1.掌握圓的定義及標準方程.
2.會用待定系數(shù)法求圓的標準方程，能準確判斷點與圓的位置關(guān)系.
《古朗月行》唐 李白小時不識月，呼作白玉盤.又疑瑤臺鏡，飛在青云端.月亮，是中國人心目中的宇宙精靈，古代的人們在生活中崇拜、敬畏月亮，在文學作品中也大量描寫，如果把天空看作一個平面，月亮當作一個圓，建立一個平面直角坐標系，那么圓的坐標方程如何表示？
問題1　圓是怎樣定義的？確定它的要素又是什么呢？各要素與圓有怎樣的關(guān)系？
提示　平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.確定圓的因素：圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.
問題2　已知圓心為A(a，b)，半徑為r，你能推導出圓的方程嗎？
提示　設(shè)圓上任一點M(x，y)，則|MA|＝r，
兩邊平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
確定圓的標準方程需要兩個條件：圓心坐標與半徑.
(x-a)2+(y-b)2=r2
(1)當圓心在原點即A(0，0)，半徑長r＝1時，方程為x2＋y2＝1，稱為單位圓.(2)相同的圓，建立的坐標系不同時，圓心坐標不同，導致圓的方程不同，但是半徑是不變的.(3)圓上的點都滿足方程，滿足方程的點都在圓上.
(1)與y軸相切，且圓心坐標為(－5，－3)的圓的標準方程為_____________________.
∵圓心坐標為(－5，－3)，又與y軸相切，∴該圓的半徑為5，∴該圓的標準方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)以兩點A(－3，－1)和B(5，5)為直徑端點的圓的標準方程是_________________________.
∵AB為直徑，∴AB的中點(1，2)為圓心，
∴該圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.
直接法求圓的標準方程的策略確定圓的標準方程只需確定圓心坐標和半徑，常用到中點坐標公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等.
求滿足下列條件的圓的標準方程：(1)圓心是(4，0)，且過點(2，2)；
r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圓的標準方程為(x－4)2＋y2＝8.
(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過點(3，－4).
設(shè)圓心為C(0，b)，則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圓心為(0，0)或(0，－8)，又r＝5，∴圓的標準方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
問題3　點M0(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2內(nèi)的條件是什么？在圓x2＋y2＝r2外的條件又是什么？
提示　點在圓內(nèi)時，點到圓心的距離小于半徑，點在圓外時，點到圓心的距離大于半徑.
圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點P(x0，y0)，
(1)已知a，b是方程x2－x－ ＝0的兩個不相等的實數(shù)根，則點P(a，b)與圓C：x2＋y2＝8的位置關(guān)系是A.點P在圓C內(nèi) B.點P在圓C外C.點P在圓C上 D.無法確定
(2)已知點P(2，1)和圓C： ＋(y－1)2＝1，若點P在圓C上，則實數(shù)a＝____________.若點P在圓C外，則實數(shù)a的取值范圍為_______________.
解得a＝－2或a＝－6.
解得a－2.
判斷點與圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：利用點到圓心的距離與半徑比較大小并作出判斷.(2)代數(shù)法：把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷.
已知點M 在圓(x－1)2＋y2＝26的內(nèi)部，則a的取值范圍為________.
待定系數(shù)法求圓的標準方程
求經(jīng)過點P(1，1)和坐標原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的標準方程.
方法一　(待定系數(shù)法)設(shè)圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
即圓的標準方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二　(幾何法)由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線為x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分線過圓心，
即圓心坐標為(4，－3)，
待定系數(shù)法求圓的標準方程的一般步驟
過點A(1，－1)，B(－1，1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
方法一　設(shè)圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則有
即圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
所以圓心坐標為(1，1)，半徑為2，所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
所以線段AB的垂直平分線的方程為y＝x.
1.知識清單： (1)圓的標準方程. (2)點和圓的位置關(guān)系.2.方法歸納：直接法、幾何法、待定系數(shù)法.3.常見誤區(qū)：幾何法求圓的標準方程出現(xiàn)漏解情況.
1.以(2，－1)為圓心，4為半徑的圓的標準方程為A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16
以(2，－1)為圓心，4為半徑的圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
2.點P(1，3)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是A.在圓外 B.在圓內(nèi)C.在圓上 D.不確定
3.圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1，2)的圓的標準方程是A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1
∴b＝2，∴圓的標準方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二　(數(shù)形結(jié)合法)作圖(如圖)，根據(jù)點(1，2)到圓心的距離為1，易知圓心為(0，2)，故圓的標準方程是x2＋(y－2)2＝1.
4.若點P(5a＋1，12a)在圓(x－1)2＋y2＝1的外部，則a的取值范圍為________________.
2.已知點A(3，－2)，B(－5，4)，以線段AB為直徑的圓的標準方程是A.(x－1)2＋(y＋1)2＝25B.(x＋1)2＋(y－1)2＝25C.(x－1)2＋(y＋1)2＝100D.(x＋1)2＋(y－1)2＝100
所以圓的標準方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.
圓(x－1)2＋y2＝1的圓心坐標為(1，0)，
4.已知圓(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，則原點O在A.圓內(nèi) B.圓外C.圓上 D.圓上或圓外
由圓的標準方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圓心為(a，1)，
5.(多選)已知圓M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，則下列說法正確的是A.圓M的圓心為(4，－3)B.圓M的圓心為(－4，3)C.圓M的半徑為5D.圓M被y軸截得的線段長為6
由圓M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，故圓心為(4，－3)，半徑為5，則A，C正確；令x＝0，得y＝0或y＝－6，線段長為6，故D正確.
6.已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則圓C2的標準方程為A.(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝1C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D.(x－2)2＋(y－2)2＝1
兩圓關(guān)于直線對稱，則兩圓半徑相等且圓心關(guān)于直線對稱，圓C1的圓心坐標為(－1，1)，設(shè)圓C2的圓心坐標為(x，y)，
則圓C2的標準方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
7.與圓C：(x－1)2＋y2＝36同圓心，且面積等于圓C面積的一半的圓的標準方程為________________.
(x－1)2＋y2＝18
圓C的半徑R＝6，設(shè)所求圓的半徑為r，
又圓心坐標為(1，0)，則所求圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝18.
8.若圓C與x軸和y軸均相切，且過點(1，2)，則圓C的半徑長為________.
根據(jù)題意，若圓C與x軸和y軸均相切，則圓心C在直線y＝x或y＝－x上，當圓心C在y＝x上時，設(shè)圓心C的坐標為(a，a)，此時圓的標準方程為(x－a)2＋(y－a)2＝a2，將(1，2)代入可得(1－a)2＋(2－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，此時圓的半徑長為1或5；當圓心C在y＝－x上時，設(shè)圓心C的坐標為(a，－a)，此時圓的標準方程為(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，
將(1，2)代入可得(1－a)2＋(2＋a)2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程無解，綜上所述，圓的半徑長為1或5.
9.已知圓N的標準方程為(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).(1)若點M(6，9)在圓N上，求半徑a；
∵點M(6，9)在圓N上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10.
(2)若點P(3，3)與Q(5，3)有一點在圓內(nèi)，另一點在圓外，求a的取值范圍.
由已知，得圓心N(5，6).
∴|PN|>|QN|，故點P在圓外，點Q在圓內(nèi)，
10.已知點A(1，－2)，B(－1，4)，求(1)過點A，B且周長最小的圓的標準方程；
當AB為直徑時，過A，B的圓的半徑最小，從而周長最小.
則圓的標準方程為x2＋(y－1)2＝10.
(2)過點A，B且圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的標準方程.
方法一　AB的斜率為k＝－3，則AB的垂直平分線的方程是y－1＝ x，即x－3y＋3＝0，
由圓心在直線2x－y－4＝0上，得兩直線交點為圓心，即圓心坐標是C(3，2).
故所求圓的標準方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.方法二　待定系數(shù)法設(shè)圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
故所求圓的標準方程為(x－3)2＋(y－2)2＝20.
11.(多選)以直線2x＋y－4＝0與兩坐標軸的一個交點為圓心，過另一個交點的圓的標準方程可能為A.x2＋(y－4)2＝20 B.(x－4)2＋y2＝20C.x2＋(y－2)2＝20 D.(x－2)2＋y2＝20
令x＝0，則y＝4；令y＝0，則x＝2.
所以直線2x＋y－4＝0與兩坐標軸的交點分別為A(0，4)，B(2，0).
以A為圓心，過B點的圓的標準方程為x2＋(y－4)2＝20.以B為圓心，過A點的圓的標準方程為(x－2)2＋y2＝20.
12.已知直線(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒過定點P，則與圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圓心且過點P的圓的標準方程為A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9
由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
∵圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圓心坐標是(2，－3)，
∴所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
13.已知點A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，則△ABC外接圓的標準方程是A.x2＋(y－3)2＝5 B.(x＋3)2＋y2＝5C.x2＋(y＋3)2＝5 D.(x－3)2＋y2＝5
如圖所示，易得外接圓的圓心為M(－3，0)，∴半徑r2＝|MC|2＝5，∴所求圓的標準方程為(x＋3)2＋y2＝5.
14.已知點P(x，y)為圓x2＋y2＝1上的動點，則x2－4y的最小值為_____.
∵點P(x，y)為圓x2＋y2＝1上的動點，∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5.∵y∈[－1，1]，∴當y＝1時，－(y＋2)2＋5有最小值－4.
15.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3，4)，則其圓心到原點的距離的最小值為A.4 B.5 C.6 D.7
化簡得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圓心C的軌跡是以M(3，4)為圓心，1為半徑的圓，
所以|OC|≥5－1＝4，當且僅當C在線段OM上時取等號.
16.設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段弧，其弧長比為3∶1.在滿足上述條件的圓中，求圓心到直線l：x－2y＝0的距離最小時的圓的標準方程.
設(shè)圓心為(a，b)，半徑長為r，
消去r，得2b2－a2＝1， ①
設(shè)a－2b＝k，則a＝2b＋k，代入①式，整理得2b2＋4bk＋k2＋1＝0.

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2.5 直線與圓、圓與圓的位置

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