部分旋轉(zhuǎn)一周所得圓環(huán)的面積S＝(3＋3m2)π－3m2π＝3π.又高度為1，故根據(jù)祖暅原理，該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體與底面半徑為 ，高為1的圓柱“冪勢相同”，故它繞x軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積為3π.
又c2＝a2＋b2＝12＋b2，∴b2＝3.
設點M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.

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3.2 雙曲線

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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