4.4.3　不同函數增長的差異
第四章　§4.4　對數函數
學習目標
1.了解常用的描述現實世界中不同增長規(guī)律的函數模型.
2.了解直線上升、指數爆炸、對數增長等增長含義.
3.能根據具體問題選擇合適的函數模型.
導語
同學們，等你們大學畢業(yè)了，顯然要面對一個現實的問題，那就是如何使你的收入最大化，如果你現在手里有一筆資金可以用于投資，現在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報是這樣的：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.請問，你會選擇哪種投資方案？為了解決這個問題，讓我們一起開始今天的探究吧！
內容索引
幾個函數模型增長差異的比較

一
問題1　結合之前所學，請同學們自行閱讀課本136頁～138頁，同桌之間可以相互討論，5分鐘后檢查討論結果.
提示　通過對y＝2x與y＝2x的比較我們發(fā)現，函數y＝2x的增長速度保持不變，函數y＝2x的增長速度在變化，而且增長速度越來越快，雖然函數y＝2x在一定范圍內比函數y＝2x增長快些，但存在一個x0，當x>x0時，總有2x>2x，即使一次函數y＝kx(k>0)，k的值遠遠大于指數函數y＝ax(a>1)中a的值，y＝ax(a>1)的增長速度最終都會大大超過y＝kx(k>0)的增長速度.
問題2　把一次函數y＝2x，對數函數y＝lg x和指數函數y＝2x的圖象畫到同一坐標系下，并比較它們的增長差異.
提示　一次函數y＝2x勻速增長，指數函數y＝2x增長越來越快，對數函數y＝lg x增長最慢.
三種常見函數模型的增長差異
知識梳理
單調遞增
單調遞增
單調遞增
y＝kx(k>0)
logaxkx>logax
(1)當描述增長速度變化很快時，常常選用指數函數模型.(2)當要求不斷增長，但又不會增長過快，也不會增長很大時，常常選用對數函數模型.(3)一次函數增長速度不變，平穩(wěn)變化.(4)函數值的大小不等同于增長速度快慢，數值大不一定增長速度快，增長速度體現在函數值的變化趨勢上.
注意點：
(1)下列函數中，增長速度最快的是A.y＝2 023x B.y＝x2 023C.y＝log2 023x D.y＝2 023x
√
比較一次函數、冪函數、指數函數與對數函數可知，指數函數增長速度最快.
(2)三個變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如表：
則與x呈對數型函數、指數型函數、冪函數型函數變化的變量依次是A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2
√
由指數函數、對數函數、冪函數的增長速率比較，指數函數增長最快，對數函數增長最慢，由題中表格可知，y1是冪函數，y2是指數函數，y3是對數函數.
常見的函數模型及增長特點(1)線性函數模型：線性函數模型y＝kx＋b(k>0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變.(2)指數函數模型：指數函數模型y＝ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越快，即增長速度急劇加快，形象地稱為“指數爆炸”.
反思感悟
(3)對數函數模型：對數函數模型y＝logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩.(4)冪函數模型：冪函數y＝xn(n>0)的增長速度介于指數增長和對數增長之間.
反思感悟
下列函數中，增長速度越來越慢的是A.y＝6x B.y＝log6xC.y＝x2 D.y＝6x
√
D中一次函數的增長速度不變；A，C中函數的增長速度越來越快；只有B中對數函數的增長速度越來越慢，符合題意.
函數增長速度的比較

二
函數f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示.設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)0，b≠1)，
與計劃誤差為1.4萬輛.由①②可得，二次函數模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映該公司年產量y與年份x的關系.
反思感悟
建立函數模型應遵循的三個原則(1)簡化原則：建立函數模型，原型一定要簡化，抓主要因素、主要變量，盡量建立較低階、較簡便的模型.(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計算、推理，且能得出正確結論.(3)反映性原則：建立模型，應與原型具有“相似性”，所得模型的解應具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題.
在飛機制造業(yè)中，發(fā)現一條規(guī)律：制造第2架飛機所需的工時數是第1架的80%；第4(即22)架是第2架的80%；第8(即23)架是第4架的80%；…，這就是說，通過積累經驗，可以提高效率.這也是符合學習規(guī)律的，這里的80%稱為“進步率”，所制造的飛機架數與所需工時數之間的函數關系所確定的曲線常稱為“學習曲線”.設制造第1架飛機需要用k個工時，進步率為r，試求出制造第x架飛機與需用的工時數y之間的函數表達式.
由題意，可知第1架用k個工時，第2架用kr個工時，第22架用kr2個工時，…，第2n架用krn個工時.令x＝2n，則n＝log2x，
課堂小結
1.知識清單：三種函數模型：線性函數增長模型、指數型函數增長模型、對數型函數增長模型.2.方法歸納：轉化法.3.常見誤區(qū)：不理解三種函數增長的差異.
隨堂演練

1.下列函數中，在(0，＋∞)上增長速度最快的是A.y＝x2 B.y＝log2xC.y＝2x D.y＝2x
√
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則x，y的函數關系與下列哪類函數最接近？(其中a，b為待定系數)A.y＝a＋bx B.y＝a＋bxC.y＝ax2＋b D.y＝a＋
2.在一次數學試驗中，采集到如下一組數據：
√
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在坐標系中描出各點，知模擬函數為y＝a＋bx.
3.甲從A地到B地，途中前一半路程的行駛速度是v1，后一半路程的行駛速度是v2(v11) B.y＝ax＋b(a>1)C.y＝ax2＋b(a>0) D.y＝logax＋b(a>1)
3.有一組實驗數據如表所示：
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由表中數據可知，s隨t的增大而增大且其增長速度越來越快，A，D中的函數增長速度越來越慢；B中的函數增長速度保持不變；C中的函數y隨x的增大而增大，且增長速度越來越快.
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4.小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是
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小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，且距離學校越來越近，故排除A；因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，故排除D；后來為了趕時間加快速度行駛，故排除B.
5.y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當2y3 B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1
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由題意可知，三個函數在區(qū)間(2,4)上都是單調遞增的，所以40時，y＝a＋blg x(b>0)的圖象是單調遞增且上凸的.
12.如圖所示，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽，水槽中水面上升高度h與注水時間t之間的函數關系大致是
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開始的一段時間，水槽底部沒有水，燒杯滿了之后水槽中水面上升速度先快后慢，與B圖象相吻合.
13.漁民出海打魚，為了保證獲得的魚新鮮，魚被打上岸后，要在最短的時間內將其分揀、冷藏，若不及時處理，打上來的魚很快地失去新鮮度(以魚肉內的三甲胺量的多少來確定魚的新鮮度.三甲胺是一種揮發(fā)性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細菌分解產生的.三甲胺量積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變質進而腐敗).已知某種魚失去的新鮮度h與其出海后時間t(分)滿足的函數關系式為h(t)＝m·at.若出海后10分鐘，這種魚失去的新鮮度為10%，出海后20分鐘，這種魚失去的新鮮度為20%，那么若不及時處理，打上來的這種魚在多長時間后開始失去全部新鮮度(已知lg 2≈0.3，結果取整數)A.33分鐘 B.40分鐘 C.43分鐘 D.50分鐘
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14.如圖表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80 km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時間之間的函數關系，有人根據函數圖象，提出了關于這兩個旅行者的如下信息：
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①騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3 h，晚到1 h；②騎自行車者是變速運動，騎摩托車者是勻速運動；③騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后追上了騎自行車者；④騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后與騎自行車者速度一樣.其中，正確信息的序號是________.
①②③
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看時間軸易知①正確；騎摩托車者行駛的路程與時間的函數圖象是直線，所以是勻速運動，而騎自行車者行駛的路程與時間的函數圖象是折線，所以是變速運動，故②正確；
兩函數圖象的交點的橫坐標對應于4.5，故③正確，④錯誤.
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15.如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質的剩留量y與凈化時間t(月)的近似函數關系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的圖象.有以下敘述：
①③
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16.在2021年的全國兩會上，“碳達峰”“碳中和”被首次寫入政府工作報告，也進一步成為網絡熱詞.為了減少自身消費的碳排放，節(jié)省燃料.經多次實驗得到某種型號的汽車每小時耗油量Q(單位：L)與速度v(單位：km/h)(40≤v≤120)的數據關系如下表：
為描述Q與v的關系，現有以下三種模型供選擇：Q(v)＝0.9v＋a，Q(v)＝0.04v＋b，Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋cv.
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(1)請選出你認為最符合實際的函數模型，并求出相應的函數解析式；
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該函數模型應為增函數，故第一種函數模型不符合；若選擇第二種模型，代入(40,5.2)得5.2＝0.04×40＋b，解得b＝3.6，∴Q(v)＝0.04v＋3.6，此時Q(90)＝7.2，Q(100)＝7.6，Q(120)＝8.4，與實際數據相差較大，故第二種不符合；經觀察﹐第三種函數模型最符合實際，代入(40,5.2)，可得0.000 025×403－0.004×402＋c×40＝5.2，即1.6－6.4＋c×40＝5.2，解得c＝0.25，∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25 v，此時，Q(60)＝6，Q(90)＝8.325，Q(100)＝10，Q(120)＝15.6，符合題意，∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v.
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(2)選擇一段長度為100 km的平坦高速路段進行測試，這輛車應以什么速度行駛才能使總耗油量最少？
設總耗油量為W，
＝0.002 5(v－80)2＋9,40≤v≤120，當v＝80時，W取得最小值為9，∴這輛車應以80 km/h的速度行駛才能使總耗油量最少.

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5.6 函數 y=Asin（ ωx ＋ φ）

版本： 人教A版 (2019)

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