1.掌握拋物線的幾何性質.
2.會利用拋物線的性質解決一些簡單的拋物線問題.
在上一節(jié)中，我們已經學習了拋物線的定義及其標準方程，這一節(jié)我們利用方程研究拋物線的幾何性質.
問題　類比用方程研究橢圓、雙曲線幾何性質的過程與方法，你認為應研究拋物線y2＝2px(p>0)的哪些幾何性質，如何研究這些性質？
提示1.范圍當x>0時，拋物線y2＝2px(p＞0)在y軸的右側，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標(x，y)的橫坐標滿足不等式x≥0；當x的值增大時，|y|的值也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.拋物線是無界曲線.
2.對稱性觀察圖象，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y2＝2px(p＞0)關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸.拋物線只有一條對稱軸.
3.頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點.拋物線的頂點坐標是坐標原點(0，0).4.離心率拋物線上的點M到焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率.用e表示，e＝1.
只有焦點在坐標軸上，頂點是原點的拋物線的方程才是標準方程.
拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9x2＋4y2＝36短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，求拋物線的方程及拋物線的準線方程.
∴拋物線的對稱軸為x軸，∴設拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0).∵拋物線的焦點到頂點的距離為3，
∴拋物線的標準方程為y2＝12x或y2＝－12x，其準線方程分別為x＝－3和x＝3.
把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質(1)開口：由拋物線的標準方程看圖象開口，關鍵是看準一次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負.(2)關系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸.(3)定值：焦點到準線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.
邊長為1的等邊△AOB，O為坐標原點，AB⊥x軸，以O為頂點且過A，B的拋物線方程是
設拋物線方程為y2＝ax(a≠0).
拋物線的幾何性質的應用
(1)已知正△AOB的一個頂點O位于坐標原點，另外兩個頂點A，B在拋物線y2＝2px(p＞0)上，求這個三角形的邊長.
如圖所示，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又|OA|＝|OB|，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因為x1＞0，x2＞0，2p＞0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即線段AB關于x軸對稱，由此得∠AOx＝30°，
(2)已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點，O為坐標原點，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點，求直線AB的方程.
如圖，設點A(x0，y0)，由題意可知點B(x0，－y0)，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
利用拋物線的性質可以解決的問題(1)對稱性：解決拋物線的內接三角形問題.(2)焦點、準線：解決與拋物線的定義有關的問題.(3)范圍：解決與拋物線有關的最值問題.(4)焦點弦：解決焦點弦問題.
(1)(多選)設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在拋物線C上，|MF|＝5，若y軸上存在點A(0，2)，使得 ＝0，則p的值可以為A.2 B.4 C.6 D.8
由題意可得，以MF為直徑的圓過點(0，2)，
因為圓心是MF的中點，所以根據(jù)中點坐標公式可得，
據(jù)此可知該圓與y軸相切于點A(0，2)，故圓心縱坐標為2，則M點縱坐標為4，
代入拋物線方程得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8.
(2)拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，點A是拋物線上一點，且∠AFO＝120°(O為坐標原點)，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是_______.
由拋物線方程可知F(1，0)，準線l的方程為x＝－1.如圖，設A(x0，y0)，過A作AH⊥x軸于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，
1.知識清單： (1)拋物線的幾何性質. (2)拋物線的幾何性質的應用.2.方法歸納：待定系數(shù)法、數(shù)形結合法.3.常見誤區(qū)：求拋物線方程時焦點的位置易判斷失誤.
2.(多選)以y軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為A.y2＝8x B.y2＝－8xC.x2＝8y D.x2＝－8y
設拋物線方程為x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，2p＝8，p＝4.∴拋物線方程為x2＝8y或x2＝－8y.
4.已知拋物線y2＝2px(p>0)，直線x＝m與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則y1＋y2＝______.
因為拋物線y2＝2px(p>0)關于x軸對稱，x＝m與x軸垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.
由題意知，線段AB所在的直線方程為x＝1，
2.已知點(x，y)在拋物線y2＝4x上，則z＝x2＋ y2＋3的最小值是A.2 B.3 C.4 D.0
因為點(x，y)在拋物線y2＝4x上，所以x≥0，
所以當x＝0時，z最小，最小值為3.
4.若拋物線y2＝4x上一點P到x軸的距離為 ，則點P到拋物線的焦點F的距離為A.4 B.5 C.6 D.7
由題意，知拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，
∴點P到拋物線的準線的距離為3＋1＝4，∴點P到拋物線的焦點F的距離為4.
曲線的方程可化為(x－2)2＋y2＝9，其表示圓心為(2，0)，半徑為3的圓，
因為點M(1，1)到拋物線y＝ax2的準線的距離為2，
7.已知點A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線上，記拋物線C的焦點為F，則直線AF的斜率為________.
∵點A(－2，3)在拋物線C的準線上，
∴拋物線的方程為y2＝8x，則焦點F的坐標為(2，0).又A(－2，3)，
8.已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M是FN的中點，則|FN|＝_____.
如圖，過點M作MM′⊥y軸，垂足為M′，|OF|＝2，∵M為FN的中點，|MM′|＝1，
∴|MF|＝3，∴|FN|＝6.
9.若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|＝ ，|AF|＝3，求此拋物線的標準方程.
設所求拋物線的標準方程為x2＝2py(p>0)，
所以所求拋物線的標準方程為x2＝4y或x2＝8y.
10.已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸上，設A，B是拋物線C上的兩個動點(AB不垂直于x軸)，且|AF|＋|BF|＝8，線段AB的垂直平分線恒經過點Q(6，0)，求拋物線的方程.
設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，
∵|AF|＋|BF|＝8，
∵Q(6，0)在線段AB的中垂線上，∴|QA|＝|QB|，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.∵AB與x軸不垂直，∴x1≠x2.故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.從而拋物線方程為y2＝8x.
12.已知P是拋物線C：y2＝2px(p>0)上的一點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，O為坐標原點，若|PF|＝2，∠PFO＝ ，則拋物線C的方程為A.y2＝6x B.y2＝2xC.y2＝x D.y2＝4x
過P向x軸作垂線，設垂足為Q(圖略)，
將P點的坐標代入y2＝2px，得p＝3，故拋物線C的方程為y2＝6x.
14.拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線 ＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝_____.
解得p2＝36，p＝6.
15.在內壁光滑的拋物線型容器內放一個球，其通過中心軸的縱剖面圖如圖所示，圓心在y軸上，拋物線頂點在坐標原點，已知拋物線方程是x2＝4y，圓的半徑為r，當圓的大小變化時，圓上的點無法觸及拋物線的頂點O，則圓的半徑r的取值范圍是A.(2，＋∞) B.(1，＋∞)C.[2，＋∞) D.[1，＋∞)
設圓心為P(0，a)(a>0)，半徑為r，Q(x，y)是拋物線上任意一點，|PQ|2＝x2＋(y－a)2＝4y＋(y－a)2＝(y－a＋2)2＋4a－4，
因此當r>2時，圓無法觸及拋物線的頂點O.
若|PQ|2的最小值不在O(0，0)處取得，則圓P不過原點，
拋物線y2＝8x的頂點、焦點、準線方程、對稱軸、變量x的范圍分別為(0，0)，(2，0)，x＝－2，x軸，x≥0.
16.已知拋物線y2＝8x.(1)求出該拋物線的頂點、焦點、準線方程、對稱軸、變量x的范圍；
(2)以坐標原點O為頂點，作拋物線的內接等腰△OAB，|OA|＝|OB|，若焦點F是△OAB的重心，求△OAB的周長.
如圖所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，垂足為點M，又焦點F是△OAB的重心，
所以M(3，0).故設A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，

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3.3 拋物線

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