?專訓(xùn)11.2.3與折疊有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題
一、單選題
1．如圖，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在內(nèi)，若，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．無(wú)法確定
【答案】A
【分析】
先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，故可得出∠3+∠4的度數(shù)，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：∵△ABC中，∠A=60°，∠B=70°，∠2=80°，
∴∠C=180°-60°-70°=50°，
∴∠3+∠4=∠A+∠B=60°+70°=130°，
∴∠1=360°-（∠A+∠B）-（∠3+∠4）-∠2=360°-130°-130°-80°=20°．
故選：A．

【點(diǎn)睛】
本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
2．如圖，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折疊CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處．若∠A=24°，則∠EDC等于（ ）

A．42° B．66° C．69° D．77°
【答案】C
【分析】
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出∠BCD的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BDC可得答案．
【詳解】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，
∴∠B=90°-∠A=66°．
由折疊的性質(zhì)可得：∠BCD=∠ACB=45°，
∴∠BDC=∠EDC=180°-∠BCD-∠B=69°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是翻折變換和三角形內(nèi)角和定理，理解翻折變換的性質(zhì)、熟記三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，在中，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿著直線對(duì)折．若，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
依據(jù)角的和差關(guān)系即可得到∠DBC的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到∠ABE的度數(shù)．
【詳解】
∵∠ABD=18°，∠ABC=90°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBC=90°-18°=72°，
由折疊可得∠DBE=∠DBC=72°，
∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=72°-18°=54°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了折疊問(wèn)題，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
4．如圖，在ABC中，∠B+∠C＝α，按圖進(jìn)行翻折，使，則∠FE的度數(shù)是（　　）

A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°
【答案】D
【分析】
設(shè)∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y(tǒng)，∠C′FE＝x，利用平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題．
【詳解】
解：設(shè)∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y(tǒng)，∠C′FE＝x，
∵，
∴，，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y(tǒng)，
∴x+2y＝180°①，
根據(jù)平行線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得：，，
∴，
∵γ+y＝2∠B，
同理可得出：β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
故選：D．

【點(diǎn)睛】
本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
二、填空題
5．如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，則__________．

【答案】
【分析】
利用折疊性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解．
【詳解】
解：紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，
，
．
故答案為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是．也考查了折疊的性質(zhì)．
6．如圖，在中，，，將三角形沿對(duì)折，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合．若，則的度數(shù)為_(kāi)___________．

【答案】40°
【分析】
設(shè)∠EFD=2∠AED=2x，由折疊性質(zhì)可知，∠EDF=∠C=90°-∠A=90°-60°=30°，∠DEF=∠CEF，由三角形內(nèi)角和定理得出∠CEF=150°-2x，再由∠DEF+∠CEF+∠AED=180°，列出方程即可求出∠AED=40°．
【詳解】
解：設(shè)∠EFD=2∠AED=2x．
由折疊性質(zhì)可知，∠EDF=∠C=90°-∠A=90°-60°=30°，
∠DEF=∠CEF，
在△DEF中，∠DEF=180°-∠EDF-∠EFD=180°-30°-2x=150°-2x，
∴∠CEF=150°-2x，
∵∠DEF+∠CEF+∠AED=180°，
∴150°-2x+150°-2x+x=180°，
解得x=40°，
即∠AED=40°，
故答案為40°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了折疊問(wèn)題，熟練利用三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，中，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)O，將沿折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，若，則__________．

【答案】90
【分析】
根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等，推出，根據(jù)垂直的定義得到，利用平角的定義得到，即可求出結(jié)果．
【詳解】
解：由折疊性質(zhì)可知，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
即，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了折疊的性質(zhì)，平角的定義，互余的定義，解題的關(guān)鍵是利用相應(yīng)的定義得到角之間的關(guān)系．
8．如圖，把三角形紙片ABC沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的內(nèi)部時(shí)，∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是________．

【答案】∠1+∠2=2∠A
【分析】
延長(zhǎng)BE與CD相交于點(diǎn)A′，設(shè)∠AED=x，∠ADE=y，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠A′ED=x，∠A′DE=y，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及平角的定義，得出∠A與∠1+∠2的關(guān)系．
【詳解】
解：延長(zhǎng)BE與CD相交于點(diǎn)A′，如圖，

設(shè)∠AED=x，∠ADE=y，
∵△ABC紙片沿DE折疊，
∴∠A′ED=x，∠A′DE=y，
∵∠A+x+y=180，∠1+2x=180，∠2+2y=180，
∴∠1+∠2+2（180∠A）=2×180，
∴∠1+∠22∠A=0，
∴2∠A=∠1+∠2，
故答案為：∠1+∠2=2∠A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，以及翻折變換，解題的關(guān)鍵是得出折疊前后不變的角．
9．如圖，將△ABC沿著平行于BC的直線折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′，若∠B＝40°，則∠A′DB的大小為_(kāi)____．

【答案】100°．
【分析】
根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADE＝∠B＝40°，繼而得∠A′DE＝∠ADE＝40°，最后由平角的定義得出答案．
【詳解】
解：∵∠B＝40°，△ABC沿著平行于BC的直線折疊，點(diǎn)A落到點(diǎn)A′，
∴∠ADE＝∠B＝40°，
∴∠A′DE＝∠ADE＝40°，
∴∠A′DB＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
故答案為：100°．
【點(diǎn)睛】
本題考查三角形的翻折問(wèn)題，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
10．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，∠B＝60°，∠C＝80°，則∠1+∠2等于_______．

【答案】80°
【分析】
根據(jù)平角定義和折疊的性質(zhì)，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4），再利用三角形的內(nèi)角和定理得∠3+∠4＝∠B+∠C，即可解決問(wèn)題．
【詳解】
解：根據(jù)平角的定義和折疊的性質(zhì)，得
∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4）．
又∵∠3+∠4＝180°﹣∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C，
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C＝140°，
∴∠1+∠2＝80°．

故答案為：80°．
【點(diǎn)睛】
本題考查折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
11．如圖，在中，，，是上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，則等于_______．

【答案】
【分析】
根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理得出∠BDC=∠B′DC，再利用平角的定義，即可得出答案．
【詳解】
解：∵將Rt△ABC沿CD折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的B′處，
∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，
∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠B′DC=180°-45°-65°=70°，
∴∠ADB′=180°-70°-70°=40°．
故答案為：40°．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出∠BDC和∠B′DC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
12．如圖，把沿線段折疊，使點(diǎn)A落在線段上的點(diǎn)F處，，若，則__________度．

【答案】32
【分析】
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)即可求出結(jié)果．
【詳解】
解：由折疊可知：
∠AEF=2∠AED=2∠FED，
∵∠A+∠B=106°，
∴∠C=180°-106°=74°，
∵BC∥DE，
∴∠AED=∠C=74°，
∴∠AEF=2∠AED=148°，
∴∠FEC=180°-∠AEF=32°．
故答案為：32．
【點(diǎn)睛】
本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)．
13．如圖，已知中，，現(xiàn)將進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)、均與頂點(diǎn)重合，則的度數(shù)為_(kāi)_____．

【答案】86°
【分析】
由三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C=47°；證明∠ADE+∠AED=2(∠B+∠C)=94°，即可解決問(wèn)題．
【詳解】
∵
∴∠B+∠C=180°-133°=47°
由折疊的性質(zhì)得：∠B=∠BAD，∠C=∠CAE
∴∠ADE=2∠B，∠AED=2∠C
∴=180°-（2(∠B+∠C)）=180°-94°=86°
故答案為：86°
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折變換的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．
14．如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB、AC邊翻折180形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，則∠的度數(shù)為_(kāi)___度．

【答案】80°
【分析】
先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易計(jì)算出∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠1=∠BAE=140°，∠E=∠3=15°，∠ACD=∠E=15°，可計(jì)算出∠EAC，然后根據(jù)+∠E=∠EAC+∠ACD，即可得到=∠EAC．
【詳解】
設(shè)∠3=3x，則∠1=28x，∠2=5x，
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴28x+5x+3x=180°，解得x=5°，
∴∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°，
∵△ABE是△ABC沿著AB邊翻折180°形成的，
∴∠1=∠BAE=140°，∠E=∠3=15°，
∴∠EAC=360°-∠BAE-∠BAC=360°-140°-140°=80°，
又∵△ADC是△ABC沿著AC邊翻折180°形成的，
∴∠ACD=∠E=15°，
而+∠E=∠EAC+∠ACD，
∴∠α=∠EAC=80°．
故答案為80°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等．也考查了三角形的內(nèi)角和定理以及周角的定義．
15．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED外點(diǎn)A1的位置，若∠1+∠2=260°，則∠A = _________°．

【答案】40
【分析】
先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)和平角、周角的定義得出∠ADE+∠AED，再根據(jù)三角形三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行解答即可．
【詳解】
解：∵∠1+∠2=260°，
∴∠ADE+∠A1DE+∠AED+∠A1ED=180°+360°-260°=280°，
由折疊的性質(zhì)可得∠ADE+∠AED=140°，
∴∠A=180°-140°=40°．
故答案為：40．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．
16．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上的點(diǎn)，AD＝BD，∠B＝40°，將△ABD沿著AD翻折得到△AED，則∠CDE＝__．

【答案】20o
【分析】
根據(jù)三角形內(nèi)角和和翻折的性質(zhì)解答即可．
【詳解】
解：∵△ABD沿著AD翻折得到△AED，∠BAD=∠ABC=40°，
∴∠ADC=40°+40°=80°，
∴∠ADE=∠ADB=180°-40°-40°=100°，
∴∠CDE=100°-80°=20°，
故答案為：20o
【點(diǎn)睛】
此題考查翻折的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和和翻折的性質(zhì)解答．
17．如圖，樂(lè)樂(lè)將分別沿，翻折，頂點(diǎn)，均落在點(diǎn)處，且與重合于線段，若，則的度數(shù)為_(kāi)_______．

【答案】41°
【分析】
根據(jù)折疊得∠DOE=∠A，∠EOF=∠B，利用求出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出的度數(shù).
【詳解】
由折疊得∠DOE=∠A，∠EOF=∠B，
∵,
∴，
∴=，
故答案為：41°.
【點(diǎn)睛】
此題考查折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正確理解折疊的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵.
18．如圖a，已知長(zhǎng)方形紙帶ABCD，將紙帶沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在H、G的位置，再沿BC折疊成圖b，若∠DEF＝72°，則∠GMN＝_____°．

【答案】72
【分析】
由平行線的性質(zhì)得∠DEF＝∠BFE＝72°，然后結(jié)合折疊的性質(zhì)求得∠EFC=∠EFH=108°，∠H=∠N=∠C=90°，然后求得∠HFM=∠MFN=36°，∠HMF=∠NMF=54°，從而求解．
【詳解】
解：∵AD∥BC
∴∠DEF＝∠BFE＝72°
∴∠EFC=180°-72°=108°
由折疊性質(zhì)可得：∠EFC=∠EFH=108°，∠H=∠N=∠C=90°
∴∠HFM=∠MFN=∠EFH-∠BFE=108°-72°=36°
∴∠HMF=∠NMF=90°-36°=54°
∴∠GMN＝180°-54°×2=72°
故答案為：72．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．也考查了折疊的性質(zhì)．
三、解答題
19．已知，在直角三角形中，，是上一點(diǎn)，且．

（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，將沿所在直線翻折，點(diǎn)落在邊上，記為點(diǎn)．
①若，求的度數(shù)；
②試求與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①22°；②∠A′CB=90°-2∠B
【分析】
（1）根據(jù)直角三角形中兩銳角互余得∠A+∠B=90°，而∠ACD=∠B，則∠A+∠ACD=90°，所以∠ADC=90°，然后根據(jù)垂直的定義得CD⊥AB；
（2）①先得到∠ACD=34°，∠BCD=56°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠A′CD=∠ACD=34°，然后利用∠A′CB=∠BCD-∠A′CD求解；
②同①的方法，進(jìn)行分類討論即可．
【詳解】
解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）①∵∠B=34°，
∴∠ACD=34°，
∴∠BCD=90°-34°=56°，
∵△ADC沿CD所在直線翻折，A點(diǎn)落在BD邊上，記為A′點(diǎn)，
∴∠A′CD=∠ACD=34°，
∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=56°-34°=22°；
②∵∠B=∠ACD，則∠BCD=90°-∠ACD，
∵△ADC沿CD所在直線翻折，A點(diǎn)落在BD邊上，記為A′點(diǎn)，
∴∠A′CD=∠ACD=∠B，
∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=90°-∠B-∠B=90°-2∠B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
20．如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使得點(diǎn)A落在四邊形的外部的位置且與點(diǎn)C在直線的異側(cè)，折痕為，已知，．


（1）求的度數(shù)；
（2）若保持的一邊與平行，求的度數(shù)．
【答案】（1）60°；（2）45°或30°
【分析】
（1）先求出∠B的度數(shù)，在根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出∠1+∠BFD的度數(shù)，由∠BFD=∠A′FE和∠A′的度數(shù)可求出答案．
（2）分EA'∥BC和DA'∥BC兩種情況討論．當(dāng)DA'∥BC時(shí)，先求出∠A′DA=90°，再根據(jù)折疊可得出∠ADE=45°；當(dāng)EA'∥BC時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠2=∠ABC=60°，由（1）得出∠1=120°，再根據(jù)折疊可求出∠ADE的度數(shù)．
【詳解】
解：（1）由折疊可知，
在中，

在中，
在四邊形中，

因?yàn)?br />
（2）①當(dāng)時(shí)，
沿折疊



②當(dāng)時(shí)，
由（1）知，，
，
沿折疊



綜上，∠ADE的度數(shù)為：45°或30°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了翻折變換的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，三角形的內(nèi)角和等于180°，平行線的性質(zhì)，屬于綜合題，但難度不大．熟記性質(zhì)準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
21．問(wèn)題1：現(xiàn)有一張△ABC紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上兩點(diǎn)，若沿直線DE折疊．
（1）探究1：如果折成圖①的形狀，使A點(diǎn)落在CE上，則∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）探究2：如果折成圖②的形狀，猜想∠1+∠2和∠A的數(shù)量關(guān)系是 ；
（3）探究3：如果折成圖③的形狀，猜想∠1、∠2和∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（4）問(wèn)題2：將問(wèn)題1推廣，如圖④，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A、B落在四邊形EFCD的內(nèi)部時(shí)，∠1+∠2與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是 .
【答案】（1）;（2）;（3）見(jiàn)解析;（4）
【分析】
（1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得；
（2）在四邊形中，內(nèi)角和為360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用這兩個(gè)條件，進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化可得關(guān)系式；
（3）如下圖，根據(jù)（1）可得∠1=2∠，∠2=2∠，從而推導(dǎo)出關(guān)系式；
（4）根據(jù)平角的定義以及四邊形的內(nèi)角和定理，與（2）類似思路探討，可得關(guān)系式．
【詳解】
（1）∵△是△EDA折疊得到
∴∠A=∠
∵∠1是△的外角
∴∠1=∠A+∠
∴；
（2）∵在四邊形中，內(nèi)角和為360°
∴∠A++∠∠=360°
同理，∠A=∠
∴2∠A+∠∠=360°
∵∠BDA=∠CEA=180
∴∠1+∠∠+∠2=360°
∴ ；
（3）數(shù)量關(guān)系：
理由：如下圖，連接

由（1）可知：∠1=2∠，∠2=2∠
∴；
（4）由折疊性質(zhì)知：∠2=180°－2∠AEF，∠1=180°－2∠BFE
相加得：．
【點(diǎn)睛】
本題考查角度之間的關(guān)系，（4）問(wèn)的解題思路是相同的，主要運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換．

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