1.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì).
2.理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.
在研究橢圓的幾何性質(zhì)時，我們從圖形、方程、范圍、頂點、軸長、焦點、對稱性、離心率等多方面進行了研究，下面我們類比研究橢圓性質(zhì)的方法研究雙曲線的性質(zhì).
所以x≥a或x≤－a;y∈R.
x軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點是對稱中心，又叫做雙曲線的中心.
3.頂點(1)雙曲線與對稱軸的交點，叫做雙曲線的頂點.頂點是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有兩個.(2)如圖，線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長為2a，a叫做雙曲線的實半軸長；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長為2b，b叫做雙曲線的虛半軸長.(3)實軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線.方程為x2－y2＝m(m≠0).
(2)利用漸近線可以較準(zhǔn)確的畫出雙曲線的草圖.
(2)e的范圍：e>1.
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
(1)雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小，e越大，開口越大.(2)等軸雙曲線的離心率為 ，漸近線方程為y＝±x.(3)雙曲線的漸近線方程要注意焦點所在軸的位置.(4)焦點到漸近線的距離為b.
(教材P124例3改編)求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、實軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程.
因此頂點坐標(biāo)為A1(－3，0)，A2(3，0)，
實軸長2a＝6，虛軸長2b＝4，
延伸探究　若將雙曲線的方程變?yōu)閚x2－my2＝mn(m>0，n>0)，求雙曲線的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標(biāo)、離心率、頂點坐標(biāo)和漸近線方程.
由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決此類題的關(guān)鍵.(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點位置，確定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).
求雙曲線25y2－16x2＝400的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.
由此可知，實半軸長a＝4，虛半軸長b＝5；
由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程
聯(lián)立③④，解得a2＝8，b2＝32.
由雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式.(2)巧設(shè)雙曲線方程的技巧
③漸近線方程為ax±by＝0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在x軸上，虛軸長為8，離心率為 ；
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
當(dāng)所求雙曲線的焦點在x軸上時，
當(dāng)所求雙曲線的焦點在y軸上時，
又由圓C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圓心為C(0，5)，半徑r＝2，
求雙曲線離心率的方法(1)直接法：若可求得a，c，則直接利用e＝ 得解.(2)解方程法：若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
已知F1，F(xiàn)2是雙曲線 ＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，PQ是經(jīng)過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，如果∠PF2Q＝90°，求雙曲線的離心率.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，
所以c2－2ac－a2＝0，
即e2－2e－1＝0，
1.知識清單： (1)雙曲線的幾何性質(zhì). (2)等軸雙曲線. (3)雙曲線的離心率.2.方法歸納：待定系數(shù)法、直接法、解方程法.3.常見誤區(qū)：求雙曲線方程時位置關(guān)系考慮不全面致錯.
由已知得左焦點的坐標(biāo)為(－5，0)，右頂點的坐標(biāo)為(3，0)，所以左焦點與右頂點之間的距離等于8.
2.雙曲線 ＝1的左焦點與右頂點之間的距離等于A.6 B.8 C.9 D.10
3.中心在原點，焦點在x軸上，且一個焦點在直線3x－4y＋12＝0上的等軸雙曲線的方程是A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
令y＝0，得x＝－4，∴等軸雙曲線的一個焦點為(－4，0)，
|PF|的最小值為c－a＝2，D正確.
8.若一雙曲線與橢圓4x2＋y2＝64有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程為_____________.
a2＝64，c2＝64－16＝48，
從而a′＝6，b′2＝12，
由兩頂點間的距離是6，得2a＝6，即a＝3.由兩焦點所連線段被兩頂點和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
9.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)兩頂點間的距離是6，兩焦點所連線段被兩頂點和中心四等分；
(2)漸近線方程為2x±3y＝0，且兩頂點間的距離是6.
設(shè)雙曲線方程為4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，兩邊同時除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
于是雙曲線的離心率為2.
又2c＝10，∴c＝5.由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
由題意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，設(shè)直線PF1與圓(x－c)2＋y2＝c2相切于點T，如圖，則PF1⊥TF2，|TF2|＝c，
所以|PQ|＝12.雙曲線圖象如圖.|PF|－|AP|＝2a＝4，①|(zhì)QF|－|QA|＝2a＝4，②①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，所以周長為|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32.
橢圓、雙曲線都關(guān)于x軸、y軸對稱，所以只需考慮第一象限內(nèi)的情況.記雙曲線N的一條漸近線與橢圓M在第一象限的交點為P，橢圓左焦點為Q，右焦點為F，連接PQ，如圖.
所以雙曲線N的離心率為2.

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3.2 雙曲線

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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