1.掌握拋物線的定義及其焦點、準(zhǔn)線的概念.
2.會求簡單的拋物線方程.
同學(xué)們，數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生活之謎，日月之繁，無處不用數(shù)學(xué)”，比如足球射門時那條美麗的弧線，天空中那一道道美麗的彩虹，廣場上那五彩斑斕的噴泉，運動場上那些跳躍的運動，哪怕是一個小朋友輕輕投擲一塊石子，都會產(chǎn)生一道與眾不同的弧線，所以我們說生活中充滿了數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們周圍.
問題1　同學(xué)們對拋物線有了哪些認(rèn)識？
提示　在物理中，拋物線被認(rèn)為是拋射物體的運行軌道；在數(shù)學(xué)中，拋物線是二次函數(shù)的圖象.
問題2　在二次函數(shù)中研究拋物線有什么特征？
提示　它的對稱軸垂直于x軸，開口向上或向下.
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離 的點的軌跡叫做拋物線，其中定點F叫做拋物線的 ，定直線l叫做拋物線的 ___ .
(1)“一動三定”：一動點M；一定點F(即焦點)；一定直線l(即準(zhǔn)線)；一定值1(即動點M到定點F的距離與到定直線l的距離之比為1).(2)若點F在直線l上，則點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線.
問題3　比較橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，你認(rèn)為如何建立坐標(biāo)系，可能使所求拋物線的方程形式簡單？
提示　我們?nèi)〗?jīng)過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.設(shè)|KF|＝p(p>0)，那么焦點F的坐標(biāo)為 ，準(zhǔn)線l的方程為x＝ .
設(shè)M(x，y)是拋物線上任意一點，點M到準(zhǔn)線l的距離為d.由拋物線的定義，拋物線是點的集合P＝{M||MF|＝d}.
將上式兩邊平方并化簡，得y2＝2px(p>0).
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
(1)p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離.(2)標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征：頂點在坐標(biāo)原點、焦點在坐標(biāo)軸上.(3)拋物線的開口方向：拋物線的開口方向取決于標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項系數(shù)的正負(fù).
分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)經(jīng)過點(－3，－1)；
因為點(－3，－1)在第三象限，所以設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)，
若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)，
(2)焦點為直線3x－4y－12＝0與坐標(biāo)軸的交點.
對于直線方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以拋物線的焦點為(0，－3)或(4，0).
此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y；
此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y或y2＝16x.
用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟
注意：當(dāng)拋物線的類型沒有確定時，可設(shè)方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論情況的個數(shù).
(1)若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點坐標(biāo)為(1，0)，則p＝___，準(zhǔn)線方程為________.
因為拋物線的焦點坐標(biāo)為(1，0)，
(2)焦點在y軸上，焦點到準(zhǔn)線的距離為5的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____________________.
設(shè)方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點到準(zhǔn)線的距離為5，知|m|＝5，m＝±5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2＝10y和x2＝－10y.
(1)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝ x0，則x0等于A.1 B.2 C.4 D.8
(2)已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，求點P到點(0，2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值.
由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點的距離.由圖可知，當(dāng)點P，點(0，2)和拋物線的焦點 三點共線時所求距離之和最小，
延伸探究1.若將本例(2)中的點(0，2)改為點A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值.
將x＝3代入y2＝2x，
所以點A在拋物線內(nèi)部.
則|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
如圖，作PQ垂直于準(zhǔn)線l于點Q，A1為直線l1上一點，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.
即所求距離之和的最小值為1.
拋物線定義的應(yīng)用實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化.根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距與點線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題.
(1)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F1，若點A(2，－4)在拋物線上，則點A到焦點的距離為_____.
把點A(2，－4)代入拋物線y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，從而拋物線的焦點為(2，0).故點A到焦點的距離為4.
(2)設(shè)點A的坐標(biāo)為(1， )，點P在拋物線y2＝8x上移動，P到直線x＝－1的距離為d，則d＋|PA|的最小值為A.1 B.2 C.3 D.4
由題意知拋物線y2＝8x的焦點為F(2，0)，點P到準(zhǔn)線x＝－2的距離為d＋1，于是|PF|＝d＋1，所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值為|AF|－1＝4－1＝3.
河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5 m時，水面寬為8 m，一小船寬4 m，高2 m，載貨后船露出水面上的部分高0.75 m，問：水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少m時，小船開始不能通航？
如圖，以拱橋的拱頂為原點，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由題意可知，點B(4，－5)在拋物線上，
當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時，船不能通航，設(shè)此時船面寬為AA′，則A(2，yA)，
又知船面露出水面上的部分高為0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).
所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2 m時，小船開始不能通航.
涉及拱橋、隧道的問題，通常需建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解.
如圖，某橋的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為h，跨徑為a，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為
如圖所示，以橋頂為坐標(biāo)原點，橋形的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.
設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，
1.知識清單： (1)拋物線的定義. (2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式. (3)拋物線定義的應(yīng)用.2.方法歸納：待定系數(shù)法、定義法、轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū)：混淆拋物線的焦點位置和方程形式.
由拋物線y＝2px2過點(1，4)，可得p＝2，
3.已知P為拋物線y2＝4x上一個動點，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個動點，則點P到點Q的距離與點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是
4.若拋物線y2＝－2px(p＞0)上有一點M，其橫坐標(biāo)為－9，它到焦點的距離為10，則點M的坐標(biāo)為______________________.
(－9，6)或(－9，－6)
由拋物線方程y2＝－2px(p＞0)，
設(shè)點M到準(zhǔn)線的距離為d，
得p＝2，故拋物線方程為y2＝－4x.設(shè)點M(－9，y)，又M在拋物線上，得y＝±6，故點M的坐標(biāo)為(－9，6)或(－9，－6).
1.準(zhǔn)線與x軸垂直，且經(jīng)過點(1，－ )的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是A.y2＝－2x B.y2＝2xC.x2＝2y D.x2＝－2y
由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝mx(m≠0)，則(－ )2＝m，解得m＝2，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x.
2.(多選)經(jīng)過點P(4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為A.y2＝x B.x2＝8yC.x2＝－8y D.y2＝－8x
若拋物線的焦點在x軸上，又因為拋物線經(jīng)過點P(4，－2)，設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，所以(－2)2＝2p×4，
所以拋物線的方程為y2＝x.若拋物線的焦點在y軸上，又因為拋物線經(jīng)過點P(4，－2)，
設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，所以拋物線的方程為x2＝－8y.
3.過點A(3，0)且與y軸相切的圓的圓心軌跡為A.圓 B.橢圓 C.直線 D.拋物線
由題意可知，動圓的圓心到點A的距離與到y(tǒng)軸的距離相等，滿足拋物線的定義.
4.已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上一點(－2，m)到焦點的距離為4，那么拋物線的方程是A.y2＝8x B.y2＝－8xC.y2＝4x D.y2＝－4x
易知直線l2：x＝－1恰為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，如圖所示，動點P到l2：x＝－1的距離可轉(zhuǎn)化為PF的長度，
6.為響應(yīng)國家“節(jié)能減排，開發(fā)清潔能源”的號召，小華制作了一個太陽灶，如圖所示.集光板由拋物面(拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)得到)形的反光鏡構(gòu)成，已知鏡口圓的直徑為2 m，鏡深0.25 m，為達(dá)到最佳吸收太陽光的效果，容器灶圈應(yīng)距離集光板頂點A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m
若使吸收太陽光的效果最好，容器灶圈應(yīng)在拋物面對應(yīng)軸截面的拋物線的焦點處，如圖，畫出拋物面的軸截面，并建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p>0)，集光板端點A(1，0.25)，代入拋物線方程可得2×0.25p＝1，解得p＝2，所以拋物線方程為x2＝4y，故焦點坐標(biāo)是F(0，1).所以容器灶圈應(yīng)距離集光板頂點1 m.
∵拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線方程為x＝－2，該雙曲線的一個焦點在拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線上，
∴a2＋b2＝4， ②由①②，得a2＝3，b2＝1，
8.設(shè)拋物線y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上的一點，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－ ，那么|PF|＝____.
如圖，∠AFE＝60°，因為F(2，0)，所以E(－2，0)，
故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.
9.根據(jù)下列條件分別求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)拋物線的焦點是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點；
∴p＝6，∴拋物線的方程為y2＝－12x.
(2)拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，|AF|＝5.
設(shè)所求焦點在x軸上的拋物線的方程為y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，故所求拋物線方程為y2＝±2x或y2＝±18x.
10.已知拋物線C：x2＝2py(p>0)上兩點A，B且AB⊥y軸，OA⊥OB，△AOB的面積為16，求拋物線C的方程.
不妨設(shè)點A在第一象限且A(m，n)，則B(－m，n)，可得m2＝2pn，AB⊥y軸，且OA⊥OB，即△AOB為等腰直角三角形，則OA的斜率為1，即m＝n，
解得m＝n＝4，所以p＝2，所以拋物線C的方程為x2＝4y.
由題意知，A為拋物線的焦點.
則|PA|＋|PB|＝d＋|PB|，d＋|PB|的最小值為B到準(zhǔn)線的距離，所以當(dāng)PB垂直于準(zhǔn)線時取最小值.
過點Q作QQ′⊥l于點Q′，如圖.
∴|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點F到準(zhǔn)線l的距離為4，∴|QF|＝|QQ′|＝3.
13.(多選)下列條件滿足拋物線方程為y2＝10x的是A.焦點在y軸上B.焦點在x軸上C.拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6D.由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2，1)
拋物線y2＝10x的焦點在x軸上，B滿足，A不滿足；
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1，0).
即x1＋x2＋x3＝3，
15.2021年是中國傳統(tǒng)的“?！蹦辏梢栽谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中用拋物線與圓勾勒出牛的形象.已知拋物線Z：x2＝4y的焦點為F，圓F：x2＋(y－1)2＝4
與拋物線Z在第一象限的交點為 ，直線l：x＝t(0

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3.3 拋物線

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